第一節二維隨機變量第二節邊緣分布第三節條件分布第四節相互獨立的隨機變量第五節兩個隨機變量的函數的分布第三章多維隨機變量及其分布第一節二維隨機變量第三章多維隨機變量及其分布第一節二維隨機變量二維隨機變量的分布函數二維離散型隨機變量二維連續型隨機變量小結第一節二維隨機變量二維隨機變量的分布函數從本講起，我們開始第三章的學習.一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布

由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們重點討論二維隨機變量.它是第二章內容的推廣.從本講起，我們開始第三章的學習.一維隨機變量及其分布多維隨機

到現在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機現象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.

在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個坐標)（X，Y）來確定的.

飛機的重心在空中的位置是由三個r.v(三個坐標)（X，Y，Z）來確定的等等.到現在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.一般地,設是一個隨機試驗,它的樣本空間是設是定義在上的隨機變量,由它們構成的一個維向量叫做維隨機向量或

維隨機變量.

以下重點討論二維隨機變量.請注意與一維情形的對照.一般地,設是一個隨機試驗,它的樣本空間是設是定義在X的分布函數一維隨機變量如果對于任意實數二元函數稱為二維隨機變量的分布函數,或者稱為隨機變量和的聯合分布函數.定義1設是二維隨機變量,一、二維隨機變量的分布函數X的分布函數一維隨機變量如果對于任意實數二元函數稱為二維隨

將二維隨機變量看成是平面上隨機點的坐標,

那么,分布函數在點處的函數值就是隨機點落在下面左圖所示的,以點為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內的概率.分布函數的函數值的幾何解釋將二維隨機變量看成是平

隨機點落在矩形域內的概率為隨機點落在矩形域內的概率為二維隨機變量邊緣分布條件分布課件二維隨機變量邊緣分布條件分布課件或隨機變量X和Y的聯合分布律.k=1,2,…離散型一維隨機變量XX的分布律k=1,2,…定義2的值是有限對或可列無限多對,是離散型隨機變量.則稱設二維離散型隨機變量可能取的值是記如果二維隨機變量全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機變量的分布律,二、二維離散型隨機變量或隨機變量X和Y的聯合分布律.k=1,2,…離散型一二維離散型隨機變量的分布律具有性質二維離散型隨機變量的分布律具有性質也可用表格來表示隨機變量X和Y的聯合分布律.也可用表格來表示隨機變量X和Y的聯合分布律.

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋擲中正面出現的次數，而Y為正面出現次數與反面出現次數之差的絕對值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}

P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋連續型一維隨機變量XX的概率密度函數定義3對于二維隨機變量的分布函數則稱是連續型的二維隨機變量,函數稱為二維（X,Y)的概率密度,隨機變量三、二維連續型隨機變量存在非負的函數如果任意有使對于

稱為隨機變量X和Y的聯合概率密度.或連續型一維隨機變量XX的概率密度函數定義3對于二維隨機變量（X,Y）的概率密度的性質在f(x,y)的連續點,（X,Y）的概率密度的性質在f(x,y)的連續點,例2

設(X,Y)的概率密度是(1)求分布函數(2)求概率.例2設(X,Y)的概率密度是(1)求分布函數積分區域區域解(1)積分區域區域解(1)二維隨機變量邊緣分布條件分布課件當時,故當時,當時,故當(2)(2)四、小結

在這一節中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量的分布函數,離散型隨機變量的分布律以及連續型隨機變量的概率密度函數.四、小結在這一節中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變第二節邊緣分布邊緣分布函數離散型隨機變量的邊緣分布律連續型隨機變量的邊緣概率密度小結第二節邊緣分布邊緣分布函數

二維聯合分布全面地反映了二維隨機變量(X,Y)的取值及其概率規律.而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問:二者之間有什么關系呢?這一節里,我們就來探求這個問題.二維聯合分布全面地反映了二維隨機變量這一節二維隨機變量(X,Y)作為一個整體,具有分布函數而和都是隨機變量,也有各自的分布函數,分別記為變量(X,Y)

關于X和Y的邊緣分布函數.依次稱為二維隨機一、邊緣分布函數二維隨機變量(X,Y)作為一個整體,具有分布函數而一般地，對離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關于X的邊緣分布律為X和Y的聯合分布律為二、離散型隨機變量的邊緣分布律一般地，對離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(X,Y)關于Y的邊緣分布律為(X,Y)關于Y的邊緣分布律為

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋擲中正面出現的次數，而Y為正面出現次數與反面出現次數之差的絕對值,求(X,Y)的分布律

.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}

P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{

我們常將邊緣分布律寫在聯合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.由聯合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯合分布.我們常將邊緣分布律寫在聯合分布律表格的邊緣上

對連續型r.v(X,Y)，X和Y的聯合概率密度為則(X,Y)關于X的邊緣概率密度為事實上,三、連續型隨機變量的邊緣概率密度對連續型r.v(X,Y)，X和Y的聯合概(X,Y)關于Y的邊緣概率密度為(X,Y)關于Y的邊緣概率密度為例2設(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個邊緣密度。=5c/24,c=24/5.解(1)故例2設(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）例2設(X,Y)的概率密度是解求(1)

c的值;(2)兩個邊緣密度.(2)當時當時,暫時固定例2設(X,Y)的概率密度是解求(1)c注意取值范圍綜上,當時,注意取值范圍綜上,當時,例2設(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)

c的值;(2)兩個邊緣密度.暫時固定例2設(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)綜上,注意取值范圍綜上,注意取值范圍

在求連續型r.v的邊緣密度時，往往要求聯合密度在某區域上的積分.當聯合密度函數是分片表示的時候，在計算積分時應特別注意積分限.下面我們介紹兩個常見的二維分布.在求連續型r.v的邊緣密度時，往1、

設G是平面上的有界區域，其面積為A.若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.

向平面上有界區域G上任投一質點，若質點落在G內任一小區域B的概率與小區域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關.則質點的坐標(X,Y)在G上服從均勻分布.1、設G是平面上的有界區域，其面積為A.若二2、若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度

則稱（X,Y）服從參數為

的二維正態分布.其中均為常數,且記作（X,Y）～N().2、若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度例3

試求二維正態隨機變量的邊緣概率密度.解因為所以例3試求二維正態隨機變量的邊緣概率密度.解因為所以則有則有同理可見由邊緣分布一般不能確定聯合分布.不同的二維正態分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明同理可見由邊緣分布一般不能確定聯合分布.不同的二維正態分布,

1.在這一講中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量的邊緣分布.由聯合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯合分布.2.請注意聯合分布和邊緣分布的關系:四、小結1.在這一講中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量第三節條件分布離散型隨機變量的條件分布連續型隨機變量的條件分布小結第三節條件分布離散型隨機變量的條件分布在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發生的條件下事件A發生的條件概率推廣到隨機變量

設有兩個r.vX,Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這個分布就是條件分布.在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發生的條件下一、離散型隨機變量的條件分布

實際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復.

定義1

設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律.P{X=xi|Y=yj}=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律.

作為條件的那個r.v,認為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.一、離散型隨機變量的條件分布實際上是第一章講過

條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質.正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質.例如：i=1,2,…條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切

解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時擊中目標,且在前n-1次射擊中有一次擊中目標.首次擊中目標時射擊了m次.n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

例2一射手進行射擊，擊中目標的概率射擊進行到第二次擊中目標為止.以X表示首次擊中目標所進行的射擊次數，以Y表示第二次擊中目標時所進行的的射擊次數.試求X和Y的聯合分布及條件分布.{X=m}表解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得X和Y的聯合分布律為

由射擊的獨立性知，不論m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都應等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標的概率為pP{X=m,Y=n}=？(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得

為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(m=1,2,…)為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)于是可求得：當n=2,3,…時，m=1,2,…,n-1聯合分布邊緣分布于是可求得：當n=2,3,…時，m=1,2,…,n-1聯n=m+1,m+2,…當m=1,2,…時，n=m+1,m+2,…當m=1,2,…時，二、連續型隨機變量的條件分布

設(X,Y)是二維連續型r.v，由于對任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.二、連續型隨機變量的條件分布設(X,Y)是二

設X和Y的聯合概率密度為

關于的邊緣概率密度為,

則稱為在的條件下

的條件概率密度.記為若對于固定的,類似地,可以定義在X=x的條件下Y的條件概率密度為設X和Y的聯合概率密度為例3：設(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解X的邊緣密度為例3：設(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解

當|x|<1時,有當|x|<1時,有即當|x|<1時,有X作為已知變量這里是y的取值范圍X已知的條件下Y的條件密度即當|x|<1時,有X作為已知變量這里是y的取值范圍X

例4

設數X在區間(0,1)均勻分布，當觀察到X=x(0<x<1)時，數Y在區間(x,1)上隨機地取值.求Y的概率密度.解依題意，X具有概率密度對于任意給定的值x(0<x<1)，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為例4設數X在區間(0,1)均勻分X和Y的聯合密度為于是得Y的概率密度為已知邊緣密度、條件密度，求聯合密度X和Y的聯合密度為于是得Y的概率密度為已知

這一節，我們介紹了條件分布的概念和計算，并舉例說明對離散型和連續型隨機變量如何計算條件分布.三、小結這一節，我們介紹了條件分布的概念和計算，并舉隨機變量相互獨立的定義例題選講正態隨機變量的獨立性一般n維隨機變量的一些概念和結果小結第四節相互獨立的隨機變量隨機變量相互獨立的定義第四節相互獨立的隨機變量兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立.設X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有

則稱X和Y相互獨立

.一、隨機變量相互獨立的定義兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(用分布函數表示,即

設X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有則稱X和Y相互獨立

.

它表明，兩個r.v相互獨立時，它們的聯合分布函數等于兩個邊緣分布函數的乘積.用分布函數表示,即設X,Y是兩個r.v，若對任意其中是X和Y的聯合密度，

幾乎處處成立，則稱X和Y相互獨立

.對任意的x,y,有

若(X,Y)是連續型r.v

，則上述獨立性的定義等價于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.其中是X和Y的聯合密度，幾乎處處成立，則稱X和Y

若(X,Y)是離散型r.v

，則上述獨立性的定義等價于：則稱X和Y相互獨立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有若(X,Y)是離散型r.v，則上述獨立

例1

設(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？解x>0

y

>0二、例題例1設(X,Y)的概率密度為問X和Y是即可見對一切x,y,均有：故X,Y獨立.即可見對一切x,y,均有：故X,Y獨立.

若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區域，故X和Y不獨立.若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y

例2

甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面.如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨立地到達,而且到達時間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少？解設X為甲到達時刻,Y為乙到達時刻以12時為起點,以分為單位,依題意,X~U(15,45),Y~U(0,60)例2甲乙兩人約定中午12時30分在某所求為P(|X-Y|5),甲先到的概率由獨立性先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率P(X<Y)所求為P(|X-Y|5),甲先到由獨立性先到的人解一P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y<5)P(X<Y)解一P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y解二P(X<Y)=1/2被積函數為常數，直接求面積=P(X>Y)P(|X-Y|5)解二P(X<Y)=1/2被積函數為常數，=P(X>Y)P

在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等可能的.若收到兩個互相獨立的這種信號的時間間隔小于0.5秒，則信號將產生互相干擾.求發生兩信號互相干擾的概率.類似的問題如：在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等可能的.若收到盒內有個白球,個黑球,有放回地摸球

例3

兩次.設第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球試求(3)若改為無放回摸球,解上述兩個問題.盒內有個白球,個黑球,有放回地摸球例3兩解如下表所示:(2)由上表可知解如下表所示:(2)由上表可知表所示:表所示:由上表知:可見故X，Y不相互獨立。由上表知:可見故X，Y不相互獨立。三、正態隨機變量的獨立性由前知X的邊緣分布密度為三、正態隨機變量的獨立性由前知X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為反之，如時X與Y相互獨立，則對任意的x和y有特別地，有反之，如時X與Y相互獨立，則對任意的x和y有特別地，有四、一般n維隨機變量的一些概念和結果

1、2、四、一般n維隨機變量的一些概念和結果1、2、3、4、3、4、

邊緣分布

如：5、邊緣分布5、

相互獨立

6、相互獨立6、定理1：

定理2：定理1：

這一講，我們由兩個事件相互獨立的概念引入兩個隨機變量相互獨立的概念.給出了各種情況下隨機變量相互獨立的條件。五、小結這一講，我們由兩個事件相互獨立的概念引入兩個第五節兩個隨機變量的函數的分布

的分布

M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布小結第五節兩個隨機變量的函數的分布

在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數的分布，現在我們進一步討論:

當隨機變量X,Y的聯合分布已知時，如何求出它們的函數Z=g(X,Y)的分布?引言在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數的

例1

若X、Y獨立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求

Z=X+Y的概率函數.解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨立性r=0,1,2,…一、的分布離散型情形例1若X、Y獨立，P(X=k)=解依題意

例2若X和Y相互獨立,它們分別服從參數為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.解依題意例2r=0,1,…即Z服從參數為的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數為一般情形設

是二維離散型隨機變量,其聯合分布列為

則是一維的離散型隨機變量其分布列為一般情形設是二維離散型隨機變量,其聯合分布列為則例

3設的聯合分布列為

YX-2-1100.20.10.310.300.1分別求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列例3設的聯合分布列為Y解由（X，Y）的聯合分布列可得如下表格(0,-2)(0,-1)(0,1)(1,-2)(1,-1)(1,1)概率0.20.10.30.300.1-2-11-10221-1320-4-3-1-3-20解由（X，Y）的聯合分布列可得如下表格(0,-2)解得所求的各分布列為X+Y-2-1012概率0.20.400.30.1X-Y-10123概率0.30.10.10.20.3X2+Y-2-4-3-2-10概率0.20.400.30.1解得所求的各分布列為X+Y-2-1012概率0.2

例4

設X和Y的聯合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數是:它是直線

x+y=z及其左下方的半平面.連續型情形例4設X和Y的聯合密度為f(x,

化成累次積分,得

固定z和y,對方括號內的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序化成累次積分,得固定z和y,對方括號內的由概率密度與分布函數的關系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對稱性,fZ(z)又可寫成以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.由概率密度與分布函數的關系,即得Z=X+Y的概率密度為:

特別地，當X和Y獨立，設(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.卷積公式特別地，當X和Y獨立，設(X,Y)關于X,例5例5例5（續）例5（續）

例6

若X和Y是兩個相互獨立的隨機變量,

具有相同的分布

N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式例6若X和Y是兩個相互獨立的隨機變令得可見Z=X+Y服從正態分布N(0,2).令得可見Z=X+Y服從正態分布N(0,2).用類似的方法可以證明:

若X和Y獨立,

結論又如何呢?

此結論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結論.

若X和Y獨立

,

具有相同的分布

N(0,1),則Z=X+Y服從正態分布N(0,2).用類似的方法可以證明:若X和Y獨立,結論又

有限個獨立正態變量的線性組合仍然服從正態分布.更一般地,可以證明:有限個獨立正態變量的線性組合仍然服從正態分布.二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y

相互獨立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數即有FM(z)=FX(z)FY(z)二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數由于X和Y

相互獨立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)即有FN(z)=1-[1-FX(

設X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數分別為

我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數.(i=1,…,n)

用與二維時完全類似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數為:設X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機

特別地，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數F(x)時，有特別地，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分

例7

設系統L由兩個相互獨立的子系統連接而成,連接的方式分別為(i)串聯,(ii)并聯,(iii)備用(當系統損壞時,系統開始工作),如下圖所示.設的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度.XYXYXY例7設系統L由兩個相互獨立的子系統XY解(i)串聯的情況

由于當系統中有一個損壞時,系統L就停止工作,所以此時L的壽命為因為X的概率密度為所以X的分布函數為XY解(i)串聯的情況由于當系統當

x>0時,當

x0時,故類似地,

可求得Y的分布函數為當x>0時,當x0時,故類于是的分布函數為=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

的概率密度為于是XY(ii)并聯的情況

由于當且僅當系統都損壞時,系統L才停止工作,所以此時L的壽命為故的分布函數為XY(ii)并聯的情況由于當且僅當系統XY于是的概率密度為(iii)備用的情況因此整個系統L的壽命為

由于當系統損壞時,系統才開始工作,XY于是當

z0時,當

z>0時,當且僅當即時,上述積分的被積函數不等于零.故當z0時,當z>0時,當且僅當于是的概率密度為于是的概率密度為三、小結在這一節中,我們討論了兩個隨機變量的函數的分布的求法.三、小結在這一節中,我們討論了兩個隨機變量的函數第一節二維隨機變量第二節邊緣分布第三節條件分布第四節相互獨立的隨機變量第五節兩個隨機變量的函數的分布第三章多維隨機變量及其分布第一節二維隨機變量第三章多維隨機變量及其分布第一節二維隨機變量二維隨機變量的分布函數二維離散型隨機變量二維連續型隨機變量小結第一節二維隨機變量二維隨機變量的分布函數從本講起，我們開始第三章的學習.一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布

由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們重點討論二維隨機變量.它是第二章內容的推廣.從本講起，我們開始第三章的學習.一維隨機變量及其分布多維隨機

到現在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機現象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.

在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個坐標)（X，Y）來確定的.

飛機的重心在空中的位置是由三個r.v(三個坐標)（X，Y，Z）來確定的等等.到現在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.一般地,設是一個隨機試驗,它的樣本空間是設是定義在上的隨機變量,由它們構成的一個維向量叫做維隨機向量或

維隨機變量.

以下重點討論二維隨機變量.請注意與一維情形的對照.一般地,設是一個隨機試驗,它的樣本空間是設是定義在X的分布函數一維隨機變量如果對于任意實數二元函數稱為二維隨機變量的分布函數,或者稱為隨機變量和的聯合分布函數.定義1設是二維隨機變量,一、二維隨機變量的分布函數X的分布函數一維隨機變量如果對于任意實數二元函數稱為二維隨

將二維隨機變量看成是平面上隨機點的坐標,

那么,分布函數在點處的函數值就是隨機點落在下面左圖所示的,以點為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內的概率.分布函數的函數值的幾何解釋將二維隨機變量看成是平

隨機點落在矩形域內的概率為隨機點落在矩形域內的概率為二維隨機變量邊緣分布條件分布課件二維隨機變量邊緣分布條件分布課件或隨機變量X和Y的聯合分布律.k=1,2,…離散型一維隨機變量XX的分布律k=1,2,…定義2的值是有限對或可列無限多對,是離散型隨機變量.則稱設二維離散型隨機變量可能取的值是記如果二維隨機變量全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機變量的分布律,二、二維離散型隨機變量或隨機變量X和Y的聯合分布律.k=1,2,…離散型一二維離散型隨機變量的分布律具有性質二維離散型隨機變量的分布律具有性質也可用表格來表示隨機變量X和Y的聯合分布律.也可用表格來表示隨機變量X和Y的聯合分布律.

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋擲中正面出現的次數，而Y為正面出現次數與反面出現次數之差的絕對值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}

P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋連續型一維隨機變量XX的概率密度函數定義3對于二維隨機變量的分布函數則稱是連續型的二維隨機變量,函數稱為二維（X,Y)的概率密度,隨機變量三、二維連續型隨機變量存在非負的函數如果任意有使對于

稱為隨機變量X和Y的聯合概率密度.或連續型一維隨機變量XX的概率密度函數定義3對于二維隨機變量（X,Y）的概率密度的性質在f(x,y)的連續點,（X,Y）的概率密度的性質在f(x,y)的連續點,例2

設(X,Y)的概率密度是(1)求分布函數(2)求概率.例2設(X,Y)的概率密度是(1)求分布函數積分區域區域解(1)積分區域區域解(1)二維隨機變量邊緣分布條件分布課件當時,故當時,當時,故當(2)(2)四、小結

在這一節中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量的分布函數,離散型隨機變量的分布律以及連續型隨機變量的概率密度函數.四、小結在這一節中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變第二節邊緣分布邊緣分布函數離散型隨機變量的邊緣分布律連續型隨機變量的邊緣概率密度小結第二節邊緣分布邊緣分布函數

二維聯合分布全面地反映了二維隨機變量(X,Y)的取值及其概率規律.而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問:二者之間有什么關系呢?這一節里,我們就來探求這個問題.二維聯合分布全面地反映了二維隨機變量這一節二維隨機變量(X,Y)作為一個整體,具有分布函數而和都是隨機變量,也有各自的分布函數,分別記為變量(X,Y)

關于X和Y的邊緣分布函數.依次稱為二維隨機一、邊緣分布函數二維隨機變量(X,Y)作為一個整體,具有分布函數而一般地，對離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關于X的邊緣分布律為X和Y的聯合分布律為二、離散型隨機變量的邊緣分布律一般地，對離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(X,Y)關于Y的邊緣分布律為(X,Y)關于Y的邊緣分布律為

例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋擲中正面出現的次數，而Y為正面出現次數與反面出現次數之差的絕對值,求(X,Y)的分布律

.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}

P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設X為三次拋P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{

我們常將邊緣分布律寫在聯合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.由聯合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯合分布.我們常將邊緣分布律寫在聯合分布律表格的邊緣上

對連續型r.v(X,Y)，X和Y的聯合概率密度為則(X,Y)關于X的邊緣概率密度為事實上,三、連續型隨機變量的邊緣概率密度對連續型r.v(X,Y)，X和Y的聯合概(X,Y)關于Y的邊緣概率密度為(X,Y)關于Y的邊緣概率密度為例2設(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個邊緣密度。=5c/24,c=24/5.解(1)故例2設(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）例2設(X,Y)的概率密度是解求(1)

c的值;(2)兩個邊緣密度.(2)當時當時,暫時固定例2設(X,Y)的概率密度是解求(1)c注意取值范圍綜上,當時,注意取值范圍綜上,當時,例2設(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)

c的值;(2)兩個邊緣密度.暫時固定例2設(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)綜上,注意取值范圍綜上,注意取值范圍

在求連續型r.v的邊緣密度時，往往要求聯合密度在某區域上的積分.當聯合密度函數是分片表示的時候，在計算積分時應特別注意積分限.下面我們介紹兩個常見的二維分布.在求連續型r.v的邊緣密度時，往1、

設G是平面上的有界區域，其面積為A.若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.

向平面上有界區域G上任投一質點，若質點落在G內任一小區域B的概率與小區域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關.則質點的坐標(X,Y)在G上服從均勻分布.1、設G是平面上的有界區域，其面積為A.若二2、若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度

則稱（X,Y）服從參數為

的二維正態分布.其中均為常數,且記作（X,Y）～N().2、若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度例3

試求二維正態隨機變量的邊緣概率密度.解因為所以例3試求二維正態隨機變量的邊緣概率密度.解因為所以則有則有同理可見由邊緣分布一般不能確定聯合分布.不同的二維正態分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明同理可見由邊緣分布一般不能確定聯合分布.不同的二維正態分布,

1.在這一講中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量的邊緣分布.由聯合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯合分布.2.請注意聯合分布和邊緣分布的關系:四、小結1.在這一講中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量第三節條件分布離散型隨機變量的條件分布連續型隨機變量的條件分布小結第三節條件分布離散型隨機變量的條件分布在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發生的條件下事件A發生的條件概率推廣到隨機變量

設有兩個r.vX,Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這個分布就是條件分布.在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發生的條件下一、離散型隨機變量的條件分布

實際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復.

定義1

設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律.P{X=xi|Y=yj}=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律.

作為條件的那個r.v,認為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.一、離散型隨機變量的條件分布實際上是第一章講過

條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質.正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質.例如：i=1,2,…條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切

解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時擊中目標,且在前n-1次射擊中有一次擊中目標.首次擊中目標時射擊了m次.n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

例2一射手進行射擊，擊中目標的概率射擊進行到第二次擊中目標為止.以X表示首次擊中目標所進行的射擊次數，以Y表示第二次擊中目標時所進行的的射擊次數.試求X和Y的聯合分布及條件分布.{X=m}表解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得X和Y的聯合分布律為

由射擊的獨立性知，不論m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都應等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標的概率為pP{X=m,Y=n}=？(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得

為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(m=1,2,…)為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)于是可求得：當n=2,3,…時，m=1,2,…,n-1聯合分布邊緣分布于是可求得：當n=2,3,…時，m=1,2,…,n-1聯n=m+1,m+2,…當m=1,2,…時，n=m+1,m+2,…當m=1,2,…時，二、連續型隨機變量的條件分布

設(X,Y)是二維連續型r.v，由于對任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.二、連續型隨機變量的條件分布設(X,Y)是二

設X和Y的聯合概率密度為

關于的邊緣概率密度為,

則稱為在的條件下

的條件概率密度.記為若對于固定的,類似地,可以定義在X=x的條件下Y的條件概率密度為設X和Y的聯合概率密度為例3：設(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解X的邊緣密度為例3：設(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解

當|x|<1時,有當|x|<1時,有即當|x|<1時,有X作為已知變量這里是y的取值范圍X已知的條件下Y的條件密度即當|x|<1時,有X作為已知變量這里是y的取值范圍X

例4

設數X在區間(0,1)均勻分布，當觀察到X=x(0<x<1)時，數Y在區間(x,1)上隨機地取值.求Y的概率密度.解依題意，X具有概率密度對于任意給定的值x(0<x<1)，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為例4設數X在區間(0,1)均勻分X和Y的聯合密度為于是得Y的概率密度為已知邊緣密度、條件密度，求聯合密度X和Y的聯合密度為于是得Y的概率密度為已知

這一節，我們介紹了條件分布的概念和計算，并舉例說明對離散型和連續型隨機變量如何計算條件分布.三、小結這一節，我們介紹了條件分布的概念和計算，并舉隨機變量相互獨立的定義例題選講正態隨機變量的獨立性一般n維隨機變量的一些概念和結果小結第四節相互獨立的隨機變量隨機變量相互獨立的定義第四節相互獨立的隨機變量兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立.設X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有

則稱X和Y相互獨立

.一、隨機變量相互獨立的定義兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(用分布函數表示,即

設X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有則稱X和Y相互獨立

.

它表明，兩個r.v相互獨立時，它們的聯合分布函數等于兩個邊緣分布函數的乘積.用分布函數表示,即設X,Y是兩個r.v，若對任意其中是X和Y的聯合密度，

幾乎處處成立，則稱X和Y相互獨立

.對任意的x,y,有

若(X,Y)是連續型r.v

，則上述獨立性的定義等價于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.其中是X和Y的聯合密度，幾乎處處成立，則稱X和Y

若(X,Y)是離散型r.v

，則上述獨立性的定義等價于：則稱X和Y相互獨立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有若(X,Y)是離散型r.v，則上述獨立

例1

設(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？解x>0

y

>0二、例題例1設(X,Y)的概率密度為問X和Y是即可見對一切x,y,均有：故X,Y獨立.即可見對一切x,y,均有：故X,Y獨立.

若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區域，故X和Y不獨立.若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解0<x<10<y

例2

甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面.如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨立地到達,而且到達時間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少？解設X為甲到達時刻,Y為乙到達時刻以12時為起點,以分為單位,依題意,X~U(15,45),Y~U(0,60)例2甲乙兩人約定中午12時30分在某所求為P(|X-Y|5),甲先到的概率由獨立性先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率P(X<Y)所求為P(|X-Y|5),甲先到由獨立性先到的人解一P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y<5)P(X<Y)解一P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y解二P(X<Y)=1/2被積函數為常數，直接求面積=P(X>Y)P(|X-Y|5)解二P(X<Y)=1/2被積函數為常數，=P(X>Y)P

在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等可能的.若收到兩個互相獨立的這種信號的時間間隔小于0.5秒，則信號將產生互相干擾.求發生兩信號互相干擾的概率.類似的問題如：在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等可能的.若收到盒內有個白球,個黑球,有放回地摸球

例3

兩次.設第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球試求(3)若改為無放回摸球,解上述兩個問題.盒內有個白球,個黑球,有放回地摸球例3兩解如下表所示:(2)由上表可知解如下表所示:(2)由上表可知表所示:表所示:由上表知:可見故X，Y不相互獨立。由上表知:可見故X，Y不相互獨立。三、正態隨機變量的獨立性由前知X的邊緣分布密度為三、正態隨機變量的獨立性由前知X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為反之，如時X與Y相互獨立，則對任意的x和y有特別地，有反之，如時X與Y相互獨立，則對任意的x和y有特別地，有四、一般n維隨機變量的一些概念和結果

1、2、四、一般n維隨機變量的一些概念和結果1、2、3、4、3、4、

邊緣分布

如：5、邊緣分布5、

相互獨立

6、相互獨立6、定理1：

定理2：定理1：

這一講，我們由兩個事件相互獨立的概念引入兩個隨機變量相互獨立的概念.給出了各種情況下隨機變量相互獨立的條件。五、小結這一講，我們由兩個事件相互獨立的概念引入兩個第五節兩個隨機變量的函數的分布

的分布

M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布小結第五節兩個隨機變量的函數的分布

在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數的分布，現在我們進一步討論:

當隨機變量X,Y的聯合分布已知時，如何求出它們的函數Z=g(X,Y)的分布?引言在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數的

例1

若X、Y獨立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求

Z=X+Y的概率函數.解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨立性r=0,1,2,…一、的分布離散型情形例1若X、Y獨立，P(X=k)=解依題意

例2若X和Y相互獨立,它們分別服從參數為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.解依題意例2r=0,1,…即Z服從參數為的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數為一般情形設

是二維離散型隨機變量,其聯合分布列為

則是一維的離散型隨機變量其分布列為一般情形設是二維離散型隨機變量,其聯合分布列為則例

3設的聯合分布列為

YX-2-1100.20.10.310.300.1分別求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列例3設的聯合分布列為Y解由（X，Y）的聯合分布列可得如下表格(0,-2)(0,-1)(0,1)(1,-2)(1,-1)(1,1)概率0.20.10.30.300.1-2-11-10221-1320-4-3-1-3-20解由（X，Y）的聯合分布列可得如下表格(0,-2)解得所求的各分布列為X+Y-2-1012概率0.20.400.30.1X-Y-10123概率0.30.10.10.20.3X2+Y-2-4-3-2-10概率0.20.400.30.1解得所求的各分布列為X+Y-2-1012概率0.2

例4

設X和Y的聯合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數是:它是直線

x+y=z及其左下方的半平面.連續型情形例4設X和Y的聯合密度為f(x,

化成累次積分,得

固定z和y,對方括號內的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序化成累次積分,得固定z和y,對方括號內的由概率密度與分布函數的關系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對稱性,fZ(z)又可