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北京市海淀區2023年九年級上學期《數學》期末試卷與參考答案一、選擇題共16分,每題2分。第1-8題均有四個選項,符合題意的選項只有一個.1.刺繡是中國民間傳統手工藝之一.下列刺繡圖案中,是中心對稱圖形的為()A. B.C. D.答案:B2.點關于原點對稱的點的坐標是()A. B. C. D.答案:C3.二次函數的圖象向左平移1個單位長度,得到的二次函數解析式為()A. B.C. D.答案:D4.如圖,已知正方形,以點為圓心,長為半徑作,點與的位置關系為()A.點在外 B.點在內 C.點在上 D.無法確定答案:A5.若點,在拋物線上,則的值為()A.2 B.1 C.0 D.答案:B6.勒洛三角形是分別以等邊三角形的頂點為圓心,以其邊長為半徑作圓弧,由三段圓弧組成的曲邊三角形.如圖,該勒洛三角形繞其中心旋轉一定角度后能與自身重合,則該角度可以為()A. B. C. D.答案:C7.如圖,過點作的切線,,切點分別是,,連接.過上一點作的切線,交,于點,.若,的周長為4,則的長為()A.2 B. C.4 D.答案:B8.遙控電動跑車競速是青少年喜歡的活動.如圖是某賽道的部分通行路線示意圖,某賽車從人口A駛入,行至每個岔路口選擇前方兩條線路的可能性相同,則該賽車從口駛出的概率是()A. B. C. D.答案:B二、填空題共16分,每題2分。9.二次函數的圖象與軸的交點坐標為______.答案:10.半徑為3且圓心角為的扇形的面積為________.答案:3π.11.下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結果.投籃次數50100150200300400500投中次數284978102153208255投中頻率0.560.490.520.510.510.520.51根據以上數據,估計這名球員在罰球線上投籃一次,投中的概率為______.答案:0.51(答案不唯一)12.若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根,則的取值范圍是______.答案:13.二次函數的圖象如圖所示,則______0(填“”,“”或“”).答案:14.如圖,是的內接三角形,于點,若的半徑為,,則______.答案:115.對于二次函數,與的部分對應值如表所示.在某一范圍內,隨的增大而減小,寫出一個符合條件的的取值范圍______.…0123……1331…答案:(答案不唯一,滿足即可)16.如圖,,,分別是某圓內接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊.若,下面四個結論中,①該圓的半徑為2;②的長為;③平分;④連接,,則與的面積比為.所有正確結論的序號是______.答案:①③④三、解答題解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.解方程:.答案:,,∴,∴,.18.已知拋物線過點和,求該拋物線的解析式.答案:∵拋物線過點和,∴解方程組,得∴拋物線的解析式是.19.已知為方程的一個根,求代數式的值.答案:∵為方程的一個根,∴.∴.∴原式=.20.如圖,四邊形內接于,為直徑,.若,求的度數.答案:如圖,連接.∵,∴.∵,∴.∵為直徑,∴.∴.21.為了發展學生的興趣愛好,學校利用課后服務時間開展了豐富的社團活動.小明和小天參加的籃球社共有甲、乙、丙三個訓練場.活動時,每個學生用抽簽的方式從三個訓練場中隨機抽取一個場地進行訓練.(1)小明抽到甲訓練場的概率為______;(2)用列表或畫樹狀圖的方法,求小明和小天在某次活動中抽到同一場地訓練的概率.答案:(1)小明抽到甲訓練場的概率為,故答案為:;(2)根據題意,可以畫出如下樹狀圖:由樹狀圖可以看出,所有可能出現的結果有9種,并且這些結果出現的可能性相等.小明和小天抽到同一場地訓練(記為事件)的結果有3種,所以,.22.已知:如圖,是的切線,為切點.求作:的另一條切線,為切點.作法:以為圓心,長為半徑畫弧,交于點;作直線.直線即為所求.(1)根據上面的作法,補全圖形(保留作圖痕跡);(2)完成下面證明過程.證明:連接,,.∵是的切線,為切點,∴.∴.在與中,∴.∴.∴于點.∵是的半徑,∴是的切線(____________________)(填推理的依據).答案:(1)補全圖形,如圖所示:(2)連接,,.∵是的切線,A為切點,∴.∴.在與中,∴.∴.∴于點.∵是的半徑,∴是的切線(經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線).故答案為:,經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.23.紫砂壺是我國特有的手工制造陶土工藝品,其制作過程需要幾十種不同的工具,其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架”,其形狀及使用方法如圖1.當制顯藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口邊界時,就可以保證需要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上.圖2是正確使用該工具時的示意圖.如圖3,為某紫砂壺的壺口,已知,兩點在上,直線過點,且于點,交于點.若,,求這個紫砂壺的壺口半徑的長.答案:如圖,連接.∵過圓心,,,∴.∵,∴.∵,∴.解得.∴這個紫砂壺的壺口半徑的長為.24.如圖,是的直徑,點在上.過點作的切線,過點作于點.(1)求證:平分;(2)連接,若,,求的長.答案:(1)證明:如圖,連接.∵直線與相切于點,∴于點.∴.∵于點,∴.∴.∴.∴.∵,∴.∴.∴平分.(2)連接.∵是的直徑,∴.∵,∴.在中,∵,,∴.在中,∵,∴.∵,∴.∴.在中,∵,∴.25.學校舉辦“科技之星”頒獎典禮,頒獎現場人口為一個拱門.小明要在拱門上順次粘貼“科”“技”“之”“星”四個大字(如圖1),其中,“科”與“星”距地面的高度相同,“技”與“之”距地面的高度相同,他發現拱門可以看作是拋物線的一部分,四個字和五角星可以看作拋物線上的點.通過測量得到拱門的最大跨度是10米,最高點的五角星距地面6.25米.(1)請在圖2中建立平面直角坐標系,并求出該拋物線的解析式;(2)“技”與“之”的水平距離為米.小明想同時達到如下兩個設計效果:①“科”與“星”的水平距離是“技”與“之”的水平距離的2倍;②“技”與“科”距地面的高度差為1.5米.小明的設計能否實現?若能實現,直接寫出的值;若不能實現,請說明理由.答案:(1)如圖,以拋物線頂點為原點,以拋物線對稱軸為軸,建立平面直角坐標系.

設這條拋物線表示的二次函數為.∵拋物線過點,∴∴∴這條拋物線表示的二次函數為.(2)能實現;.由“技”與“之”的水平距離為米,設“技”,“之”,則“科”,“技”與“科”距地面的高度差為1.5米,,解得:或(舍去)26.在平面直角坐標系中,拋物線過點.(1)求(用含的式子表示);(2)拋物線過點,,.①判斷:______0(填“>”“<”或“=”);②若,,恰有兩個點在軸上方,求的取值范圍.答案:(1)把代入,得,∴;【小問2詳解】解:①把代入,得,由(1)知:,∴,把代入,得,,當時,,,∴,當時,,,∴,綻上,;②由(1)知,∴∴拋物線對稱軸為.∵拋物線過點,,,∴,,.當時,拋物線開口向上,對稱軸為,∴拋物線在時,取得最小值.∵,,恰有兩點在軸上方,∴,在軸上方,在軸上或軸下方.∴,解得.當時,拋物線開口向下,對稱軸為,∴拋物線在時,取得最大值,且.∵,,恰有兩點在軸上方,∴,在軸上方,在軸上或軸下方.∴,解得.綜上,的取值范圍是或.27.如圖,在中,,.是邊上一點,交的延長線于點.(1)用等式表示與的數量關系,并證明;(2)連接,延長至,使.連接,,.①依題意補全圖形;②判斷的形狀,并證明.答案:(1)線段與的數量關系:.證明:,.,;(2)①補全圖形,如圖.②結論:是等邊三角形.證明:延長至點使,連接,,如圖.,.,是等邊三角形.,.,,,...,,.,(),..是等邊三角形.28.在平面直角坐標系中,對于點和線段,若線段或的垂直平分線與線段有公共點,則稱點為線段的融合點.(1)已知,,①在點,,中,線段的融合點是______;②若直線上存在線段的融合點,求的取值范圍;(2)已知的半徑為4,,,直線過點,記線段關于的對稱線段為.若對于實數,存在直線,使得上有的融合點,直接寫出的取值范圍.答案:(1)①如圖所示,根據題意可知,是線段的融合點,故答案為;,;②如圖1所示,設的垂直平分線與線段的交點為Q,∵點Q在線段的垂直平分線上,∴,∴當點Q固定時,則點P在以Q為圓心,的長為半徑的圓上,∴當點Q在上移動時,此時點P的軌跡即線段的融合點的軌跡為分別以點,為圓心,長為半徑的圓及兩圓內區域.當直線與兩圓相切時,記為,,如圖2所示.∵,,∴,∴或.∴當時,直線上存在線段的融合點.(2)如圖3-1所示,假設線段位置確定,由軸對稱的性質可知,∴點在以T為圓心,的長為半徑的圓上運動,點在以T為圓心,以的長為半徑的圓上運動,∴的融合點的軌跡即為以T為圓心,的長為半徑的圓和以T為圓心,以的長為半徑的圓的組成的圓環上(包括兩個圓上);當時,如

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