一類粗糙近似算子的性質(zhì)及公理化特征

1等價關(guān)系的廣深化發(fā)展。在其基本波蘭邏輯學(xué)者pawlak教授在信息系統(tǒng)邏輯特征研究的基礎(chǔ)上，提出了一套粗密集理論。它是繼概率、模糊理論和證據(jù)理論之后的另一種處理不確定性的數(shù)學(xué)工具。尤其是20世紀(jì)90年代以來,該理論在機(jī)器學(xué)習(xí)、知識獲取、決策分析及過程控制等許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。上、下近似算子是粗糙集理論中最重要的概念之一,它們是等價關(guān)系條件下論域上的一元運(yùn)算。將等價關(guān)系推廣為一般的二元關(guān)系,即得到相應(yīng)的廣義粗糙集,比如相容關(guān)系、相似關(guān)系下的廣義粗糙集。由于論域上劃分與等價關(guān)系之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系,因此覆蓋廣義粗糙集也成為推廣經(jīng)典粗糙集的一個很重要的分支。很多學(xué)者將粗糙集理論與模糊集或證據(jù)理論等不確定性理論綜合研究,或利用拓?fù)鋵W(xué)的方法研究粗糙集理論的基本結(jié)構(gòu)、性質(zhì)。這些方面都已取得了很好的研究成果。等價關(guān)系是滿足自反、對稱、傳遞的二元關(guān)系,因而分別研究這3種二元關(guān)系下的廣義粗糙集,即為對經(jīng)典粗糙集最基本的推廣。在此基礎(chǔ)上,也有學(xué)者提出了一些新的二元關(guān)系下的廣義粗糙集。一方面,拓廣了經(jīng)典粗糙集理論應(yīng)用的范圍;另一方面進(jìn)一步闡釋了經(jīng)典粗糙集理論的相關(guān)性質(zhì)。本文在考慮經(jīng)典粗糙集一些基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上,提出了正向與反向類傳遞二元關(guān)系,分別考慮了基于這兩種二元關(guān)系下的廣義粗糙近似算子的相關(guān)性質(zhì),給出了它們相應(yīng)的公理化特征。分析了這兩類廣義粗糙集與自反、串行等相關(guān)二元關(guān)系下的廣義粗糙集之間的聯(lián)系。此外,將正向與反向類傳遞關(guān)系下的粗糙近似算子相結(jié)合,即能刻畫粗糙集中一類特殊的集合(特化的知識)。進(jìn)一步分析這些廣義粗糙集的性質(zhì),給出論域上的元素之間的特征(二元關(guān)系)和論域上算子的性質(zhì)(公理)之間的一類特殊的聯(lián)系,并得出了一些重要的結(jié)論。本文第2節(jié)介紹經(jīng)典粗糙集的基本概念、性質(zhì),分別給出了自反、對稱、傳遞二元關(guān)系下的廣義粗糙集及其公理化特征;第3節(jié)引入正向類傳遞二元關(guān)系,構(gòu)造其下的廣義粗糙集,討論了相關(guān)的性質(zhì)及其公理化特征;第4節(jié)引入反向類傳遞二元關(guān)系,構(gòu)造其下的廣義粗糙集,討論相關(guān)的性質(zhì)及其公理化特征;第5節(jié)結(jié)合兩種類傳遞二元關(guān)系,得到新的二元關(guān)系:強(qiáng)對稱二元關(guān)系,并探討其下的廣義粗糙集以及相應(yīng)的性質(zhì)。2廣義粗模擬l先給出一般二元關(guān)系下粗糙近似算子的定義。定義1論域U為有限集合,R是U上的二元關(guān)系,RN(x)={y∈U|xRy∈R}稱為x的后繼鄰域,R上的下近似和上近似算子定義如下:Rˉ(X)={x|RΝ(x)?X}ˉR(X)={x|RΝ(x)∩X≠?}Rˉˉˉ(X)={x|RN(x)?X}Rˉˉˉ(X)={x|RN(x)∩X≠?}顯然它們滿足(LΗ)Rˉ(-X)=-ˉR(X)(LH)Rˉˉˉ(?X)=?Rˉˉˉ(X),即對偶性(按此定義的粗糙近似算子均滿足對偶性)。如果二元關(guān)系R是U上的等價關(guān)系,上述定義即為經(jīng)典的上、下近似算子。此時,它們具有如下基本性質(zhì):(1L)Rˉ(U)=U(1L)Rˉˉˉ(U)=U;(2L)Rˉ(?)=?(2L)Rˉˉˉ(?)=?;(3L)Rˉ(X∩Y)=Rˉ(X)∩Rˉ(Y)(3L)Rˉˉˉ(X∩Y)=Rˉˉˉ(X)∩Rˉˉˉ(Y);(3L*)Rˉ(X∪Y)?Rˉ(X)∪Rˉ(Y)(3L?)Rˉˉˉ(X∪Y)?Rˉˉˉ(X)∪Rˉˉˉ(Y);(4L)Rˉ(X)?X(4L)Rˉˉˉ(X)?X;(5L)-X?Rˉ(-Rˉ(X))(5L)?X?Rˉˉˉ(?Rˉˉˉ(X));(6L)Rˉ(Rˉ(X))=Rˉ(X)(6L)Rˉˉˉ(Rˉˉˉ(X))=Rˉˉˉ(X);(LΗ)Rˉ(-X)=-ˉR(X)(LH)Rˉˉˉ(?X)=?Rˉˉˉ(X)。上、下近似算子之間滿足(LH)對偶性,下近似算子的上述性質(zhì)對應(yīng)的上近似算子也有類似的性質(zhì)(1H)(2H)(3H)(3H*)(3H)(5H)(6H),這里不再一一列出,下同。定義了基于二元關(guān)系的廣義粗糙集,下面給出其相應(yīng)的公理化。定理1論域U為有限集合,L,H分別是2U→2U上的一元運(yùn)算,它們滿足(LH),則L滿足(1L),(3L)??U上唯一的二元關(guān)系R,使得L=RˉL=Rˉˉˉ;H滿足(1H),(3H)??U上唯一的二元關(guān)系R,使得Η=ˉR。H=Rˉˉˉ。說明:為了敘述方便,這里把(1L)Rˉ(U)=U(1L)Rˉˉˉ(U)=U與(1L)L(U)=U當(dāng)作是沒有差別的,其余類似。定理2論域U為有限集合,L,H分別是2U→2U上的一元運(yùn)算,它們滿足(LH),且算子L總滿足(1L),(3L),算子H總滿足(1H),(3H),則(1)L滿足(3L)??U上唯一的自反關(guān)系R,使得L=RˉL=Rˉˉˉ;H滿足(3H)??U上唯一的自反關(guān)系R,使得Η=ˉRH=Rˉˉˉ。(2)L滿足(5L)??U上唯一的對稱關(guān)系R,使得L=RˉL=Rˉˉˉ;H滿足(5H)??U上唯一的對稱關(guān)系R,使得Η=ˉRH=Rˉˉˉ。(3)L滿足(6L″)??U上唯一的傳遞關(guān)系R,使得L=RˉL=Rˉˉˉ;H滿足(6H″)??U上唯一的傳遞關(guān)系R,使得Η=ˉRH=Rˉˉˉ。其中(6L″)Rˉ(Rˉ(X))?Rˉ(X)(6L′′)Rˉˉˉ(Rˉˉˉ(X))?Rˉˉˉ(X);(6H″)ˉRRˉˉˉ(ˉRRˉˉˉ(X))?ˉRRˉˉˉ(X)。上述公理化特征不僅用比較簡潔的公理組刻畫了相應(yīng)二元關(guān)系下的粗糙近似算子,而且把論域內(nèi)部元素間的特征(二元關(guān)系)和論域上算子的性質(zhì)(公理)進(jìn)行了相互表達(dá)或闡述。3正向類傳遞二元關(guān)系的基本性質(zhì)將傳遞二元關(guān)系的條件適當(dāng)降低,考慮相應(yīng)的非等價二元關(guān)系:正向類傳遞二元關(guān)系。然后,構(gòu)造其下的廣義粗糙集,深入探討其理論基礎(chǔ),尋找其公理化特征。并考慮這種特化的粗糙集模型與經(jīng)典粗糙集之間的區(qū)別與聯(lián)系,以及一般二元關(guān)系下的廣義粗糙集中特定知識之間的聯(lián)系。這必將為尋找粗糙集中的特定知識提供一定的幫助,對進(jìn)一步研究經(jīng)典粗糙集的一些性質(zhì)和基于粗糙集理論的知識獲取具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。先給出如下正向類傳遞二元關(guān)系的定義。定義2論域U為有限集合,R?U×U,?(x,y)∈R,存在(y,z)∈R,使得(x,z)∈R;否則,RN(y)=?,則RN(x)=U,則稱R是論域U上的正向類傳遞二元關(guān)系,簡稱R正向類傳遞。現(xiàn)定義正向類傳遞關(guān)系下的廣義粗糙集。令R為有限論域U上的正向類傳遞二元關(guān)系,將L(R)(X)={x|RΝ(x)?X}Η(R)(X)={x|RΝ(x)∩X≠?}L(R)(X)={x|RN(x)?X}H(R)(X)={x|RN(x)∩X≠?}分別稱為正向類傳遞關(guān)系R下的廣義下近似算子和廣義上近似算子。不致混淆時可刪去標(biāo)號R。命題1設(shè)R為有限論域U上的正向類傳遞二元關(guān)系,L,H分別為R下的廣義下近似算子和廣義上近似算子。?X?U,有下面的性質(zhì):(1L)L(U)=U;(3L)L(X∩Y)=L(X)∩L(Y);(3L*)L(X)∪L(Y)?L(X∪Y);(7L′)L(X)?LH(X);(LH)L(-X)=-H(X)。證明:(7L′)下面定理3證明,其余性質(zhì)為粗糙近似算子的基本性質(zhì),因而是顯然的。現(xiàn)考慮基于正向類傳遞關(guān)系下的廣義粗糙集的公理化特征。定理3論域U為有限集合,L,H分別是2U→2U上的一元運(yùn)算,它們滿足(LH)。且算子L總滿足(1L),(3L),算子H總滿足(1H),(3H),則L滿足(7L′)L(X)?L(H(X))??U上唯一的正向類傳遞關(guān)系R,使得L=RˉL=Rˉˉˉ;H滿足(7H′)H(L(X))?H(X)??U上唯一的正向類傳遞關(guān)系R,使得Η=ˉR。證明:由于L,H滿足(LH)對偶性,故只需證明上、下近似算子其中之一相應(yīng)結(jié)論成立即可。(?)由已知條件和定理1,?U上唯一的二元關(guān)系R,使得Η=ˉR。下面只需證明,若H滿足(7H′)H(L(X))?H(X),則R滿足正向類傳遞。根據(jù)H(L(X))?H(X),若x∈H(L(X)),必有x∈H(X),即若RN(x)∩L(X)≠?,必有RN(x)∩X≠?。換言之,如存在y∈U,xRy且RN(y)?X,則必存在h∈RN(x)且h∈X。下面分兩種情況證明R滿足正向類傳遞。(1)hnx且h+nx即?z∈U,若xRy,RN(y)=??X={z},則必存在h∈RN(x)且h∈{z},從而{z}={h}。又z為任意,從而即有:如果xRy,且RN(y)=?,則RN(x)=U。(2)xlxx由X為任意,取X=RN(y),則上述結(jié)論即為:如果xRy且RN(y)≠?,則必存在h∈RN(x)∩RN(y)。即如果xRy且RN(y)≠?,則必存在z∈U同時滿足yRz和xRz。綜合(1),(2),R是論域U上的正向類傳遞關(guān)系。(?)若R滿足正向類傳遞關(guān)系,下面證明其相應(yīng)的上、下近似算子具有性質(zhì)(7L′)L(X)?L(H(X))和(7H′)H(L(X))?H(X)。鑒于對偶性,這里證明(7H′)。?x∈H(L(X)),有RN(x)∩L(X)≠?,即存在y∈RN(x)且RN(y)?X。一方面,若RN(y)=?,因R滿足正向類傳遞,則?z∈X?U,有xRz,即z∈RN(x)∩X≠?,故x∈H(X);另一方面,若RN(y)≠?,由R滿足正向類傳遞,存在z∈RN(y)?X且z∈RN(x)。因此,z∈RN(x)∩X≠?,即x∈H(X)。綜上,?x∈H(L(X)),總有x∈H(X),從而有H(L(X))?H(X)。由定理3易知,基于正向類傳遞關(guān)系的廣義粗糙集的公理組為(1L)(3L)(7L′),公理間相互獨(dú)立性見下述例1、例2、例3和例4。定理4設(shè)R為有限論域U上的正向類傳遞二元關(guān)系,L為R下的廣義下近似算子,則下面公理組為正向類傳遞關(guān)系下廣義粗糙集的一組公理組。(1L)L(U)=U;(3L)L(X∩Y)=L(X)∩L(Y);(7L′)L(X)?L(-L(-X))。這里(3L)包含兩條公理(3L′)和(3L″),下面類似。首先,自反關(guān)系必定是正向類傳遞關(guān)系,因此自反關(guān)系的特征公理(4L)L(X)?X必然在(1L),(3L)滿足的條件下,蘊(yùn)含正向類傳遞關(guān)系下近似算子的特征公理(7L′)L(X)?L(-L(-X))。由(4L)知,上下近似算子均滿足單調(diào)性和自反關(guān)系的特征公理(4H)X?H(X),因此L(X)?L(-L(-X))成立。其次,串行和傳遞關(guān)系必定是正向類傳遞關(guān)系,因此串行和傳遞關(guān)系的特征公理組L(X)?H(X)和(6L″)L(X)?L(L(X))在(1L)、(3L)滿足的條件下,蘊(yùn)含正向類傳遞關(guān)系下近似算子的特征公理(7L′)L(X)?L(-L(-X))。由L(X)?H(X)、(6L″)和單調(diào)性,即有L(X)?L(L(X))?L(H(X)),從而(7L′)成立。4橫向類傳遞關(guān)系與傳遞關(guān)系下的廣義粗糙集的特征公理(5L′)L(X)?L(L(X))相對應(yīng),有間接關(guān)系(即?xRy,必有z∈U,使得xRz且zRy)下的廣義粗糙集的特征公理(5L″)L(L(X))?L(X)。同樣,這里考慮與正向類傳遞關(guān)系下的廣義粗糙集相對應(yīng)的廣義粗糙集,即反向類傳遞關(guān)系下的廣義粗糙集。先給出如下定義。定義3論域U為有限集合,?x,y∈U,如果xRy,則?z∈U,使xRz,且RN(z)={y};或?z∈U,使xRz,且RN(z)=?,則稱R是論域U上的反向類傳遞二元關(guān)系,簡稱R反向類傳遞。與正向類傳遞關(guān)系下的廣義粗糙集類似,定義反向類傳遞關(guān)系下的廣義粗糙集。令R為有限論域U上的反向類傳遞二元關(guān)系,則L(R)(X)={x|RN(x)?X}H(R)(X)={x|RN(x)∩X≠?}分別稱為反向類傳遞關(guān)系R下的廣義下近似算子和廣義上近似算子。不致混淆時可刪去標(biāo)號R。命題2設(shè)R為有限論域U上的反向類傳遞二元關(guān)系,L,H分別為R下的廣義下近似算子和廣義上近似算子,則?X?U,有下面的性質(zhì):(1L)L(U)=U;(3L)L(X∩Y)=L(X)∩L(Y);(3L*)L(X)∪L(Y)?L(X∪Y);(7L″)LH(X)?L(X);(LH)L(-X)=-H(X)。證明:(7L″)見下面定理5證明,其余性質(zhì)為粗糙集的基本性質(zhì),因而是顯然的。現(xiàn)考慮基于反向類傳遞關(guān)系下廣義粗糙集的公理化特征。定理5論域U為有限集合,L,H分別是2U→2U上的一元運(yùn)算。它們滿足(LH),且算子L總滿足(1L),(3L),算子H總滿足(1H),(3H),則L滿足(7L″)LH(X)?L(X)??U上唯一的反向類傳遞關(guān)系R,使得L=Rˉ;H滿足(7H″)H(X)?HL(X)??U上唯一的反向類傳遞關(guān)系R,使得Η=ˉR。證明:由于L,H滿足對偶性(LH),故只需證明上、下近似算子其中之一相應(yīng)結(jié)論成立即可。(?)由已知條件,根據(jù)定理1,?U上唯一的二元關(guān)系R,使得Η=ˉR。下面只需證明:若H還滿足(7H″)H(X)?H(L(X)),則R滿足反向類傳遞。首先,有如下等價條件:H(X)?H(L(X))?H(-X)?H(-H(X))??x∈H(-X)?x∈H(-H(X))?RN(x)∩{-X}≠??RN(x)∩{-H(X)}≠??RN(x)?X?RN(x)?H(X)?RN(x)?X??z∈RN(x),但z?H(X)?RN(x)?X??z∈RN(x),但RN(z)∩X=??RN(x)?X??z∈RN(x),但RN(z)?{-X}?若?x∈U,總?y∈U,使y∈RN(x),且y∈{-X}則有z∈RN(x),使RN(z)?{-X}。其次,取{-X}={y},即有如果xRy,則存在z∈U,使得xRz且RN(z)={y},或RN(z)=?,從而R是論域U上的反向類傳遞關(guān)系。(?)若R滿足反向類傳遞,下面證明其相應(yīng)的上、下近似算子具有性質(zhì)(7L″)L(H(X))?L(X)和(7H″)H(X)?H(L(X))。鑒于對偶性,這里證明(7L″)LH(X)?L(X)。?x∈L(H(X)),即RN(x)?H(X),亦即?y∈RN(x),RN(y)∩X≠?。又R滿足反向類傳遞,故由xRy,總?z∈U,使xRz且RN(z)={y}(這里RN(z)=?不可能,否則與?y∈RN(x),RN(y)∩X≠?矛盾)。因此?y∈RN(x),總?z∈RN(x),RN(z)={y}。下證RN(x)?X。?h∈RN(x),由上述結(jié)論,總?m∈RN(x),RN(m)={h}。又?m∈RN(x),RN(m)∩X≠?,即有h∈X。從而RN(x)?X成立,亦即x∈L(X)。因此L(H(X))?L(X)。由定理5易知,基于反向類傳遞關(guān)系的廣義粗糙集的公理組為(1L)(3L)(7L″),公理間相互獨(dú)立見以下例1、例2、例3和例4。定理6設(shè)R為有限論域U上的反向類傳遞二元關(guān)系,L為R下的廣義下近似算子,則以下公理組為反向類傳遞關(guān)系下廣義粗糙集的一組公理組。(1L)L(U)=U;(3L)L(X∩Y)=L(X)∩L(Y);(7L″)L(-L(-X))?L(X)。例1設(shè)U={a,b},L:2U→2U是有限論域U上的一元算子,L(U)={a},L({a})={a},L({b})=?,L(?)=?。容易驗(yàn)證,?X,Y?U,L(X∩Y)=L(X)∩L(Y),L(-L(-X))=L(X),即(3L)(7L′)(7L″)成立。但U?L(U)={a},即(1L)不成立。因此(3L)(7L′)(7L″)?/(1L)。例2設(shè)U={a,b},L:2U→2U是有限論域U上的一元算子,L(U)=U,L({a})={b},L({b})={a},L(?)=?。容易驗(yàn)證,?X,Y?U,L(X∩Y)=L(X)∩L(Y),即(3L)成立,且(1L)顯然成立。但L(-L(-{a}))=L(-L({b}))=L(-{a})=L({b})={a},而L({a})={b},從而L(-L(-{a}))?L({a})且L({a})?L(-L(-{a})),即(7L′)或(7L″)都不成立。因此(1L)(3L)?/(7L′)且(1L)(3L)?/(7L″)。例3設(shè)U={a,b},L:2U→2U是有限論域U上的一元算子,L(U)=U,L({a})={a},L({b})={a},L(?)=?。容易驗(yàn)證,?X,Y?U,L(-L(-X))=L(X),L(X∩Y)?L(X)∩L(Y),即(7L′),(7L″)和(3L′)都成立,且(1L)顯然成立。但L({a}∩{b})=L(?)=??L({a})∩L({b})={a},即(3L″)都不成立。因此(1L)(3L′)(7L′)(7L″)?/(3L″)。例4設(shè)U={a,b},L:2U→2U是有限論域U上的一元