2023-2024學(xué)年西南大學(xué)附中高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓上的一點到橢圓一個焦點的距離為3，則點到另一焦點的距離為（）A.1 B.3C.5 D.72．若數(shù)列滿足，則（）A.2 B.6C.12 D.203．已知為圓：上任意一點，則的最小值為（）A. B.C. D.4．已知三個頂點都在拋物線上，且為拋物線的焦點，若，則（）A.6 B.8C.10 D.125．已知兩條直線：，：，且，則的值為()A.－2 B.1C.－2或1 D.2或－16．若拋物線的準線方程是，則拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.7．已知兩個向量，，且，則的值為（）A.1 B.2C.4 D.88．我們知道∶用平行于圓錐母線的平面（不過頂點）截圓錐，則平面與圓錐側(cè)面的交線是拋物線一部分，如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點，已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點到其準線的距離等于（）A. B.C. D.19．拋物線的準線方程是（）A. B.C. D.10．若兩直線與互相垂直，則k的值為（）A.1 B.-1C.-1或1 D.211．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若的零點為，極值點為，則（）A. B.0C.1 D.212．在棱長為2的正方體中，為線段的中點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項和，則該數(shù)列的首項__________，通項公式__________.14．已知數(shù)列的前n項和，則其通項公式______15．曲線在x=1處的切線方程為__________.16．函數(shù)的圖象在點處的切線的方程是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使成立的的最小值.19．（12分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的一點.（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求點B到平面DFE距離.20．（12分）已知橢圓：的長軸長為6，離心率為，長軸的左，右頂點分別為A，B（1）求橢圓的方程；（2）已知過點的直線交橢圓于M、N兩個不同的點，直線AM，AN分別交軸于點S、T，記，（為坐標原點），當(dāng)直線的傾斜角為銳角時，求的取值范圍21．（12分）寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假：（1）：任意兩個等邊三角形都是相似的；（2）：，.22．（10分）已知圓C經(jīng)過點，，且圓心C在直線上（1）求圓C的標準方程；（2）過點向圓C引兩條切線PD，PE，切點分別為D，E，求切線PD，PE的方程，并求弦DE的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由橢圓的定義可以直接求得點到另一焦點的距離.【詳解】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、,由已知條件得，由橢圓定義得,其中，則.故選：.2、D【解析】由已知條件變形可得，然后累乘法可得，即可求出詳解】由得，，.故選：D3、C【解析】設(shè)，則的幾何意義為圓上的點和定點連線的斜率，利用直線和圓相切，即可求出的最小值；【詳解】圓，它圓心是，半徑為1，設(shè)，則，即，當(dāng)直線和圓相切時，有，可得，，的最小值為：，故選：4、D【解析】設(shè)，，，由向量關(guān)系化為坐標關(guān)系，再結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可計算【詳解】由得焦點，準線方程為，設(shè)，，由得則，化簡得所以故選：D5、B【解析】兩直線平行，傾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，據(jù)此即可求解.【詳解】：，：斜率不可能同時不存在，∴和斜率相等，則或，∵m＝－2時，和重合，故m＝1.另解：，故m=1.故選：B.6、D【解析】根據(jù)拋物線的準線方程，可直接得出拋物線的焦點，進而利用待定系數(shù)法求得拋物線的標準方程【詳解】準線方程為，則說明拋物線的焦點在軸的正半軸則其標準方程可設(shè)為：則準線方程為：解得：則拋物線的標準方程為：故選：D7、C【解析】由，可知，使，利用向量的數(shù)乘運算及向量相等即可得解.【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【點睛】思路點睛：在解決有關(guān)平行的問題時，通常需要引入?yún)?shù)，如本題中已知，引入?yún)?shù)，使，轉(zhuǎn)化為方程組求解；本題也可以利用坐標成比例求解，即由，得，求出m，n.8、C【解析】由圓錐的底面半徑和高及E的位置可得，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担傻肅的坐標，設(shè)拋物線的方程，將C的坐標代入求出拋物線的方程，進而可得焦點到其準線的距離【詳解】設(shè)AB，CD的交點為，連接PO，由題意可得PO⊥面AB，所以PO⊥OB，由題意OB=OP=OC=2，因為E是母線PB的中點，所以，由題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担訠P為y軸以O(shè)E為x軸，E為坐標原點，如圖所示∶可得∶，設(shè)拋物線的方程為y2=mx，將C點坐標代入可得，所以，所以拋物線的方程為∶，所以焦點坐標為，準線方程為，所以焦點到其準線的距離為故選：C9、D【解析】將拋物線的方程化為標準方程，可得出該拋物線的準線方程.【詳解】拋物線的標準方程為，則，可得，因此，該拋物線的準線方程為.故選：D.10、B【解析】根據(jù)互相垂直的兩直線的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由，因此直線的斜率為，直線的斜率為，因為兩直線與互相垂直，所以，故選：B11、C【解析】令可求得其零點，即的值，再利用導(dǎo)數(shù)可求得其極值點，即的值，從而可得答案【詳解】解：，當(dāng)時，，即，解得；當(dāng)時，恒成立，的零點為又當(dāng)時，為增函數(shù)，故在，上無極值點；當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，取到極小值，即的極值點，故選：C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，突出分析運算能力的考查，屬于中檔題12、D【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，在直角△中應(yīng)用等面積法求到直線的距離.【詳解】由正方體的性質(zhì)：面，又面，故，直角△中，若到上的高為，∴，而，，，∴.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.；②..【解析】空一：利用代入法直接進行求解即可；空二：利用之間的關(guān)系進行求解即可.【詳解】空一：；空二：當(dāng)時，，顯然不適合上式，所以，故答案為：；14、【解析】利用當(dāng)時，，可求出此時的通項公式，驗證n=1時是否適合，可得答案.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，不適合上式，∴，故答案為:.15、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的斜率并求出，再由點斜式寫出切線方程即可.【詳解】由題設(shè)，，則，而，所以在x=1處的切線方程為，即.故答案為：.16、【解析】求導(dǎo)，求得，，根據(jù)直線的點斜式方程求得答案.【詳解】因為，，所以切線的斜率，切線方程是，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)在上遞增，在上遞減，極大值為，無極小值（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號求得單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解；（2）若存在，使不等式成立，問題轉(zhuǎn)化為，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得出答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的極大值為，無極小值；【小問2詳解】解：若存在，使不等式成立，則，即，則問題轉(zhuǎn)化為，令，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在遞增，在上遞減，所以，所以.18、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）化簡，結(jié)合裂項相消法求出數(shù)列的和；（3）利用分組法求得，結(jié)合，即可求得的最小值.【小問1詳解】解：因為各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，；兩式相減可得，整理得（常數(shù)），故數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列；所以.【小問2詳解】解：由，可得，所以，所以.【小問3詳解】解：由，可得，所以當(dāng)為偶數(shù)時，，因為，且為偶數(shù)，所以的最小值為48；當(dāng)為奇數(shù)時，，不存在最小的值，故當(dāng)為48時，滿足條件.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得.（2）利用平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值列方程，求得，結(jié)合向量法求得到平面的距離.【小問1詳解】以B為坐標原點，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標系.設(shè)，可得，，，.，.因為，所以.【小問2詳解】，設(shè)為平面DEF的法向量，則，即，可取.因為平面的法向量為，所以.由題設(shè)，可得，所以.點B到DFE平面距離.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的長軸和離心率，可求得，進而得橢圓方程；（2）先判斷直線斜率為正，然后設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，整理得根與系數(shù)的關(guān)系，利用直線方程求出點S、T的坐標，再根據(jù)確定的表達式，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入化簡，求得結(jié)果.【小問1詳解】由題意可得：解得：，所以橢圓的方程：【小問2詳解】當(dāng)直線l的傾斜角為銳角時，設(shè)，設(shè)直線，由得，從而，又，得，所以，又直線的方程是：，令，解得，所以點S為；直線的方程是：，同理點T為·所以，因為，所以，所以∵，∴，綜上，所以的范圍是21、（1）存在兩個等邊三角形不是相似的，假命題（2），真命題【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準確改寫，即可求解.【小問1詳解】解：命題“任意兩個等邊三角形都是相似的”是一個全稱命題根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得其否定“存在兩個等邊三角形不是相似的”，命題為假命題.【小問2詳解】解：根據(jù)全稱命題與存在性命題關(guān)系，可得：命題的否定為.因為，所以命題為真命題.22、（1）（2）或，【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)圓心在直線上及圓過兩點建立方程求解即可；（2）分