安徽省合肥一中、安慶一中等六校2024屆高二數學第一學期期末學業質量監測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若，，，則（）A. B.C. D.2．雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．若：，：，則為q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件4．若集合，，則A. B.C. D.5．設，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．的二項展開式中，二項式系數最大的項是第（）項.A.6 B.5C.4和6 D.5和77．已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是A. B.C. D.8．設是定義在R上的函數，其導函數為，滿足，若，則（）A. B.C. D.a，b的大小無法判斷9．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直線方程為（）A. B.C. D.10．已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知，記M到x軸的距離為a，到y軸的距離為b，到z軸的距離為c，則（）A. B.C. D.12．在中，，則邊的長等于（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖將自然數，…按到箭頭所指方向排列，并依次在，…等處的位置拐彎．如圖作為第一次拐彎，則第33次拐彎的數是___________，超過2021的第一個拐彎數是____________14．已知函數，___________.15．若，滿足不等式組，則的最大值為________.16．已知某農場某植物高度，且，如果這個農場有這種植物10000棵，試估計該農場這種植物高度在區間上的棵數為______.參考數據：若，則，，.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，已知，動點M滿足（1）求M的軌跡方程；（2）設，點N是的中點，求點N的軌跡方程；（3）設M的軌跡與N的軌跡的交點為P、Q，求18．（12分）寫出下列命題的逆命題、否命題以及逆否命題：（1）若，則；（2）已知為實數，若，則19．（12分）已知，使；不等式對一切恒成立.如果為真命題，為假命題，求實數的取值范圍.20．（12分）已知雙曲線的漸近線方程為，且過點（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長21．（12分）將離心率相同的兩個橢圓如下放置，可以形成一個對稱性很強的幾何圖形，現已知.（1）若在第一象限內公共點的橫坐標為1，求的標準方程；（2）假設一條斜率為正的直線與依次切于兩點，與軸正半軸交于點，試求的最大值及此時的標準方程.22．（10分）某話劇表演小組由名學生組成，若從這名學生中任意選取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求該小組中男、女生各有多少人？（2）若這名學生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相鄰的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據向量線性運算法則計算即可.【詳解】故選：C2、D【解析】根據給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C：的實半軸長，虛半軸長，即有，而雙曲線C的焦點在y軸上，所以雙曲線C的漸近線的方程為，即.故選：D3、D【解析】根據充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因為：，：，所以，所以為q的既不充分又不必要條件.故選：D.4、A【解析】通過解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關系示意圖，可得出選項.【詳解】因為，解不等式即，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【點睛】本題考查集合間的交集運算，屬于基礎題.5、A【解析】根據兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當時，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A6、A【解析】由二項展開的中間項或中間兩項二項式系數最大可得解.【詳解】因為二項式展開式一共11項，其中中間項的二項式系數最大，易知當r＝5時，最大，即二項展開式中，二項式系數最大的為第6項.故選：A7、C【解析】當時，，函數有兩個零點和，不滿足題意，舍去；當時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點，故不滿足題意，舍去；當時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則，選C考點：1、函數的零點；2、利用導數求函數的極值；3、利用導數判斷函數的單調性8、A【解析】首先構造函數，再利用導數判斷函數的單調性，即可判斷選項.【詳解】設，，所以函數在單調遞增，即，所以，那么，即.故選：A9、B【解析】兩圓的方程消掉二次項后的二元一次方程即為公共弦所在直線方程.【詳解】由x2＋y2－4＝0與x2＋y2－4x＋4y－12＝0兩式相減得：，即.故選：B10、A【解析】由題意，在上恒成立，只需滿足即可求解.【詳解】解：因為，所以，因為函數在上單調遞減，所以在上恒成立，只需滿足，即，解得故選：A.11、C【解析】分別求出點M在x軸，y軸，z軸上的投影點的坐標，再借助空間兩點間距離公式計算作答.【詳解】設點M在x軸上的投影點，則，而x軸的方向向量，由得：，解得，則，設點M在y軸上的投影點，則，而y軸的方向向量，由得：，解得，則，設點M在z軸上的投影點，則，而z軸的方向向量，由得：，解得，則，所以.故選：C12、A【解析】由余弦定理求解【詳解】由余弦定理，得，即，解得（負值舍去）故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據題意得到拐彎處的數字與其序數的關系，歸納得到當為奇數為；當為為偶數為，分別代入，即可求解.【詳解】解：由題意，拐彎處的數字與其序數的關系，如下表：拐彎的序數012345678拐彎處的數1235710131721觀察拐彎處的數字的規律：第1個數；第3個數；第5個數；第7個數；，所以當為奇數為；同理可得：當為為偶數為；第33次拐彎的數是，當時，可得，當時，可得，所以超過2021第一個拐彎數是.故答案為：；.14、【解析】直接利用分段函數的解析式即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：-115、10【解析】作出不等式區域,如圖所示:目標最大值,即為平移直線的最大縱截距,當直線經過點時最大為10.故答案為10.點睛：本題主要考查線性規劃中利用可行域求目標函數的最值，屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值.16、1359【解析】由已知求得，則，結合已知求得，乘以10000得答案【詳解】解：由，得，又，，則，估計該農場這種植物高度在區間，上的棵數為故答案為：1359三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）設，根據向量數量積求解即可得答案；（2）設，，進而根據相關點法求解即可；（3）根據題意得弦由兩圓相交得，進而根據幾何法弦長即可得答案.【小問1詳解】解：設，則，所以，即所以M的軌跡方程為.【小問2詳解】解：設，，因為點N是的中點，所以，即，又因為在上，所以，即.所以點N的軌跡方程為.【小問3詳解】解：因為M的軌跡與N的軌跡分別為，，是兩個圓.所以兩個方程作差得直線所在的方程，所以圓到：的距離為，所以18、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）（2）根據逆命題、否命題以及逆否命題的定義作答即可；【小問1詳解】解：逆命題：若，則；否命題：若，則；逆否命題：若，則【小問2詳解】解：逆命題：已知為實數，若，則；否命題：已知為實數，若或，則；逆否命題：已知實數，若，則或19、【解析】若真命題，利用分離參數法結合指數函數性質，可得；若為真命題，利用分離參數法并結合基本不等式可得，再根據為真命題，為假命題，可知，一真命題一假命題；再分“為真命題，為假命題”和“為假命題，為真命題”兩種情況，求解范圍，即可得到結果.【詳解】解：若為真命題，則有解，所以，即；若為真命題，則對一切恒成立,令則,當且僅當，即時，取得最小值；所以，即；又為真命題，為假命題，所以，一真命題一假命題；當為真命題，為假命題時，，所以；當為假命題，為真命題時，，所以；綜上所述，.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據雙曲線漸近線斜率、雙曲線過點可構造方程求得，由此可得雙曲線方程；（2）由雙曲線方程可得焦點坐標，由此可得方程，與雙曲線方程聯立后，利用弦長公式可求得結果.【小問1詳解】由雙曲線方程知：漸近線斜率，又漸近線方程為，；雙曲線過點，；由得：，雙曲線的方程為：；【小問2詳解】由（1）得：雙曲線的焦點坐標為；若直線過雙曲線的左焦點，則，由得：；設，，則，；由雙曲線對稱性可知：當過雙曲線右焦點時，；綜上所述：.21、（1）（2）；【解析】（1）設，將點代入得出的標準方程；（2）聯立與直線的方程，得出兩點的坐標，進而得出，再結合導數得出的最大值及此時的標準方程.【小問1詳解】由題意得：在第一象限的公共點為設，則有：的標準方程為：；【小問2詳解】設y=kx+m則①，則②，，，又，由①有代入①有，令，則令，在單調遞增，在單調遞減，此時，則，代入②得，綜上：的最大值2，此時.22、（1）