2023-2024學年湖南省婁底市高二數學第一學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=02．橢圓的長軸長為（）A. B.C. D.3．已知，若對于且都有成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.4．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).下圖給出了一個石瓢壺的相關數據(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.4005．已知雙曲線C：的漸近線方程是，則m＝（）A.3 B.6C.9 D.6．等差數列中，若，則（）A.42 B.45C.48 D.517．曲線上存在兩點A，B到直線到距離等于到的距離，則（）A.12 B.13C.14 D.158．為了了解1000名學生的學習情況，采用系統抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.509．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點中心（，）C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg10．已知隨機變量，且，，則為（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.271811．在平面直角坐標系中，線段的兩端點，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動，若圓上存在點是線段的中點，則線段長度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.1012．設命題，則為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓柱的高、底面半徑均為1，則其表面積為___________14．古希臘數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓.人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點，，動點滿足，記動點的軌跡為曲線，給出下列四個結論：①曲線方程為；②曲線上存在點，使得到點的距離為；③曲線上存在點，使得到點的距離大于到直線的距離；④曲線上存在點，使得到點與點的距離之和為.其中所有正確結論的序號是___________.15．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，以為圓心的圓經過原點，且與拋物線的準線相切，切點為，線段交拋物線于點，則___________.16．若數列滿足，，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前n項和.18．（12分）設命題p：實數x滿足x≤2，或x＞6，命題q：實數x滿足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且為真命題，求實數x的取值范圍；（2）若q是的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.19．（12分）已知函數.（1）當時，求的單調區間與極值；（2）若在上有解，求實數a的取值范圍.20．（12分）已知數列是公差不為0的等差數列，首項，且成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足，求數列的前n項和21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點，為的中點，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面22．（10分）已知函數.（1）若，求函數的單調區間；（2）設存在兩個極值點，且，若，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設出直線方程，利用待定系數法得到結果.【詳解】設與直線平行的直線方程為，將點代入直線方程可得，解得則所求直線方程為．故A正確【點睛】本題主要考查兩直線的平行問題，屬容易題．兩直線平行傾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以與直線平行的直線方程可設為2、D【解析】由橢圓方程可直接求得.【詳解】由橢圓方程知：，長軸長為.故選：D.3、D【解析】根據題意轉化為對于且時，都有恒成立，構造函數，轉化為時，恒成立，求得的導數，轉化為在上恒成立，即可求解.【詳解】由題意，對于且都有成立，不妨設，可得恒成立，即對于且時，都有恒成立，構造函數，可轉化為，函數為單調遞增函數，所以當時，恒成立，又由，所以在上恒成立，即在上恒成立，又由，所以，即實數取值范圍為.故選：D4、B【解析】根據圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點睛】本題主要考查圓臺體積的求法以及數學在生活中的應用，屬于基礎題5、C【解析】根據雙曲線的漸近線求得的值.【詳解】依題意可知，雙曲線的漸近線為，所以.故選：C6、C【解析】結合等差數列的性質求得正確答案.【詳解】依題意是等差數列，，.故選：C7、D【解析】由題可知A，B為半圓C與拋物線的交點，利用韋達定理及拋物線的定義即求.【詳解】由曲線，可得，即，為圓心為，半徑為7半圓，又直線為拋物線的準線，點為拋物線的焦點，依題意可知A，B為半圓C與拋物線的交點，由，得，設，則，，∴.故選：D.8、A【解析】根據系統抽樣定義可求得結果【詳解】分段的間隔為故選：A9、D【解析】根據y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤故選D10、C【解析】根據正態分布的對稱性可求概率.【詳解】由題設可得，，故選：C.11、C【解析】首先求點的軌跡，將問題轉化為兩圓有交點，即根據兩圓的位置關系，求參數的取值范圍.【詳解】設，，的中點為，則，故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，問題轉化為圓與圓有交點，所以，，即，解得：，所以線段長度的最小值為.故選：C12、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應該為，即本題的正確選項為C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據圓柱表面積公式求解即可.【詳解】根據題意得到圓柱的高，底面半徑，則表面積.故答案為：14、①④【解析】設,根據滿足,利用兩點間距離公式化簡整理，即可判斷①是否正確；由①可知，圓上的點到的距離的范圍為,進而可判斷②是否正確；設，根據題意可知，再根據在曲線上，可得，由此即可判斷③是否正確；由橢圓的的定義，可知在橢圓上，再根據橢圓與曲線的位置關系，即可判斷④是否正確.【詳解】設,因為滿足,所以,整理可得：,即,所以①正確；對于②中,由①可知，點在圓的外部,因為到圓心的距離,半徑為,所以圓上的點到的距離的范圍為,而,所以②不正確；對于③中,假設存在，使得到點的距離大于到直線的距離,又，到直線的距離，所以，化簡可得，又，所以，即，故假設不成立，故③不正確；對于④中,假設存在這樣的點，使得到點與點的距離之和為，則在以點與點為焦點，實軸長為的橢圓上，即在橢圓上，易知橢圓與曲線有交點，故曲線上存在點，使得到點與點的距離之和為；所以④正確.故答案為：①④.15、【解析】分析可知為等腰三角形，可得出，將點的坐標代入拋物線的方程，可求得的值，可得出拋物線的方程以及點的坐標，求出點的坐標，設點，其中，分析可知，利用平面向量共線的坐標表示求出的值，進而可求得結果.【詳解】由拋物線的定義結合已知條件可知，則為等腰三角形，易知拋物線的焦點為，故，即點，因為點在拋物線上，則，解得，所以，拋物線的方程為，故點、，因為以點為圓心，為半徑的圓與直線相切于點，則，設點，其中，，，由題意可知，則，整理可得，解得，因此，.故答案為：.16、7【解析】根據遞推公式，依次求得值.【詳解】依題意，由，可知，故答案為：7三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）先設等差數列的公差為，由題中條件，列出方程求出首項和公差，即可得出通項公式；（2）根據（1）的結果，得到，再由等比數列的求和公式，即可得出結果.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，即數列為等比數列，所以數列的前n項和.18、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分別求出命題和為真時對應的取值范圍，即可求出；（2）由題可知，列出不等式組即可求解.【詳解】解：（1）當a＝2時，命題q：2＜x＜4，∵命題p：x≤2或x＞6，，又為真命題，∴x滿足，∴2＜x＜4，∴實數x的取值范圍{x|2＜x＜4}；（2）由題意得：命題q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要條件，，，解得，∴實數a的取值范圍.【點睛】結論點睛：本題考查根據充分不必要條件求參數，一般可根據如下規則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對應的集合與對應集合互不包含19、（1）在上單調遞減，在上單調遞增，函數有極小值，無極大值（2）【解析】（1）利用導數的正負判斷函數的單調性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當時，不等式變形為在，上有解，構造函數，利用導數研究函數的單調性，求解的最小值，即可得到答案【小問1詳解】當時，，所以當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時函數有極小值，無極大值.【小問2詳解】因為在上有解，所以在上有解，當時，不等式成立，此時，當時在上有解，令，則由（1）知時，即，當時；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，所以，綜上可知，實數a的取值范圍是.點睛】利用導數研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構造新函數或參變量分離，利用導數研究函數的單調性，求出最值從而求得參數的取值范圍20、（1）；（2）【解析】（1）設數列的公差為d，根據等比中項的概念即可求出公差，再根據等差數列的通項公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根據分組求和法即可求出答案【詳解】解：（1）設數列的公差為d，由已知得，，即，解得或，又，∴，∴；（2）由（1）得，【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式，考查數列的分組求和法，考查計算能力，屬于基礎題21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據直棱柱的性質、平行四邊形的性質，結合三角形中位線定理、線面平行的判定定理進行證明即可；（2）根據直棱柱的性質、菱形的判定定理和性質，結合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進行證明即可.【小問1詳解】在直三棱柱中，，且四邊形平行四邊形，又，則為的中點，又為的中點，故，即：，且平面，平面，所以平面；【小問2詳解】在直三棱柱中，平面，平面，則，且，，平面，故平面，因為平面，所以，