第二部分

傅立葉變換及其快速算法

之

第四章

快速傅里葉變換物電學院CHP4快速傅立葉變換目錄4.1概述4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法4.3頻率抽取（DIF）基2FFT算法

4.5分裂基算法

4.6線性調頻Z變換

4.7與本章有關節MATLAB文件CHP4快速傅立葉變換4.1概述

快速傅里葉變換(FFT)是求解離散傅里葉變換(DFT)的快速算法。問題的提出

直接計算N點DFT需要的計算量是多少？

計算一個X(k)需要N次復數乘法和N一1次復數加法。算出全部N點X(k)共需N2次復數乘法和N(N一1)次復數加法.

總運算量近似地正比于N2

。當N值很大（如2-D圖像處理），運算量將非常龐大；同時，對于實時性很強的信號處理來說，必將對計算速度有十分苛刻的要求。為此，需要改進對DFT的計算方法，以減少總的運算次數。CHP4快速傅立葉變換4.1概述在正交矩陣中，雖然有N2個元素，但只有N個不同的值，且有些取值特別簡單，主要由于旋轉因子具有如下的特點：對稱性周期性下面以四點DFT為例來說明快速算法的思路。如何充分利用這些關系？CHP4快速傅立葉變換4.1概述CHP4快速傅立葉變換4.1概述交換矩陣第二列和第三列得從上面的結果可以看出,利用對稱性和周期性，求四點DFT只需要一次復數乘法，稱為Coolkey-Tukey算法。CHP4快速傅立葉變換4.1概述CHP4快速傅立葉變換算法分類：N為2的整次冪：按基數分為基-2FFT算法、基-4FFT算法、混合基FFT算法、分裂基FFT算法;當N不是2的整次冪:典型的有Winograd算法.按抽取方法分：時間抽取(Decimation－in－Time，簡稱DIT)；頻率抽取(Decimation－in－Frequency，簡稱DIF)

4.1概述CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法

為了將大點數的DFT分解為小點數的DFT運算，要求序列的長度N為N＝2M(M為正整數)。該情況下的變換稱為基2FFT。核心思想是N點DFTN/2點

DFTN/4點

DFT2點

DFT

1個2個4個N/2個問題是如何分最有效？可以對時間變量分（DIT)，也可對頻率變量分(DIF）CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法基本思路：從時域將N點序列x(n)按奇偶項分解為兩組，分別計算兩組N/2點DFT，然后再合成一個N點DFT，按此方法繼續下去，直到2點DFT，從而減少運算量。算法具體步驟：一、算法的推導1、序列x(n)按奇偶項分解為兩組，將DFT運算也相應分為兩組則CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法2、兩個N/2點的DFT合成一個N點DFT問題：A(k)，B(k)都只有N/2個點，怎樣得到X(k)的后N/2點？利用周期性和對稱性得CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法3、繼續分解（一直分解到兩點DFT變換）A(K)和B(K)仍是高復合數(N／2)的DFT，我們可按上述方法繼續以分解。令r＝2l，r＝2l十1，l＝0，1，…，N／4-1，則A(K)和B(K)可分別表示為4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法令則CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法同理，令則按此方法一直分解下去直到2點DFT，當N=8時，如下：CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法下面通過討論尋找FFT的一般規律。二、算法的討論1、“級”的概念在分解過程中，每分一次，稱為一級運算。因為M=log2N，所以N點DFT可以分解為M級，按抽取算法的信號流圖中來定義，從左到右分別稱為0級、1級到M-1級。CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法2、蝶形單元在算法的信號流圖中，第m級存在這種運算，這種結構幾何形狀像蝴蝶，稱為蝶形單元p、q是參于本蝶形單元運算的上、下節點的序號。由于第m級序號的兩點只參于這一個蝶形單元的運算，其輸出在第m十l級。且這一蝶形單元也不再涉及別的點。由于這一特點，在計算機編程時，我們可將蝶形單元的輸出仍放在輸入數組中，這一特點稱為“同址運算”。CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法

由于一級都含有N/2個蝶形單元，每個蝶形單元需要1次復數乘法和兩次復數加法，因此完成log2N級共需要的復數乘法和加法分別為

直接計算DFT時所需的復乘數與復加數都是與N2成正比的。所以采用FFT算法使運算量大大減少。顯然，N值愈大，節省的運算量愈多。CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法3、“組”的概念在分解過程中，每一級的N/2個蝶形單元可以分成若干組，每一組具有相同的結構和W因子分布。第m級可分成N/2m+1組。CHP4快速傅立葉變換例：N=8=23，分3級。第一級的分組及Wr因子如下：m=0級,分成四組：因子為m=1級,分成二組,因子為m=2級,分成一組,因子為4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法4、Wr因子的分布由上分析可知結論：每由后向前（m由M-1-->0級）推進一級，則此系數為后級系數中偶數序號的那一半。CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法5、碼位倒置在FFT算法中，輸出的頻譜依照正常次序排列，但輸入的序列x(n)是按奇偶分開的，分開的規律，以N=8為例，按如下方法進行排序（1）、將x(n)的序號寫成二進制

x(000),x(001),…,x(110)

，x(111)。（2）將二進制的碼進行翻轉，得

x(000),x(100),…,x(011)

，

x(111)。（3）將二進制的翻轉碼轉換為對應的十進制

x(0),x(4),…,x(3)，x(7)。這就是按奇偶抽取得到的順序。CHP4快速傅立葉變換4.2時間抽取（DIT）基2FFT算法說明：①在上述的基2FFT算法中，由于每一步分解都是按輸入序列x(n)在時域上的次序是屬于偶數還是奇數來抽取的，所以稱為“按時間抽取法”或“時間抽取”。

②上述的基2FFT算法中，抽取也可在頻域進行，引出頻率抽取（DIF）基2FFT算法。CHP4快速傅立葉變換4.3頻率抽取（DIF）基2FFT算法

設輸入序列長度為N=2M(M為正整數)，頻率抽取法將輸入序列不是按奇、偶分組，而是按前后對半分開，這樣可將N點DFT寫成前后兩部分;將該序列的頻域的輸出序列X(k)(也是N點序列，按其頻域順序的奇偶分解為越來越短的子序列，稱為基2按頻率抽取的FFT算法。也稱為Sander-Tukey算法。CHP4快速傅立葉變換4.3頻率抽取（DIF）基2FFT算法算法分析

現將輸入x(n)按n的順序分前后兩部分:前半子序列x(n),0≤n≤N/2-1;后半子序列x(n+N/2),0≤n≤N/2-1;例：N=8時，前半序列為：x(0),x(1),x(2),x(3);后半序列為：x(4),x(5),x(6),x(7);考慮N點的DFT,由DFT定義得CHP4快速傅立葉變換4.3頻率抽取（DIF）基2FFT算法CHP4快速傅立葉變換4.3頻率抽取（DIF）基2FFT算法按k的奇偶將X(k)分成奇偶兩部分,k=2r和k=2r+1,考慮k為偶數情況令CHP4快速傅立葉變換4.3頻率抽取（DIF）基2FFT算法考慮k為奇數情況令CHP4快速傅立葉變換4.3頻率抽取（DIF）基2FFT算法結論

一個N點的DFT被分解為兩個N/2點;與時間抽取法的推演過程一樣，由于N=2M,因此,N/2仍為偶數，所以可以將N/2點DFT的輸出X(k)再分為偶數組和奇數組，這樣就將一個N/2點的DFT分成兩個N/4點DFT的輸入，也是將N/2點的DFT的輸入上、下對半分后通過蝶形運算而形成，直至最后為2點DFT。CHP4快速傅立葉變換8點DIF基2FFT算法流圖4.3頻率抽取（DIF）基2FFT算法CHP4快速傅立葉變換4.3頻率抽取（DIF）基2FFT算法CHP4快速傅立葉變換4.3頻率抽取（DIF）基2FFT算法DIT與DIF的相同之處：（1）DIF與DIT兩種算法均為原位運算。（2）DIF與DIT運算量相同。DIT與DIF的不同之處：（1）DIF與DIT兩種算法結構倒過來。DIF為輸入順序，輸出亂序。運算完畢再運行“二進制倒讀”程序。DIT為輸入亂序，輸出順序。先運行“二進制倒讀”程序，再進行求DFT。（2）DIF與DIT根本區別：在于蝶形結不同。DIT的復數相乘出現在減法之前。DIF的復數相乘出現在減法之后。CHP4快速傅立葉變換4.5分裂基算法自從基2快速算法出現以來，人們仍在不斷尋求更快的算法。1984年，法國的杜梅爾(P.Dohamel)和霍爾曼(H.Hollmann)將基2分解和基4分解糅合在一起，提出了分裂基FFT算法。其運算量比前幾種算法都有所減少，運算流圖卻與基2FFT很接近，運算程序也很短。它是目前一種實用的高效新算法。CHP4快速傅立葉變換4.5分裂基算法

分裂基算法又稱基2/4算法,算法的基本思路是:對偶號輸出使用基2算法,對奇號輸出使用基4算法。下面首先介紹基4算法：令N=4M，對N點DFT可按下面方法進行頻率抽取分別令k=4r，k=4r+2，k=4r+1，k=4r+3，其中，r=0，1，2，…N/4-1，有CHP4快速傅立葉變換4.5分裂基算法CHP4快速傅立葉變換4.5分裂基算法4.5分裂基算法CHP4快速傅立葉變換4.5分裂基算法算法分析對于N=4M點DFT，當輸出項k為偶數時，采用基2算法，即當輸出項k為奇數時，采用基4算法，即CHP4快速傅立葉變換4.5分裂基算法CHP4快速傅立葉變換4.5分裂基算法CHP4快速傅立葉變換4.5分裂基算法分析：一個N點DFT可以分解為一個N/2點DFT和兩個N/4點DFT。由x(n)x(n+N/4)x(n+N/2)和x(n+3N/4)求N/2點DFT和N/4的DFT只需要兩次乘法，可以減少運算量。

N/2點DFT可進一步分解為一個N/4點DFT和兩個N/8的DFT。N/4的點DFT進一步分解為一個N/8點DFT和兩個N/16的DFT。

這樣一直下去，直到分解為兩點或4點DFT為止。CHP4快速傅立葉變換4.5分裂基算法結論：分裂基FFT算法結構同基2FFT算法結構相似，適用于N=2M的場合，并由M級運算實現。運算流圖輸入為順序，輸出為倒序。分裂基FFT算法的計算量CHP4快速傅立葉變換

以上提出FFT算法，可以很快地求出全部DFT值。即求出有限長序列x(n)的z變換X(z)在單位園上N個等間隔抽樣點zk處的抽樣值。它要求N為高度復合數。即N可以分解成一些因子的乘積。例N=2L

實際上：（1）也許對其它圍線上z變換取樣發生興趣。如語音處理中，常常需要知道某一圍線z變換的極點所處的復頻率。（2）只需要計算單位圓上某一段的頻譜,即M不等于N。如窄帶信號，希望在窄帶頻率內頻率抽樣能夠非常密集，提高分辨率，帶外則不考慮。（3）若N是大素數時，不能加以分解，又如何有效計算這種序列DFT。例N=311，若用基2則須補N=28=512點，要補211個零點。4.6線性調頻Z變換CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變換問題提出為了提高DFT的靈活性，須用新的方法。線性調頻z變換(CZT)就是適用這種更為一般情況下，由x(n)求X(zk)的快速變換。CZT

來自于雷達專業的專用詞匯。Z變換采用螺線抽樣,可計算單位圓上任一段曲線的Z變換，適用于更一般情況下（M不等于N）由x(n)求X(zr)的快速算法,達到頻域細化的目的，這種變換稱為線性調頻Z變換(簡稱CZT)。CHP4快速傅立葉變換

為適應z可以沿平面內更一般的路徑取值，我們沿z平面上的一段螺線作等分角的抽樣，則z的取樣點Zr可表示為：

已知N點序列x(n)，0≤n≤N-1,其z變換為其中M：表示欲分析的復頻譜的點數。M不一定等于N。A，W都為任意復數,令4.6線性調頻Z變換一、CZT的定義CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變換上式即為CZT的定義.現在討論A0,W0,θ0,φ0的含義:為輸出M點的變換域值.r=0時的A0ejθ0是CZT的起點,隨著r的變化,r0,r1,…,RM-1構成CZT的變化路徑，對于M-1點其極坐標為CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變換CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變換CZT在現Z平面上的變換路徑是一條螺旋線。（1）A為起始樣點位置起點半徑，大于1時，表示螺旋線在單位圓外，反之，在單位圓內。起點半相角。（2）當W0>1,螺旋線內旋，反之外旋。（3）當A0=W0=1時，CZT的變換路徑為單位圓上的一段弧，起點為P，終點為Q，且M不一定等于N。CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變換CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變換

考慮A0=W0=1時，在單位圓上CZT，且M不一定等于N。CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變換CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變換CZT的線性濾波計算步驟CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變換二、CZT的計算方法分析：從上面的推導過程可以看出，計算CZT關鍵是計算一個線性卷積其中，g(n)應為N點序列，h(n)應為偶對稱的無限長序列，考慮到輸出M點序列，h(n)的實際長度應為M點。因此，可用DFT來實現兩者的卷積，具體步驟如下：CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變換（1）計算并設置g(n)CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變換（2）計算并設置h(n)將h(n)設置成長度為L的序列，考慮到其為偶對稱序列，且取M點（輸出M點序列），取如下圖所示CHP4快速傅立葉變換4.6線性調頻Z變