四重五步學習法——讓孩子終生受益的好方法PAGE1讓更多的孩子得到更好的教育400-661-6666整式的乘除與因式分解單元復習與鞏固一、目標與策略明確學習目標及主要的學習方法是提高學習效率的首要條件，要做到心中有數！學習目標：掌握正整數冪的運算性質，并能運用它們熟練地進行運算；掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算；會推導乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算；理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算，掌握提公因式法和公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解。

重點：整式的乘除法；因式分解的方法.難點：乘法公式的靈活運用.因式分解方法的綜合應用。學習策略：經歷觀察、思考、交流、探究等數學活動過程，體驗解決問題的方法，進一步發展歸納、類比、概括能力和有條理地思考與表達能力．二、學習與應用“凡事預則立，不預則廢”“凡事預則立，不預則廢”。科學地預習才能使我們上課聽講更有目的性和針對性。我們要在預習的基礎上，認真聽講，做到眼睛看、耳朵聽、心里想、手上記。知識網絡詳細內容請參看網校資源知識網絡詳細內容請參看網校資源ID：#tbjx2#224142知識要點知識要點——預習和課堂學習認真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識要點內容補充完整，帶著自己預習的疑惑認真聽課學習。請在虛線部分填寫預習內容，在實線部分填寫課堂學習內容。課堂筆記或者其它補充填在右欄。詳細內容請參看網校資源ID：#tbjx6#224142知識點一：冪的運算1、同底數冪的乘法：(m,n為正整數)；同底數冪相乘，底數不變，指數相加。注意底數可以是多項式或單項式。如：

注：此性質可以逆用，即。如：已知，則＝＝。另外三個或三個以上同底數冪相乘時，也具有這一性質，即(m、n、p都是正整數)

2、冪的乘方：(m,n為正整數)；冪的乘方，底數不變，指數相乘。如：，冪的乘方法則可以逆用：即=，如：.

注：注意不要把冪的乘方與同底數冪的乘法混淆，前者是指數相乘，后者是指數相加。

3、積的乘方：(n為正整數)；積的乘方，等于各因數乘方的積。如：（==

注：在積的乘方運算中很容易將底數中某一項或幾項不乘方而出現錯誤，所以在進行積的乘方運算時應先確定底數有幾項，然后將這幾項全都乘方，再將結果相乘。

4、同底數冪的除法：(a≠0,m,n為正整數，并且m＞n).同底數冪相除，底數不變，指數相減。如：5、零指數冪和負指數：(a≠)即任何不等于零的數的零次方等于1。（是正整數），即一個不等于零的數的次方等于這個數的次方的倒數。如：注：根據同底數冪除法的運算性質(a≠0,m,n為正整數，并且m＞n)，當指數相同時，則有，從而詮釋了“任何不等于0的數的0次冪都等于1”的道理，同時，又將同底數冪除法的運算性質中m＞n的條件擴大為m≥n；而當m＜n時，仍然使用，則m－n＜0，便出現了負指數冪(a≠0,p為正整數)；至此，同底數冪除法的運算性質的適用范圍已不必再過分的強調m、n之間的大小關系，m、n的值也由正整數擴大到了..知識點二：整式乘法1、單項式乘以單項式單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。如：

2、單項式乘以多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。即(都是單項式).3、多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即.如：

注：①運算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“＋”“－”號是性質符號，單項式乘以多項式各項的結果，要用“＋”連結，最后寫成省略加號的代數和的形式．

②在多項式乘法中，通過實例得出了：含有一個相同字母的兩個一次二項式相乘，得到的積是同一個字母的次項式.如果用a,b分別表示含有一個系數是1的相同字母的兩個一次二項式中的常數項，則有公式：(x＋a)(x＋b)＝。知識點三：乘法公式1、平方差公式：(a＋b)(a－b)＝；公式特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。

2、完全平方公式：(a＋b)2＝；(a－b)2＝完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上（或減去）首尾乘積的2倍。

注：①應用乘法公式時，應避免出現以下錯誤，如，，等等；②注意乘法公式的靈活正用和逆用問題．

③三項式的完全平方公式：.知識點四：整式的除法整式的除法是以同底數冪的除法為基礎的，主要涉及單項式除以單項式，多項式除以單項式兩種情況。運算法則是：

1、單項式相除：把系數、相同字母的冪分別相除作為____________，對于只在被除式里出現的字母，則連同它的指數一起作為__________。如：___________.

注：①系數先相除，所得的結果作為商的系數，特別注意系數包括前面的性質符號．

②被除式里單獨有的字母及其指數，作為商的一個因式，不要遺漏．

③要注意運算的順序，有乘方先算乘方，有括號先算括號里．特別是同級運算一定要從左至右，

如：，而不是

2、多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商____。即：

注：①多項式除以單項式所得商的項數與這個多項式的項數相同．

②用多項式的每一項除以單項式時，商中的每一項的符號由多項式中的每項的符號與單項式的符號共同確定．知識點五：因式分解把一個多項式化成幾個_________的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.

因式分解的方法主要有:_______,________,__________,________,。

要點詮釋：

(1)因式分解的對象是多項式，因式分解的結果一定是_____________的形式；

(2)因式分解的一般步驟是：首先看________，然后判斷是否可以套用公式，十字相乘法,最后考慮分組分解，添、拆項法。

分解因式必須進行到每一個因式都，一般情況是，最后結果只有小括號并且每個小括號中多項式首項系數為正。例如：-3x2+x=-x(3x-1)

(3)提公因式法的關鍵是確定公因式。即①取各項系數的②字母取各項的相同的字母③各相同字母的指數取次數最的；

(4)運用公式法時要注意判斷是否符合公式要求，并牢記公式的特征；

(5)分組分解的關鍵是適當分組，先使分組后各組中能，再使因式分解能在各組之間進行。經典例題-自主學習經典例題-自主學習認真分析、解答下列例題，嘗試總結提升各類型題目的規律和技巧，然后完成舉一反三。若有其它補充可填在右欄空白處。更多精彩請參看網校資源ID：#jdlt0#224142類型一：冪的有關運算：例1．計算：(1)、103×104；(2)、a·a3；(3)、a·a3·a5．(4)、(103)5；(5)、(2b)3；(6)、(2×a3)2；(7)、(－a)3；(8)、(－3x)4．

思路點撥：（1）（2）（3）題為同底數冪的，法則是底數不變指數。（4）（5）題為冪的，法則是底數不變，指數。（6）（7）（8）（9）題為積的，法則是積中每個因式分別乘方再把所得的冪，并注意（7）（8）中的“—”不要漏掉。解析：總結升華：

舉一反三：【變式1】（2011湖南衡陽）下列計算，正確的是（）A．B．C．D．【變式2】計算☆【變式3】若是正整數，且，①求滿足條件的共有多少對？②根據條件能否快速判斷出的計算結果？例2．．若2a=3，2b=5，2思路點撥：把30用含有若的式子表示，進而求出a、b、c的關系.類型二：整式乘除的有關運算：例3.下列運算是否正確，如有錯誤請改正過來。（1）(－a2b)3·(－4ab2)2＝－×(－4)(a2b)·(ab2)＝2a3b3（2）(－3x2)(2x3＋x2－1)＝(－3x2)·2x3＋(－3x2)·x2＝－6x5－3x4.（3）＝（4）(3x－2y)(4x＋7y)＝3x·4y＋(－2y)·7x＝12x2－14y2.（5）x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)＝x3＋3x＋x3－3x2－3x3＋3x2＋3x.（6）8x2－(x－2)(3x＋1)－2(x＋1)(x－5)＝8x2－(3x2－2)－2(x2－5)＝8x2－3x2＋2－2x2＋10＝3x2＋12.總結升華：

舉一反三：【變式1】要使(6x－a)(2x＋1)的結果中不含x的一次項,則a等于（）A．0 B．1 C．2

D．【變式2】計算：（1）(x＋2)(x－3) （2）(3x－1)(2x＋1)（3）(x－3y)(x＋7y) （4）(2x＋5y)(3x－2y)．（5）(9x4－15x2＋6x)÷３x （6）(28a3b2c＋a2b3－14a2b2)÷(－7a2類型三：乘法公式的應用例4．計算（1）(3x＋2y)(3x－2y)（2）(－5a－3b)(5a－3b)（3）(－2x＋3y)2思路點撥：先觀察式子特點，再恰當選擇乘法公式，注意最后結果要化簡。例5．（1）1999×2001（2）1022（3）（4）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（232+1）+1思路點撥：直接計算較麻煩，略加變形，便可能化為符合公式或

平方式形式，既簡捷又新穎。例6．求[x3－(x－1)2](x－1)展開后，x2項的系數．思路點撥：[x3－(x－1)2](x－1)＝x3(x－1)－(x－1)3．因為x2項只在中出現，所以只要看－(x－1)3＝中x2項的系數即可．總結升華：

例7．已知a＋b＝3，ab＝－4，求：（1）a2＋b2； ☆☆（2）a3＋b3，思路點撥：由a2＋b2這一特征，使我們聯想完全平方公式“”由此變形為“a2＋b2＝(a＋b)2－”，顯然可將(1)解決，由此進行探索，便可打開思路。總結升華：

舉一反三：☆【變式1】.已知a－b＝4,b－c＝6，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值。☆【變式2】已知、、是△ABC的三邊，且滿足，那么△ABC為等邊三角形嗎？☆【變式3】計算：類型四：因式分解的有關運算例8．下列各式從左到右的變形,屬于因式分解的是（）A．a(a－b＋1)＝a2－ab＋b B．a2－a－2＝a(a－1)－2C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－4x－5＝(x－2)2－9思路點撥：因為的右邊都不是整式的乘積的形式,只有__的右邊是整式的乘積形式,并且左右恒等.例9．關于多項式m(a－b)2－n(b－a)3－m(b－a)各項的公因式，下面說法正確的是（）A．沒有公因式B．公因式為mC．公因式為(b－a)D．公因式為(b－a)2例10．分解因式：(x2－1)2＋16(1－x2)＋64.思路點撥：把看成一個整體利用完全平方公式進行分解.總結升華：

☆例11．試說明：連續兩個奇數的平方差可以被8整除．☆例12．如果二次三項式(為整數)在整數范圍內可以分解因式，那么可以取那些值？☆例13.（2011浙江衢州）有足夠多的長方形和正方形的卡片，如下圖.（1）如果選取1號、2號、3號卡片分別為1張、2張、3張，可拼成一個長方形（不重疊無縫隙）.請畫出這個長方形的草圖，并運用拼圖前后面積之間的關系說明這個長方形的代數意義個長方形的代數意義是.（2）小明想用類似的方法解釋多項式乘法，那么需用2號卡片張，3號卡片張.舉一反三：【變式1】分解因式：（1） （2）（3） （4） 【變式2】把下列多項式分解因式：（1）4x3y＋4x2y2＋xy3； （2）3x3－12xy2。☆☆【變式3】.已知x的多項式2x3－x2－13x＋k因式分解后有一個因式為(2x＋1)（1）求k的值；（2）將多項式因式分解【變式4】分解因式：(x2＋3x＋2)(4x2＋8x＋3)－90．☆例14.觀察下列各式

（x-1）（x+1）=x2-1

（x-1）（x2+x+1）=x3-1

（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1

…

（1）分解因式：x5-1=；

（2）根據規律可得（x-1）（xn-1+…+x+1）=（其中n為正整數）；

（3）計算：（3-1）（350+349+348+…+32+3+1）；

（4）計算：（-2）2011+（-2）2010+（-2）2009+…+（-2）3+（-2）2+（-2）+1．思路點撥：（1）根據所給出的具有規律的式子，可知x5-1=．

（2）觀察所給式子的特點，等號右邊x的指數比等號左邊x的最高指數大1，然后寫出即可；

（3）根據所給式子的規律，把x換為3即可，（3-1）（350+349+348+…+32+3+1）=．

（4）先計算（-2-1）[（-2）2011+（-2）2010+（-2）2009+…+（-2）3+（-2）2+（-2）+1]=（-2）2000-1，然后再計算所給式子．解析：三、總結與測評要想學習成績好，總結測評少不了！課后復習是學習不可或缺的環節，它可以幫助我們鞏固學習效果，彌補知識缺漏，提高學習能力。總結規律和方法總結規律和方法強化所學認真回顧總結本部分內容的規律和方法，熟練掌握技能技巧。相關內容請參看網校資源ID：#tbjx12#2241421、整式的乘法與因式分解在意義上正好相反,結果的特征是因式分解是____的形式,整式的乘法是______的形式,抓住這一特征,就不容易混淆因式分解與整式的乘法.

2、因式分解的一般步驟及注意問題：（1）對多項式各項有公因式時，應先提________。在提取公因式的過程中有很多情況應該先將所給的多項式中的某一部分進行變形，然后才能提取公因式或者利用公式進行分解因式。常用的變形公式是：和(n為正整數)，即當次數是偶數時，可以隨意改變括號里面的減數和被減數的位置，當次數是奇數時，在改變減數和被減數的位置之后，應該在括號的前面加一個負號。（2）多項式各項沒有公因式時，如果是二項式就考慮是否符合；如果是三項式就考慮是否符合或的因式分解；如果是四項或四項以上的多項式，通常采用。（3）分解因式，必須進行到每一個多項式都不能再分解為止。總結為：一提：提公因式、提負號；二套：二項式套平方差，三項式套完全平方式和十字相乘法；三看：看是否分解完.

3、在本章中多次運用轉化與化歸的思想方法，例如單項式乘以單項式可以轉化為有理數乘法和同底數冪的乘法運算；單項式乘以多項式以及多項式乘以多項式都可以轉化為單項式乘以單項式。

4、整體代換的思想方法在乘法公式中表現的特別典型，公式中的字母不僅可以代表數，而且可以表示代數式。正是由于整體代換的思想，乘法公式才能得到廣泛的應用。再比如，在研究多項式乘多項式法則時，是把看成一個整體，運用單項式乘以多項式的法則，得到然后再運用“單多”的運算法則即可得到。在分解因式時，可以把看成一個整體，提公因式，即原式=。

5、本章所學的公式和法則都是既可正向運用又可逆向運用的。進行整式乘法運算時，逆用公式可使計算簡便。例如：