2023-2024學年山東省青島市黃島區高二上數學期末統考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列中，若，且前n項和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.182．氣象臺正南方向的一臺風中心，正向北偏東30°方向移動，移動速度為，距臺風中心以內的地區都將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變，氣象臺所在地受到臺風影響持續時間大約是（）A. B.C. D.3．“不到長城非好漢，屈指行程二萬”，出自毛主席1935年10月所寫的一首詞《清平樂·六盤山》，反映了中華民族的一種精神氣魄，一種積極向上的奮斗精神.從數學邏輯角度分析，其中“好漢”是“到長城”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．由小到大排列的一組數據：，其中每個數據都小于，另一組數據2、的中位數可以表示為（）A. B.C. D.5．若x，y滿足約束條件,則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.56．我國古代數學論著中有如下敘述：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈二百五十四．”思如下：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層下一層所掛燈數是上一層所掛燈數的2倍．下列結論不正確的是（）A.底層塔共掛了128盞燈B.頂層塔共掛了2盞燈C.最下面3層塔所掛燈的總盞數比最上面3層塔所掛燈的總盞數多200D.最下面3層塔所掛燈的總盞數是最上面3層塔所掛燈的總盞數的16倍7．已知拋物線C：，焦點為F，點到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.8．已知直線，，若，則實數（）A. B.C.1 D.29．如圖，過拋物線的焦點的直線依次交拋物線及準線于點，若且，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.10．等差數列中，，則前項的和（）A. B.C. D.11．已知長方體的底面ABCD是邊長為8的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.12．如圖，在正方體中，E為的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對于任意實數，的最小值是2，則的最小值是___________.14．某校開展“讀書月”朗誦比賽，9位評委為選手A給出的分數如右邊莖葉圖所示.記分員在去掉一個最高分和一個最低分后算得平均分為91，復核員在復核時發現有一個數字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計算無誤，則數字x應該是___________.選手A87899924x1515．的展開式中的系數為_________16．等差數列的前n項和分別為，若對任意正整數n都有，則的值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，FA⊥平面ABCD，ED//FA，且AB=FA=2ED=2（1）求證：平面FAC⊥平面EFC；（2）求多面體ABCDEF的體積18．（12分）已知拋物線E：過點Q(1，2)，F為其焦點，過F且不垂直于x軸的直線l交拋物線E于A，B兩點，動點P滿足△PAB的垂心為原點O.（1）求拋物線E的方程；（2）求證：動點P在定直線m上，并求的最小值.19．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別是上的點，滿足.（1）求證：四點共面；（2）設與交于點，求證：三點共線.20．（12分）已知函數.（1）當時，求的極值；（2）當時，，求a的取值范圍.21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率等于，點，且的面積等于（1）求橢圓的標準方程；（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于A，B兩點，當點A關于y軸的對稱點在直線PB上時，直線是否過定點?若過定點，求出此定點；若不過，請說明理由22．（10分）某餐館將推出一種新品特色菜，為更精準確定最終售價，這種菜按以下單價各試吃1天，得到如下數據：（1）求銷量關于的線性回歸方程；（2）預計今后的銷售中，銷量與單價服從（1）中的線性回歸方程，已知每份特色菜的成本是15元，為了獲得最大利潤，該特色菜的單價應定為多少元？（附：，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結果.【詳解】前n項和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【點睛】本題考查等差數列前n項和的有關判斷，解題的關鍵是得出.2、D【解析】利用余弦定理進行求解即可.【詳解】如圖所示：設臺風中心為，，小時后到達點處，即，當時，氣象臺所在地受到臺風影響，由余弦定理可知：，于是有：，解得：，所以氣象臺所在地受到臺風影響持續時間大約是，故選：D3、A【解析】根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】解：設為不到長城，推出非好漢，即，則，即好漢到長城，故“好漢”是“到長城”的充分條件，故選：A4、C【解析】先根據題意對數據進行排列，然后由中位數的定義求解即可【詳解】因為由小到大排列的一組數據：，其中每個數據都小于，所以另一組數據2、從小到大的排列為，所以這一組數的中位數為，故選：C5、C【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義即可求解【詳解】作出可行域如圖所示，把目標函數轉化為，平移，經過點時，縱截距最大，所以的最大值為4.故選：C6、C【解析】由題設易知是公比為2的等比數列，應用等比數列前n項和公式求，結合各選項的描述及等比數列通項公式、前n項和公式判斷正誤即可.【詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數為，則數列是公比為2的等比數列，且，解得，所以頂層塔共掛了2盞燈，B正確；底層塔共掛了盞燈，A正確最上面3層塔所掛燈總盞數為14，最下面3層塔所掛燈的總盞數為224，C不正確，D正確故選：C.7、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因為點在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D8、D【解析】根據兩條直線的斜率相等可得結果.【詳解】因為直線，，且，所以，故選：D.9、D【解析】如圖根據拋物線定義可知，進而推斷出的值，在直角三角形中求得，進而根據，利用比例線段的性質可求得，則拋物線方程可得.【詳解】如圖分別過點，作準線的垂線，分別交準線于點，設，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以拋物線的方程為故選：D10、D【解析】利用等差數列下標和性質可求得，根據等差數列求和公式可求得結果.【詳解】數列為等差數列，，解得：；.故選：D.11、A【解析】建立空間直角坐標系，結合空間向量的夾角坐標公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標系∵底面是邊長為8的正方形，，∴，，，因為,且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：A.12、D【解析】構建空間直角坐標系，求直線的方向向量、平面的法向量，應用空間向量的坐標表示，求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】以點D為坐標原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，可得，，，設面的法向量為，有，取，則，所以，，，則直線與平面所成角的正弦值為故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標系，根據條件求得坐標，由二次函數求最值即可求得最小值.【詳解】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標系，則，由可設，由是單位空間向量可得，由可設，，當，的最小值是2，所以，取，，，當時，最小值為.故答案為：.14、4【解析】根據題意分和兩種情況討論，再根據平均分公式計算即可得出答案.【詳解】解：當時，則去掉的最低分數為87分，最高分數為95分，則，所以，當時，則去掉的最低分數為87分，最高分數為分，則平均分為，與題意矛盾，綜上.故答案為：4.15、4【解析】將代數式變形為，寫出展開式的通項，令的指數為，求得參數的值，代入通項即可求解.【詳解】由展開式的通項為，令，得展開式中的系數為.由展開式的通項為，令，得展開式中的系數為.所以的展開式中的系數為.故答案為：.16、##0.68【解析】利用等差數列求和公式與等差中項進行求解.【詳解】由題意得：，同理可得：，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)連接BD交AC于點O，設FC的中點為P，連接OP，EP，證明BD//EP，BD⊥平面FAC即可推理作答.(2)求出三棱錐和四棱錐的體積即可計算作答.【小問1詳解】連接BD交AC于點O，設FC的中點為P，連接OP，EP，如圖，菱形ABCD中，O為AC的中點，則OP//FA，且，而ED//FA，且FA=2ED，于是得OP//ED，且OP=ED，即有四邊形OPED為平行四邊形，則OD//EP，即BD//EP，因為FA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，則FA⊥BD，又四邊形ABCD是菱形，即BD⊥AC，而FAAC=A，平面FAC，因此，BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，又EP平面EFC，所以平面FAC⊥平面EFC.【小問2詳解】由已知，是正三角形，，則，取AD的中點G，連接CG，而△ACD為正三角形，從而有CG⊥AD，且，因FA⊥平面ABCD，FA平面ADEF，則平面ADEF⊥平面ABCD，又平面ADEF平面ABCD=AD，而CG平面ABCD，因此，CG⊥平面ADEF，則點C到平面ADEF的距離為，又，于是得，所以多面體ABCDEF的體積.18、（1）；（2）證明見解析，的最小值為.【解析】（1）將點的坐標代入拋物線方程，由此求得的值，進而求得拋物線的方程.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程與拋物線的方程，寫出韋達定理，設出直線的方程，聯立直線的方程求得的坐標，由此判斷出動點在定直線上.求得的表達式，利用基本不等式求得其最小值.【詳解】（1）將點坐標代入拋物線方程得，所以.（2）由（1）知拋物線的方程為，所以，設直線的方程為，設，由消去得，所以.由于為三角形的垂心，所以，所以直線的方程為，即.同理可求得直線的方程為.由，結合，解得，所以在定直線上.直線的方程為，到直線的距離為，到直線的距離為.所以，當且僅當時取等號.所以的最小值為.【點睛】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線中三角形面積的有關計算，屬于中檔題.19、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【小問1詳解】連接AC，分別是的中點，.在中，，所以四點共面.【小問2詳解】，所以，又平面平面，同理平面，為平面與平面的一個公共點.又平面平面，即三點共線.20、（1）極大值，沒有極小值（2）【解析】（1）把代入，然后對函數求導，結合導數可求函數單調區間,即可得解；（2）構造函數，將不等式的恒成立轉化為函數的最值問題，結合導數與單調性及函數的性質對進行分類討論，其中當和時易判斷函數的單調性以及最小值，而當時，的最小值與0進一步判斷【小問1詳解】當時，的定義域為，.當時，，當時，，所以在上為增函數，在上為減函數.故有極大值，沒有極小值.【小問2詳解】當時，恒成立等價于對于任意恒成立.令，則.若，則，所以在上單調遞減，所以，符合題意.若，所以在上單調遞減，，符合題意.若，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，不合題意.綜上可知，a的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了不等式恒成立問題，其關鍵是構造函數，通過討論參數在不同取值范圍時函數的單調性，求出函數的最值，解出參數的范圍.必要時二次求導.21、（1）（2）【解析】（1）用待定系數法求出橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為,設，用“設而不求法”表示出和.表示出直線PB，把A關于y軸的對稱點為帶入后整理化簡，即可得到，從而可以判斷出直線恒過定點.【小問1詳解】由題意可得：，解得：，所以橢圓的標準方程為：.【小問2詳解】由題意可知,直線的斜率存在且不為0,設直線的方程為,設設點A關于y軸的