koda的損益分布與定價研究

0金融衍生品accumulator2008年底至2009年上半年，各種媒體多次報道大型國有企業及大陸富人對exportandexport（最終期限）資產損益的影響，以及普通投資者、風險管理研究人員和政府監督管理部門的高度關注。其中中信泰富因投資澳元累計期權損失186億,深南電投資石油累計期權,東航、國航參與航油累計期權也導致巨額損失;另外,內地的企業碧桂園參與股票累計期權虧損12億,內地富豪如香港星展銀行個人投資者郝婷、香港荷蘭銀行的個人投資者賴建平等,虧損在幾千萬元到上億元不等。導致出現這樣觸目驚心的巨額虧損事件的罪魁禍首就是被廣大媒體和一些學者稱之為“金融毒品”、“金融鴉片”、“富豪殺手”等的一種金融衍生品Accumulator(累計期權),該產品的英文全稱為“KnockOutDiscountAccumulator”,即敲出折扣累計期權,簡稱為KODA,也稱為Accumulator,甚至被戲稱為“Ikillyoulater”。媒體報道稱2007年上半年在香港市場上投資KODA產品的投資者盈利的占多數,因此吸引了大量投資者隨后投資該產品,但隨后報道出陸續有許多出現巨額虧損的案例,對這些損失案例的各種分析頻繁出現在各種媒體中,從學術的角度分析這些案例和KODA產品的文獻很少,文獻[1,2,3]分別用定性描述方法對中信泰富虧損案例從風險管理流程和監管的角度解釋了虧損的原因,并提出了相應的政策建議。本文從定量分析的角度,主要回答下述三個問題:(1)KODA是什么樣的金融衍生品?(2)為什么2007年上半年之前KODA會有那么大的吸引力?而目前為什么被冠以“金融毒品”之類的惡名?(3)KODA是否可以作為套期保值(或風險對沖)的工具?為了回答上面的問題,本文首先分析了以香港股市匯豐控股為標的物的KODA的結構特征,在此基礎上,采集該股票2006年6月1日至2009年5月29日三年的日收盤價數據,將其分為三個時段,即06.6.1—07.5.31,07.6.1—08.5.30,08.6.2—09.5.29,通過MonteCarlo模擬方法分別測算KODA的風險,來解釋為什么在06.6.1—07.5.31時段具有很大的吸引力,在07.6.1—08.5.30時段損失概率增大,直至在08.6.2—09.5.29時段巨額虧損集中爆發的原因,最后通過對KODA的損益分布和收益-風險的分析,說明KODA作為套期保值的工具是非常不合適的。1koda合約的特點本節通過對KODA的結構進行深入剖析,來回答本文提出的第一個問題,即KODA是什么樣的金融衍生品?實際上KODA產品是一種結構復雜的金融期權合約,標的物可以是股票、外匯、石油等各種實物資產或金融資產。這種合約一般具有下面幾個特點:(1)合約設定了行使價,投資者在買入標的物時的行使價往往在期初價基礎上給予一定的折扣。假設標的物期初價為S0,那么該期權的行使價為S0(1-D),其中D為向下折讓比率,一般取值在10%-20%之間;(2)合約設定了取消價,如果標的物的市價St超過期初價S0的一定比例,那么該期權合約自動終止。假設允許向上超越的比例為U,一般取值在3%-5%之間,那么該期權的取消價為S0(1+U);(3)合約設定了投資者購買標的物的單位H;(4)當標的物的市價跌破行使價時,投資者必須買入一定倍數的標的物,一般加倍因子K=2;(5)該期權合約有不固定的到期日,如果在持有期內標的物的市價一直沒有突破取消價,那么該期權的持有期為T(或到期日為T),即名義到期日和實際到期日相等,一般為一年,如果在持有期內期權被終止,那么期權的實際到期日就是標的物市價突破取消價的時候,小于名義到期日;(6)該期權合約通常是按照一定的周期結算,這個周期可以是1天、1周或1月;(7)每張合約設定最低投資金額,通常不低于100萬美元;(8)投資者只要有合約金額一定比例的現金或抵押即可購買,這一比例一般可取為30%-50%,因此KODA產品往往帶有很高的杠桿性;(9)該期權合約期初沒有期權費。從上面的KODA合約的特點可以看出,在每個結算周期的結算時刻,如果標的物的市價St在行使價和取消價之間,那么投資者可以以行使價S0(1-D)買入H份市價為St的標的物,盈利為H(St-S0(1-D));如果St突破取消價S0(1+U),那么投資者的盈利仍然為H(St-S0(1-D)),只是合約自動終止;如果St跌破行使價S0(1-D),那么投資者必須以行使價買入KH份標的物,損失為KH(S0(1-D)-St)。顯然投資者沒有止損,而交易對手有止損。KODA合約的結構實際上是一系列障礙期權(或擋板期權)的組合,具體來講,在每個結算周期內,KODA合約相當于一個向上觸消看漲期權和一個向下觸發的看跌期權的組合。投資者買入一份KODA合約,相當于在每一結算周期開始時買入一個向上觸消看漲期權,同時賣出一個向下觸發的看跌期權,到結算周期結束時依據標的物的市價水平決定哪個期權被執行,由此來計算投資者的損益。正是由于KODA具有這樣的結構特征,因此在整個持有期內,投資者的損益是按照結算周期逐漸累計,所以該期權被稱為累計期權。KODA的損益可以用圖1和圖2來分析,圖1給出了實際到期日小于名義到期日的情形,即由于持有期內標的物的市價突破了取消價,因此KODA提前終止,圖2給出了實際到期日等于名義到期日的情形,即由于在持有期內標的物的市價一直低于取消價,因此該期權一直有效,直至名義到期日。圖中陰影部分的面積是投資者累計損失,這里以雙倍買入為例。只要KODA合約有效,在每個結算周期內無論是盈利還是虧損,名義上投資者可以按照行使價購買標的物,但實際上在計算損益時只是計算每個周期結束時標的物的市價與行使價的價差,由此確定投資者的損益,并不進行標的物的真實的交易,因此該合約實際上是一個投資者和交易對手之間關于標的物市價變化的對賭合約。2金融毒品惡名的風險特征為了回答本文提出的第二個問題,即為什么2007年上半年之前KODA會有那么大的吸引力?而目前為什么被冠以“金融毒品”之類的惡名?本文采集06.6.1—07.5.31,07.6.1—08.5.30,08.6.2—09.5.29這三個時間段的匯豐控股的收盤價數據,共737個樣本,研究以匯豐控股為標的物的1年期KODA的風險特征(數據來自同花順軟件)。2.1分析假設為了分析方便,下面分別對KODA合約的細節和股價的變化規律作出假設。2.1.1投資者共同資本,繼續資(1)向下折讓比例D分別取0.1和0.2,向上超越比例U分別取0.03和0.05;(2)投資者購買標的物的單位H取為1000股;(3)加倍因子K取2,即如果匯豐控股的股價跌破行使價,投資者雙倍買入該股票;(4)KODA的名義到期日T取1年;(5)KODA合約的結算周期取為1天,即投資者的損益按天結算;暫不考慮投資者買入KODA合約的杠桿效應。在上面的假設下,投資者買入這份KODA合約后,如果匯豐控股的每天的收盤價在取消價和行使價之間,投資者每天以行使價買入1000股該股票,盈利為1000(St-S0(1-D));如果跌破行使價,則每天以行使價買入2000股該股票,損失為2000(S0(1-D)-St);如果突破取消價,那么投資者在這一天仍然以行使價買入1000股該股票,盈利為1000(St-S0(1-D)),同時該KODA合約終止。2.1.2條件波動率的測算為了利用MonteCarlo模擬股票價格的變化規律,據此來確定股票未來的價格分布,進而得出KODA的損益分布,確定其風險大小,首先必須對標的物的價格變化和波動率所服從的隨機過程給出假設。假設1匯豐控股的收盤價服從幾何布朗運動,即其中wt服從標準布朗運動,dwt為該過程的增量,是一隨機變量,服從均值為0,方差為dt的正態分布(即)),參數μt和σt分別代表瞬時條件漂移率(或預期收益率)和條件波動率。假設2條件均值μt和條件波動率σt服從GARCH(1,1)過程,即其中c,γ,k,α,β為系數,k>0,α,β≥0,εt～N(0,σt2)。為了保證平穩性,要求α+β<1,0≤t≤T(此處T=250天,即1年中的交易日總數)。2.2koda臨床預測和風險度量確定為了比較精確的模擬出KODA產品1年后的損益分布,首先模擬匯豐控股1年后的價格分布。然后在此基礎上確定以匯豐控股為標的物的KODA的損益分布。假設股價一個交易日變化48次,相當于每5分鐘變動一次,因此模擬的時間價格△t=1/48天,將(1)式離散化,可得股價變化的遞推關系為其中St表示第t天開始時的股價(用上一個交易日的收盤價代替),St+△t表示5分鐘后的股價,第t天股票收益率μt和波動率σt依據(2)式估計,為了對比無條件收益率和波動率下的KODA的風險特征,3.3節同時給出了有條件和無條件收益與波動率兩種情形下的結果,z△t是一個服從標準正態分布的隨機變量,用來產生在△t時間段內股價的變化。由此可得1天結束時的股票價格為其中St+1表示1個交易日結束時的股票收盤價,Zt表示1個交易日中模擬第i個5分鐘所用的正態分布隨機變量,i=1,2,…,48。依據(4)式可以很容易的模擬出1年到期時的股票價格。為了精確起見,一般模擬次數在5000至10000次,本文取M=10000次,因此模擬結束后得到了1年后10000個股票價格可能的變化路徑,據此可以計算KODA在1年后10000個可能的損益。一個路徑上的最終損益由下面的方法確定:首先找到第i條路徑上第一個超過取消價S0(1+U)的股價Sti,對應的合約終止時間為τi,計算第t(t=1,2,…,τi)天的損益其中H=1000,K=2。然后計算第i條路徑上前τi天的損益在1年到期時的將來值yiT。設第t天一年期即期利率為ri,則該路徑到期時的損益為即將每一天的損益按無風險利率計算將來值,累加到到期日T=365。得到所有模擬路徑上的最終損益值yiT之后,i=1,2,…,M,就得到了KODA產品到期時的損益分布,由此可以確定持有期為1年的該產品的風險。(2)KODA的風險度量方法本文利用風險價值(ValueatRisk,簡稱VaR)和條件風險價值(ConditionalValueatRisk,簡稱CVaR)作為度量KODA產品風險的兩個指標。在給定置信水平α(一般在95%至99%之間取值)的條件下,VaR的含義指的是損失超過VaR的概率最大為(1-α),具體可表示為其中yT表示到期時KODA的損益,它是一個隨機變量,取正值表示盈利,負值表示損失。CVaR的含義指的是損失超過VaR的平均損失,它度量了巨額損失的程度,具體見文獻。在利用MonteCarto方法模擬出了KODA到期時的損益分布,那么VaR和CVaR的計算就比較容易。首先將到期日的損益分布yiT按照從小到大的順序排列,記為yiT,i=1,2,…,M,然后依據給定的置信水平α,從yiT中找出第M(1-α)+1個,其負值就是置信水平α下、持有期為1年的KODA的VaR。依據CVaR的含義,可按下式計算(3)KODA的定價通過第1節KODA結構分析可知它是由一系列障礙期權累計而成的復雜衍生品,且該產品期初沒有期權費,也就是說期初的價格為零。本文給出KODA的定價來說明這樣的條款是不合理的。對于障礙期權的定價(無論是向上觸消的看漲期權還是向下觸發的看跌期權)可以利用二叉樹定價的方法來解決,也可以通過MonteCarlo模擬的方法來解決。由于前面利用模擬的方法來確定KODA的損益分布,因此本文選擇MonteCarlo模擬方法來對KODA定價。具體定價公式如下其中yT為KODA到期收益,E(yT)為到期平均收益,r為期初時T年期的即期利率,T為KODA的期限。2.3koda風險分析2.3.1年生全風險帶年風險的年度分布為了分析標的物為匯豐控股的KODA在06.6.1至09.5.29這三年的風險特征,首先對標的股票在這三年中的情況和即期利率進行分析。圖3給出了匯豐控股股價在06.6.1至09.5.29這三年的走勢圖,表1給出了這3年該股票的平均日收益率和日波動率,此處波動率是無條件歷史波動率。從圖3和表1可以看出這三年內該股票的收益率逐年降低,而波動率卻逐年增大,因此直觀上可以想象以此為標的物的KODA產品的風險逐年增大。由于本文分析的KODA的標的物是在香港股市交易的匯豐控股,以港元標價,因此本文在計算KODA的損益時利用1年期HIBOR作為即期利率,06.6.1至09.5.29三年的HIBOR走勢圖見圖4(數據來自香港金融管理局網站)。2.3.2koda到期損害賠償的風險分析KODA在近三年內的風險和風險的變化過程時,此處分別考慮三個1年期的情形。在第一個1年期內,即06.6.1—07.5.31,從06.6.1匯豐控股的收盤價S0=134.00港元開始,利用2.2節給出的MonteCarlo方法模擬出1年到期時(即07.5.31)KODA的損益分布和VaR與CVaR,06.6.1香港1年期的HIBOR為4.8836%;第二個1年期內,即07.6.1—08.5.30,從07.6.1股價S0=144.20港元開始,模擬1年到期時(即08.5.30)的情形,07.6.1香港1年期的HIBOR為4.8036%;第三個1年期內,即08.6.2—09.5.29,從08.6.2股價S0=131.40港元開始,模擬1年到期時(即09.5.29)的情形,08.5.30香港1年期的HIBOR為2.6464%。表2通過模擬計算的數據給出了準確和詳盡的解釋。表2列出了在標的股價無條件和條件收益率與波動率模擬下,四種不同折讓比例與超越的KODA在06.6.1至09.5.29這三年內的三個1年到期的損益分布和風險的計算結果。表中第2列的狀態說明了在模擬KODA到期損益時使用標的股票的條件收益和波動率與否。從06.6.1至07.5.31這一年的結果看,無論是無條件還是條件模擬,4種不同的KODA產品到期時盈利的概率非常大(從0.981到1.000),損失的概率非常小(從0.000到0.020),而且波動率相對于后兩年也小。從風險測量指標VaR和CVaR來看,VaR均為負值,CVaR在向下折讓比例為0.2時也為負值,這意味著沒有風險的概率不低于95%;在向下折讓比例為0.1時,CVaR為正值,表明盈利低于負VaR值的平均值在10至30萬港元左右,這就說明在這1年內的KODA產品之所以受投資者歡迎,原因在于損失的概率很小,風險非常小,甚至沒有。從表2中07.6.1至08.5.30這一年的結果看,4種不同的KODA產品中,到期時盈利的只有向下折讓比例為0.2的兩種產品,概率在0.90左右,向下折讓比例為0.1的兩種產品平均是虧損的,概率在0.20左右,相比較第1時段,波動率上升了一個數量級,因此虧損的概率明顯增大。從VaR和CVaR來看,全部為正值,表明在任何情況下風險都存在,且數量級在百萬至千萬之間,說明巨額損失出現的概率在增大,因此風險急劇增大。這就驗證了在這1年內的KODA產品已經讓部分投資者出現巨大損失的報道。從2008-6-2至2009-5-29這一年的結果看,4種不同的KODA產品中,到期時平均全是虧損的,概率在0.30左右,波動率進一步增大。從VaR和CVaR來看,損失的數量級全部在千萬以上,相比較前兩個時段,巨額損失出現的概率進一步增大,風險指標又上升了一個數量級,達到了千萬港元。這就驗證了在這1年內的KODA產品已經讓更多的投資者出現巨額損失,而且幾乎是集中爆發,因此該產品獲得了“金融毒品”的惡名。從表2中可以得出一個媒體報道比較片面的結論,即KODA產品沒有報道中的那么可怕。表2中第6列具體給出了這三年的盈利概率最低為0.612,這就說明在這三年中投資以匯豐控股為標的物的KODA的投資者中,盈利的占大部分,損失的應該是小部分。雖然各種情況下盈利的概率大,由于盈利時的量比較小,而損失時的量比較大,因此盡管事實上損失的案例遠少于盈利的案例,但由于損失案例的數額巨大,影響非常大,所以表面上看起來KODA更像一個金融毒品。表2的最后一列給出了利用MonteCarlo模擬方法(即(9)式)得到的KODA的價格,其中價格為正表示期初投資者應該支付給交易對手相應的期權費,價格為負表示期初交易對手應該支付給投資者相應的期權費。從表2的KODA的價格可以看出,在不同的期限內、不同向上超越比例與向下折讓比例的KODA合約在期初沒有一個價