2023-2024學年云南省景東縣第二中學高二上數學期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．閱讀如圖所示程序框圖，運行相應的程序，輸出S的結果是（）A.128 B.64C.16 D.322．已知圓和橢圓．直線與圓交于、兩點，與橢圓交于、兩點．若時，的取值范圍是，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．已知向量，，則以下說法不正確的是（）A. B.C. D.4．已知橢圓和雙曲線有共同焦點，是它們一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.5．已知是等差數列的前項和，，，則的最小值為（）A. B.C. D.6．我們通常稱離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，分別為左、右、上、下頂點，，分別為左、右焦點，為橢圓上一點，下列條件中能使橢圓為“黃金橢圓”的是（）A. B.C.軸，且 D.四邊形的一個內角為7．“不到長城非好漢，屈指行程二萬”，出自毛主席1935年10月所寫的一首詞《清平樂·六盤山》，反映了中華民族的一種精神氣魄，一種積極向上的奮斗精神.從數學邏輯角度分析，其中“好漢”是“到長城”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b等于（）A. B.2C. D.49．（2016新課標全國Ⅱ理科）已知F1，F2是雙曲線E：的左，右焦點，點M在E上，MF1與軸垂直，sin,則E的離心率為A. B.C. D.210．如圖，四棱錐的底面是矩形，設，，，是棱上一點，且，則（）A. B.C. D.11．元朝著名的數學家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走.遇店添一倍，逢友飲一斗.”基于此情景，設計了如圖所示的程序框圖，若輸入的，輸出的，則判斷框中可以填（）A. B.C. D.12．設,,,則,,大小關系為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過右焦點且傾斜角為直線l與該雙曲線交于M，N兩點（點M位于第一象限），的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，則為___________.14．若復數滿足，則_____15．已知點，圓：.若過點的圓的切線只有一條，求這條切線方程____________.16．若橢圓的焦點在軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列的前項和滿足，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.18．（12分）已知命題：方程有實數解，命題：，.（1）若是真命題，求實數的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實數的取值范圍.19．（12分）已知拋物線的焦點為F，直線l過點（1）若點F到直線l的距離為，求直線l的斜率；（2）設A，B為拋物線上兩點，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標為定值20．（12分）如圖所示，在三棱柱中，平面，，，，點，分別在棱和棱上，且，，點為棱的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時，證明l與C總相交；（2）m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此弦長22．（10分）如圖，在正方體中，分別是，的中點.求證：（1）平面；（2）平面平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據程序框圖的循環邏輯寫出執行步驟，即可確定輸出結果.【詳解】根據流程圖的執行邏輯，其執行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C2、C【解析】由題設，根據圓與橢圓的對稱性，假設在第一象限可得，結合已知有，進而求橢圓的離心率.【詳解】由題設，圓與橢圓的如下圖示：又時，的取值范圍是，結合圓與橢圓的對稱性，不妨假設在第一象限，∴從0逐漸增大至無窮大時，，故，∴故選：C.3、C【解析】可根據已知的和的坐標，通過計算向量數量積、向量的模，即可做出判斷.【詳解】因為向量，，所以，故，所以選項A正確；，，所以，故選項B正確；，所以，故選項C錯誤；，所以，，故，所以選項D正確.故選：C.4、D【解析】設橢圓長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長a2，焦距2c．根據橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據余弦定理可得到，利用基本不等式可得結論【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長為a2，則根據橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，考查利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題5、C【解析】根據，可得，再根據，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以的最小值為.故選：C.6、B【解析】先求出橢圓的頂點和焦點坐標，對于A，根據橢圓的基本性質求出離心率判斷A；對于B，根據勾股定理以及離心率公式判斷B；根據結合斜率公式以及離心率公式判斷C；由四邊形的一個內角為,即即三角形是等邊三角形，得到，結合離心率公式判斷D.【詳解】∵橢圓∴對于A，若，則，∴，∴，不滿足條件，故A不符合條件；對于B，，∴∴，∴∴，解得或（舍去），故B符合條件；對于C，軸，且，∴∵∴，解得∵，∴∴，不滿足題意，故C不符合條件；對于D，四邊形的一個內角為,即即三角形是等邊三角形，∴∴，解得∴，故D不符合條件故選：B【點睛】本題主要考查了求橢圓離心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的應用，充分利用建立的等式是解題關鍵.7、A【解析】根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】解：設為不到長城，推出非好漢，即，則，即好漢到長城，故“好漢”是“到長城”的充分條件，故選：A8、A【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】因為，所以故選：A9、A【解析】由已知可得，故選A.考點：1、雙曲線及其方程；2、雙曲線的離心率.【方法點晴】本題考查雙曲線及其方程、雙曲線的離心率.，涉及方程思想、數形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.由已知可得，利用雙曲線的定義和雙曲線的通徑公式，可以降低計算量，提高解題速度.10、B【解析】根據空間向量基本定理求解【詳解】由已知故選：B11、D【解析】根據程序框圖的算法功能，模擬程序運行即可推理判斷作答.【詳解】由程序框圖知，直到型循環結構，先執行循環體，條件不滿足，繼續執行循環體，條件滿足跳出循環體，則有：當第一次執行循環體時，，，條件不滿足，繼續執行循環體；當第二次執行循環體時，，，條件不滿足，繼續執行循環體；當第三次執行循環體時，，，條件不滿足，繼續執行循環體；當第四次執行循環體時，，，條件不滿足，繼續執行循環體；當第五次執行循環體時，，，條件滿足，跳出循環體，輸出，于是得判斷框中的條件為：，所以判斷框中可以填：.故選：D12、C【解析】由,可得,,故選C.考點：指數函數性質二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】設，，，利用雙曲線的定義可得，作出圖形，結合圖形分析，可知與直線的傾斜角相等，利用直角三角形中的邊角關系，即求.【詳解】設的內切圓為圓，與三邊的切點分別為，如圖所示，設，，，設的內切圓為圓，由雙曲線的定義可得，得，由此可知，在中，軸于點，同理可得軸于點，所以軸，過圓心作的垂線，垂足為，因為，所以，∴，即∴，即故答案為：.【點睛】關鍵點點睛，得到是關鍵，說明軸，同時直線的傾斜角與大小相等，計算即得.14、【解析】設，則，利用復數相等，求出，的值，結合復數的模長公式進行計算即可【詳解】設，則，則由得，即，則，得，則，故答案為【點睛】本題主要考查復數模長的計算，利用待定系數法，結合復數相等求出復數是解決本題的關鍵15、或【解析】由題設知A在圓上，代入圓的方程求出參數a，結合切線的性質及點斜式求切線方程.【詳解】因為過的圓的切線只有一條，則在圓上，所以，則，且切線斜率，即，所以切線方程或，整理得或.故答案為：或.16、4【解析】根據橢圓焦點在軸上方程的特征進行求解即可.【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，所以有，因為長軸長是短軸長的2倍，所以有，故答案為：4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據已知求出首項和公差即可求出；（2）利用裂項相消法求解即可.【小問1詳解】設等差數列的公差為，因為，所以，化簡得，解得，所以【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以.18、（1）或；（2）【解析】（1）由方程有實數根則，可求出實數的取值范圍.(2)為真命題,即從而得出的取值范圍,由（1）可得出為假命題時實數的取值范圍.即可得出答案.【詳解】解：（1）方程有實數解得，，解之得或；（2）為假命題，則，為真命題時，，，則故.故為假命題且為真命題時，.【點睛】本題考查命題為真時求參數的范圍和兩個命題同時滿足條件時，求參數的范圍，屬于基礎題.19、（1）（2）證明見詳解.【解析】（1）設出直線方程，根據點到直線的距離公式，即可求得直線；（2）設出直線方程，聯立拋物線方程，根據韋達定理，利用直線垂直，從而得到的斜率關系，即可證明.【詳解】（1）由條件知直線l的斜率存在，設為，則直線l的方程為：，即從而焦點到直線l的距離為，平方化簡得：，故直線斜率為：.（2）證明：設直線AB的方程為，聯立拋物線方程，消元得：設，，線段AB的中點為，故因為，將M點坐標代入后整理得：即可得：故為定值．即證.【點睛】本題考查拋物線中的定值問題，涉及直線方程的求解，韋達定理，屬綜合基礎題.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）構建空間直角坐標系，由已知確定相關點坐標，進而求的方向向量、面的法向量，并應用坐標計算空間向量的數量積，即可證結論.（2）求的方向向量，結合（1）中面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】以為原點，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得：，，，，，，，.∴，，，設為面的法向量，則，令得，∴，即，∴平面；【小問2詳解】由（1）知：，為面的一個法向量，設與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.21、（1）證明見解析；（2）當時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.【解析】（1）求出直線l的定點，進而判斷定點和圓C的位置關系，最后得到答案；（2）當圓心C到直線l的距離最大時，弦長最短，進而求出m，然后根據勾股定理求出弦長.【詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過定點P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，弦AB的長度最短，此時PC⊥l，又，所以直線l的斜率為，則，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故當時，l被C截得的弦長最短，最短弦長