安徽省合肥市肥東縣新城高升學校2023-2024學年高二上數學期末聯考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．算盤是中國古代的一項重要發明．現有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數字5，梁下五珠，上撥一珠記作數字1（如圖2中算盤表示整數51）．如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數的個數為（）A.8 B.10C.15 D.162．設太陽光線垂直于平面，在陽光下任意轉動棱長為一個單位的立方體，則它在平面上的投影面積的最大值是（）A.1 B.C. D.3．如圖甲是第七屆國際數學家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數列為，令，為數列的前項和，則（）A.8 B.9C.10 D.114．已知函數滿足對于恒成立，設則下列不等關系正確是（）A. B.C. D.5．已知，則條件“”是條件“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.6．命題：“?x＜1，x2＜1”的否定是（）A.?x≥1，x2＜1 B.?x≥1，x2≥1C.?x＜1，x2≥1 D.?x＜1，x2≥17．古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經過了500年，到了3世紀，希臘數學家帕普斯在他的著作《數學匯篇》中，完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統一定義，并對這一定義進行了證明.他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.現有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.8．設，，則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件9．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.10．已知拋物線：的焦點為F，準線l上有兩點A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標準方程是（）A. B.C.或 D.11．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點，傾斜角為的直線l過點E，且與橢圓交于A，B兩點，則的周長為A.10 B.12C.16 D.2012．曲線與曲線的A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題：，總有．則為______14．若把英語單詞“”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤有______種15．函數，若，則的值等于_______16．已知雙曲線：的右焦點為，過點向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的漸近線方程為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與交于不同的兩點，求面積的最大值.18．（12分）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學生充分的自由選擇權.新高考地區某校為了解本校高一年級將來高考選考物理的情況，隨機選取了100名高一學生，將他們某次物理測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計這100名學生本次物理測試成績的中位數.（2）根據調查，本次物理測試成績不低于60分的學生，高考將選考物理科目；成績低于60分的學生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測試成績在，的學生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.19．（12分）直線：和：（1）若兩直線垂直，求m的值；（2）若兩直線平行，求平行線間的距離20．（12分）等差數列中，首項，且成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和21．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）當時，求函數在內的零點個數.22．（10分）已知函數.（1）求函數在處的切線方程；（2）設為的導數，若方程的兩根為，且，當時，不等式對任意的恒成立，求正實數的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結果計算得解.【詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，由分類加法計數原理得共有8種方法，所以表示不同整數的個數為8.故選：A2、C【解析】確定正方體投影面積最大時,是投影面與平面AB'C平行，從而求出投影面積的最大值.【詳解】設正方體投影最大時，是投影面與平面AB'C平行，三個面的投影為兩個全等的菱形，其對角線為，即投影面上三條對角線構成邊長為的等邊三角形，如圖所示，所以投影面積為故選：C3、B【解析】由題意可得的邊長，進而可得周長及，進而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項和，所以，故選：B.4、A【解析】由條件可得函數為上的增函數，構造函數，利用函數單調性比較的大小，再根據函數的單調性確定各選項的對錯.【詳解】設，則，∵，∴，∴函數在上為增函數，∵，∴，故，所以，C錯，令()，則，當時，，當時，∴函數在區間上為增函數，在區間上為減函數，又，∴，∴，即，∴，故，所以，D錯，，故，所以，A對，，故，所以，B錯，故選：A.5、A【解析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【詳解】因為，所以，所以.故選：A6、C【解析】將特稱命題否定為全稱命題即可【詳解】根據含有量詞的命題的否定，則“?x＜1，x2＜1”的否定是“?x＜1，x2≥1”.故選：C.7、C【解析】對方程進行化簡可得雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數，進而可得結果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數，又由，可得，故選：C.8、C【解析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.9、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.10、C【解析】分或（）兩種情況討論，由面積列方程即可求解【詳解】由題意得，當時，，解得；當或時，，解得，所以拋物線的方程是或.故選：C.11、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長，，所以：周長，由橢圓的第一定義，，所以，周長故選D【點睛】本題考查橢圓簡單性質的應用，橢圓的定義的應用，三角形的周長的求法，屬于基本知識的考查12、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷【詳解】解：曲線表示焦點在軸上，長軸長10，短軸長為6，離心率為，焦距為8曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為8對照選項，則正確故選：【點睛】本題考查橢圓的方程和性質，考查運算能力，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，使得【解析】全稱命題改否定，首先把全稱量詞改成特稱量詞，然后把后面結論改否定即可.【詳解】解：因為命題，總有，所以的否定為：，使得故答案為，使得【點睛】本題考查了全稱命題的否定，全稱命題（特稱命題）改否定，首先把全稱量詞（特稱量詞）改成特稱量詞（全稱量詞），然后把后面結論改否定即可.14、23【解析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況，然后減去正確的，即是可能出現錯誤的情況.【詳解】因為“”四個字母組成的全排列共有（種）結果，其中只有排列“”是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現錯誤的共有（種）.故答案為：23.15、【解析】對函數進行求導，把代入導函數中，化簡即可求出的值.【詳解】函數.故答案為：.16、【解析】由題意得雙曲線的右焦點F(c,0)，設一漸近線OM的方程為，則另一漸近線ON的方程為．設，∵，∴，∴，解得∴點M的坐標為，又，∴，整理得，∴雙曲線的漸近線方程為答案：點睛：（1）已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標準方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程就是雙曲線的兩條漸近線方程（2）求雙曲線的漸進線方程的關鍵是求出的關系，并根據焦點的位置確定出漸近線的形式，并進一步得到其方程三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解析】（1）根據題意計算得到，得到橢圓方程.（2）設直線的方程為，聯立方程，根據韋達定理得到，，表示出，解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標準方程是.(2)由題意直線的斜率不能為，設直線的方程為，由方程組得，設，，所以，，所以，所以，令（），則，，因為在上單調遞增，所以當，即時，面積取得最大值為.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓內三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、（1），中位數為；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數a，根據直方圖及中位數性質求中位數即可.（2）首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數分布情況，再應用列舉法求古典概型的概率即可.【小問1詳解】由圖知：，解得.學生成績在的頻率為；學生成績在的頻率為.設這100名學生本次物理測試成績的中位數為，則，解得，故估計這100名學生本次物理測試成績的中位數為.【小問2詳解】由（1）知，學生成績在的頻數為，學生成績在的頻數為.按分層抽樣的方法從中選取5人，則成績在的學生被抽取人，分別記為，，成績在的學生被抽取人，分別記為，，.從中任意選取2人，有，，，，，，，，，這10種選法，其中至少有1人高考選考物理科目的選法有，，，，，，，，這9種，∴這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.19、（1）；（2）【解析】（1）由直線一般方程的垂直公式，即得解；（2）由直線一般方程的平行公式，求得，再由平行線的距離公式，即得解.【小問1詳解】∵兩直線垂直，∴，解得【小問2詳解】∵兩直線平行，∴，解得或1，經過驗證時兩條直線重合，舍去．∴可得：直線：，：∴兩直線間的距離20、（1）（2）【解析】（1）根據等比中項的性質結合等差數列的通項公式求出，進而得出數列的通項公式；（2）根據裂項相消求和法得出前項和為和.【小問1詳解】因為成等比數列，所以即，解得，所以；【小問2詳解】因為，，，21、（1）當，在單調遞增；當，在單調遞增,在單調遞減.（2）0.【解析】（1）求得，對參數分類討論，即可由每種情況下的正負確定函數的單調性；（2）根據題意求得，利用進行放縮，只需證即，再利用導數通過證明從而得到恒成立，則問題得解.【小問1詳解】以為，其定義域為，又，故當時，，在單調遞增；當時，令，可得，且令，解得，令，解得，故在單調遞增，在單調遞減.綜上所述：當，在單調遞增；當，在單調遞增，在單調遞減.【小問2詳解】因為，故可得，則，；下證恒成立，令，則，故在單調遞減，又當時，，故在恒成立，即；因為，故，令，下證在恒成立，要證恒成立，即證，又，故即證，令，則，令，解得，此時該函數單調遞增，令，解得，此時該函數單調遞減，又當時，，也即；令，則，令，解得，此時該函數單調遞減，令，解得，此時該函數單調遞增，又當時，，也即；又，故恒成立，則在恒成立，又，故當時，恒成立，則在上的零點個數是.【點睛】本題考察利用導數研究含參函數的單調性，以及函數零點問題的處理；本題第二問處理的關鍵是通過分離參數和構造函數，證明恒成立，屬綜合困難題.22、（1）