關于代數結構的討論

在定義非空集時，定義代碼常序操作方法后，它具有一定的代碼結構。在代數結構的討論中，必定要涉及到一些與“左”、“右”有關的運算規律及相關概念。它們中的一些對“左”（“右”）能成立，對“右”（“左”）卻不一定能成立。1．分配律的成立在涉及兩種代數運算的體系中，有其中一種運算對另一種運算的第一分配律和第二分配律，或稱為左分配律和右分配律。比如，對于矩陣的乘法和加法，左、右分配律皆成立。對于向量的數性積與向量的加法，左、右分配律也成立。事實上，我們在很多情況下碰到的都是這種左、右分配律成立的事實。說明它們不一定總是成立的例子如下：設G={f/f是定義在實數集上的全體實連續函數},在G上定義代數運算“○”和“+”為：于是（g+h）○f=g○f+h○f總成立，不管g,h,f是G中的哪三個元。然而f○（g+h）=f○g+f○h，并不是對G中的任意三元f,g,h都成立。為了看清楚這一點，敘述一個命題如下：命題：設f是定義在實數集上的實函數，且對任意實數x,y都有f(x+y）=f(x）+f(y）,則f(x）=kx(k為不等于零的常數），證明參見文獻。這樣，只要f不是齊次的線性函數，則就不成立。2非一事變換我們知道，如果一個非空集G對于一個叫做乘法的代數運算構成群，則它的每個a不但有左逆元，而且有右逆元，并且左逆元和右逆元相等。把一個集合A的全體變換放在一起，構成一個集合規定S的代數運算為則S具有恒同變換ε，ε：a→a，并且對于任意τεs，有τε=ετ。但S不構成群，是因為對于S中非一一變換τ，沒有逆元τ-1使τ-1τ=ττ-1=ε成立。現在，我們把要求降低一點，對于非一一變換，它存在左逆元或者右逆元嗎？令G={f/f是定義x≥0上的全體實函數}τ：x→0，若0≤x≤1,x→x-1；若x>1，τ是G中的元，由于τ非一一變換，不存在τ-1∈G使τ-1τ=ττ-1=ε。現在我們構造τ的右逆元τ右-1:(或中的任一實數)，若x=0,x→x+1；若x>0，則ττ右-1=ε。因此，τ存在無數個右逆元，然而τ不存在左逆元，這種情況的發生不是偶然的。定理1:S中的任何一一映射在上面定義的代數運算下都不存在左逆元，而S中所有的非一一滿射變換在S中恒存在右逆元，且右逆元不唯一。證明：設τ是非一一映射，其左逆元設為λ，則有由于τ非一一映射，故存在x1≠x2∈A，使τ（x1）=τ（x2），于是λτ（x1）=λτ（x2），但是λτ（x1）=x1，λτ（x2）=x2，從而λτ（x1）≠λτ（x2），存在矛盾。這就是說，τ是不存在左逆元的。設τ是S的非一一的滿射變換，定義變換μ為：μ：x→x在τ變換下的逆象之一。因此，給定了非一一的滿射變換τ后，μ變換存在，但不唯一確定，且λτ=ε。3r有多個右單位元在一個無單位元的環中,左、右單位元不能同時存在,它可能不止一個左單位元而沒有右單位元,同樣也可能不止一個右單位元而沒有左單位元。譬如,所有形如的矩陣構成一個環,它無右單位元,但有無窮多個左單位元同樣,所有形如的矩陣構成環,但它沒有左單位元,而有無窮多個右單位元然而,我們有定理2。定理2：一個環R有單位元的充要條件是R只有一個右單位元（左單位元）。證明：必要性是顯然的，設eR(eL）是R的唯一的右（左）單位元，對于R的任意元a，由于所以eR+eRa-a=eR(eL+aeL-a=aL），因此，eRa=a(aaL=a）。這就是說，eR(eL）是R的左（右）單位元，故它是R的單位元。在一個有單位元的環中，每一個非零元不一定有逆元，一個元可能有幾個左逆元而沒有右逆元，同樣也可能有幾個右逆元而沒有左逆元。定理3：環R中的非零元a有逆元的充要條件是a在R中有且僅有一個右（左）逆元。證明：必要性顯然，假定非零元a只有唯一的左（右）逆元因為故也是a的左(右)逆元,因而我們有,所以9也是a的右(左)逆元。4．同構映射的同構設G是一個群，g∈G,g在G上產生的右移動Rg定義為Rg:G→G，使Rg(x）=xg。左移動Lg定義為Lg:G→G，使Lg(x）=gx。若定義右移動間的代數運算RgRn:G→G，使RgRh(x）=Rg(Rh(x））=Rg(xh）=xhg，左移動間的代數運算LgLh:G→G,使LgLh(x）=Lg(Lh(x））=Lg(hx）=xhg。那么，我們可證定理4。定理4：群G的所有右移動構成一個群GR，左移動構成一個群GL。證明：我們只證左移動構成一個群，右移動構成群的證明是類似的。由定義，左移動對運算封閉，同時，由于Lf(LgLh）(x）=fghx，(LfLg)Lh(x）=fghx；因此，結合律成立，設G的單位元為e，則Le是左移動的單位元，Lg的逆元是Lg-1。因而，左移動構成群。定理5:GL艿GR艿G。證明：只要證得GL艿G,GR艿G就行了，這里只證GL艿G,GR艿G的證明類似。作映射Φ：g→Lg，則Φ是G到GL的一個滿射，且由消去律得g≠h圯gx≠hx，即g≠h圯Lg≠Lh。因此，Φ是G到GL的一個一一映射，又Lgh(x