甘肅省甘南2023年高二上數學期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一直線過點，則此直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°2．三個實數構成一個等比數列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.C.或 D.或3．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．試在拋物線上求一點，使其到焦點的距離與到的距離之和最小，則該點坐標為A. B.C. D.5．橢圓的焦點為、，上頂點為，若，則（）A B.C. D.6．復數，且z在復平面內對應的點在第二象限，則實數m的值可以為（）A.2 B.C. D.07．數學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點分別為，，，則△ABC的歐拉線方程為（）A. B.C. D.8．設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.9．若函數單調遞增，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.10．如果雙曲線的一條漸近線方程為，且經過點，則雙曲線的標準方程是（）A. B.C. D.11．雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.12．從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構成，現一光線從左焦點發出，依次經與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發出，經兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則的長軸長與的實軸長之比為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列，現將數列進行構造，第次得到數列；第次得到數列；依次構造，第次得到數列；記，則(1)___________，(2)___________14．已知點P是橢圓上的一點，點，則的最小值為____________.15．已知拋物線：，斜率為且過點的直線與交于，兩點，且，其中為坐標原點（1）求拋物線的方程；（2）設點，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值16．曲線在點（1，1）處的切線方程為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點，點在棱上，且，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求平面與平面的距離.18．（12分）已知函數.（1）若函數的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若函數在上是增函數，求實數的最大值.19．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規定：機動車行經人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，其中第90條規定:對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統計數據：參考公式：，月份12345違章駕駛員人數1201051009580（1）請利用所給數據求違章人數y與月份x之間的回歸直線方程；（2）預測該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數；20．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一點，且的面積為1.（1）求橢圓的短軸長；（2）過原點的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的一點，若為等邊三角形，求的取值范圍.21．（12分）已知，直線過且與交于兩點，過點作直線的平行線交于點（1）求證：為定值，并求點的軌跡的方程；（2）設動直線與相切于點，且與直線交于點，在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由22．（10分）已知函數（1）當時，求的單調遞減區間；（2）若關于的方程恰有兩個不等實根，求實數的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據斜率公式求得直線的斜率，得到，即可求解.【詳解】設直線的傾斜角為，由斜率公式，可得，即，因為，所以，即此直線的傾斜角為.故選：A.2、D【解析】根據三個實數構成一個等比數列，解得，然后分，討論求解.【詳解】因為三個實數構成一個等比數列，所以，解得，當時，方程表示焦點在x軸上的橢圓，所以，所以，當時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線，所以，所以，故選：D3、A【解析】根據直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.4、A【解析】由題意得拋物線的焦點為，準線方程為過點P作于點，由定義可得,所以，由圖形可得，當三點共線時，最小，此時故點的縱坐標為1，所以橫坐標．即點P的坐標為．選A點睛：與拋物線有關的最值問題的解題策略該類問題一般解法是利用拋物線的定義，實現由點到點的距離與點到直線的距離的轉化(1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中的垂線段最短”解決5、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進而可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因為橢圓的上頂點為點，焦點為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.6、B【解析】根據復數的幾何意義求出的范圍，即可得出答案.【詳解】解：當z在復平面內對應的點在第二象限時，則有，可得，結合選項可知，B正確故選：B7、A【解析】求出重心坐標，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線方程，聯立兩直線可得垂心坐標，即可求出歐拉線方程.【詳解】由題可知，△ABC的重心為，可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，則方程為，直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為2，則方程為，聯立方程可得△ABC的垂心為，則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，故△ABC的歐拉線方程為.故選：A.8、C【解析】先由圖像分析出的正負，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數的圖象可知,在區間上單調遞減,在區間(0,2)上單調遞增，即當時,;當x∈(0,2)時,.因為可化為或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C9、D【解析】根據函數的單調性，可知其導數在R上恒成立，分離參數，即可求得答案.【詳解】由題意可知單調遞增，則在R上恒成立，可得恒成立，當時，取最小值-1，故，故選：D10、D【解析】根據漸近線方程設出雙曲線方程，然后將點代入，進而求得答案.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以設雙曲線方程為，將代入得：，即雙曲線方程為.故選：D.11、C【解析】由，且，可得，再結合，可得，進而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關系，利用求解；（2）根據條件列出的齊次方程，利用轉化為關于的方程，解方程即可，注意根據對所得解進行取舍.12、D【解析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長，再根據光速相同，且求解.【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長為，在圖②中，的周長為，因為光速相同，且，所以，即，所以，即的長軸長與的實軸長之比為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據題意得到，再利用疊加法求解即可.【詳解】由題知：，，，所以，，，……，，所以，，……，，即，所以.故答案為：；14、【解析】設，表示出，消去y，利用二次函數求最值即可.【詳解】設，則.所以當x=1時，最小.故答案為：.15、（1）（2）為定值6【解析】（1）由題意可知：將直線方程代入拋物線方程，由韋達定理可知：，，，，求得p的值，即可求得拋物線E的方程；（2）由直線的斜率公式可知：，，，代入，，即可得到：.試題解析：（1）直線的方程為，聯立方程組得，設，，所以，，又，所以，從而拋物線的方程為（2）因為，，所以，，因此，又，，所以，即為定值點睛：定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點、定值顯現.16、【解析】根據導數的幾何意義求出切線的斜率，再根據點斜式可求出結果.【詳解】因為，所以曲線在點（1，1）處的切線的斜率為，所以所求切線方程為：，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）利用勾股定理證得，證明平面，根據線面垂直的性質證得，再根據線面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點，連接，可得為的中點，證明，四邊形是平行四邊形，可得，再根據面面平行的判定定理即可得證；（3）設，由（1）（2）可得即為平面與平面的距離，求出的長度，即可得解.【小問1詳解】證明：在直三棱柱中，為的中點，，，故，因為，所以，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；【小問2詳解】證明：取的中點，連接，則為的中點，因為，，分別為，，的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因為，所以，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；【小問3詳解】設，因為平面，平面平面，所以平面，所以即為平面與平面的距離，因平面，所以，，所以，即平面與平面的距離為.18、（1）；（2）.【解析】（1）先對函數求導，再根據在處的切線斜率可得到參數的值，然后代入，求出的值，則即可得出；（2）根據函數在上是增函數，可得，即恒成立，再進行參變分離，構造函數，對進行求導分析，找出最小值，即實數的最大值【詳解】解：（1）由題意，函數.故，則，由題意，知，即.又，則.，即..（2）由題意，可知，即恒成立，恒成立.設，則.令，解得.令，解得.令，解得x.在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得極小值..，故的最大值為.【點睛】本題主要考查利用某點處的一階導數分析得出參數的值，參變量分離方法的應用，不等式的計算能力．本題屬中檔題19、（1）；（2）37【解析】（1）將題干數據代入公式求出與，進而求出回歸直線方程；（2）再第一問的基礎上代入求出結果.【小問1詳解】，，則，，所以回歸直線方程；【小問2詳解】令得：，故該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數為37.20、（1）2（2）【解析】（1）根據題意表示出的面積，即可求得結果；（2）分類討論直線斜率情況，然后根據是等邊三角形，得到，聯立直線和橢圓方程，用點的坐標表示上述關系式，化簡即可得答案.【小問1詳解】因為，所以，又因為，所以，，所以，則橢圓的短軸長為2.【小問2詳解】若為等邊三角形，應有，即.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，且，此時若為等邊三角形，則點應為長軸頂點，且，即.當直線的斜率為0時，直線的方程為，且，此時若為等邊二角形，則點應為短軸頂點，此時,不為等邊三角形.當直線的斜率存在且不為0時，設其方程為，則直線的方程為.由得,同理.因為，所以，解得.因為，所以，則，即.綜上，的取值范圍是.21、（1）證明見解析，（）（2）存在，【解析】(1)根據題意和橢圓的定義可知點的軌跡是以A，為焦點的橢圓，且，，進而得出橢圓標準方程；(2)設，聯立動直線方程和橢圓方程并消元得出關于的一元二次方程，根據根的判別式可得點P和Q的坐標，結合，利用平面向量的坐標表示列出方程組，即可解出點M的坐標.【小問1詳解】圓A：，∵，∴，又，∴∴，∴，故∴點的軌跡是以A，為焦點的橢圓，且，∴，故：（）；【小問2詳解】由，得∴，故，設，則，，故，，由可得：由對，恒成立∴