2023-2024學年廣東省吳川一中高二數學第一學期期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知奇函數是定義在R上的可導函數，的導函數為，當時，有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.2．過，兩點的直線的一個方向向量為，則（）A.2 B.2C.1 D.13．已知兩個向量，，且，則的值為（）A.1 B.2C.4 D.84．已知m，n表示兩條不同直線，表示兩個不同平面.設有兩個命題：：若，則；：若，則.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.5．已知點到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15C.5或 D.5或156．在正四面體中，點為所在平面上動點，若與所成角為定值，則動點的軌跡是（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線7．已知數列是等差數列，為數列的前項和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.808．設，則當數列{an}的前n項和取得最小值時，n的值為（）A.4 B.5C.4或5 D.5或69．已知、、、是直線，、是平面，、、是點（、不重合），下列敘述錯誤的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則10．已知拋物線的焦點為，在拋物線上有一點，滿足，則的中點到軸的距離為（）A. B.C. D.11．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.12．雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上一點到的距離為8，則點到的距離為（）A.2或12 B.2或18C.18 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數z=為純虛數（），則|z|=_____.14．已知點，則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.15．若實數、滿足，則的取值范圍為___________.16．在梯形中，，，.將梯形繞所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，為的導函數（1）求的定義域和導函數；（2）當時，求函數的單調區間；（3）若對，都有成立，且存在，使成立，求實數a的取值范圍18．（12分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E為AB中點，D為上一點（1）求證：；（2）當D為中點時，求平面ADC與平面所成角的正弦值19．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）求在區間上的最值.20．（12分）已知圓與（1）過點作直線與圓相切，求的方程；（2）若圓與圓相交于、兩點，求的長21．（12分）設雙曲線的左、右焦點分別為，，且，一條漸近線的傾斜角為60°（1）求雙曲線C的標準方程和離心率；（2）求分別以，為左、右頂點，短軸長等于雙曲線虛軸長的橢圓的標準方程22．（10分）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是，記動點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）已知過點的直線與曲線C相交于兩點，，請問點P能否為線段的中點，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據給定的不等式構造函數，再探討函數的性質，借助性質解不等式作答.【詳解】依題意，令，因是R上的奇函數，則，即是R上的奇函數，當時，，則有在單調遞增，又函數在R上連續，因此，函數在R上單調遞增，不等式，于是得，解得，所以原不等式的解集是.故選：B2、C【解析】應用向量的坐標表示求的坐標，由且列方程求y值.【詳解】由題設，，則且，所以，即，可得.故選：C3、C【解析】由，可知，使，利用向量的數乘運算及向量相等即可得解.【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【點睛】思路點睛：在解決有關平行的問題時，通常需要引入參數，如本題中已知，引入參數，使，轉化為方程組求解；本題也可以利用坐標成比例求解，即由，得，求出m，n.4、B【解析】利用直線與平面，平面與平面的位置關系判斷2個命題的真假，再利用復合命題的真值表判斷選項的正誤即可【詳解】，表示兩條不同直線，，表示兩個不同平面：若，，則也可能，也可能與相交，所以是假命題，為真命題；：令直線的方向向量為，直線的方向向量為，若，則，則，所以是真命題，所以為假命題；所以為假命題，是真命題，為假命題，是真命題，所以為假命題故選：5、D【解析】利用點到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.6、B【解析】把條件轉化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡.根據題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進一步計算與平面所成角為，即時，軌跡為拋物線，時，軌跡為橢圓，，所以軌跡為橢圓.故選：B.【點睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問題，考查了轉化化歸思想，屬于難題.7、C【解析】利用等差數列的前n項和公式求解.【詳解】∵是等差數列，，∴，得，∴.故選：C.8、A【解析】結合等差數列的性質得到，解不等式組即可求出結果.【詳解】由，即，解得，因為,故.故選：A.9、D【解析】由公理2可判斷A選項；由公理3可判斷B選項；利用平行線的傳遞性可判斷C選項；直接判斷線線位置關系，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由公理2可知，若，，，，則，A對；對于B選項，由公理3可知，若，，，則，B對；對于C選項，由空間中平行線的傳遞性可知，若，，則，C對；對于D選項，若，，則與平行、相交或異面，D錯.故選：D.10、A【解析】設點，利用拋物線的定義求出的值，可求得點的橫坐標，即可得解.【詳解】設點，易知拋物線的焦點為，由拋物線的定義可得，得，所以，點的橫坐標為，故點到軸的距離為.故選：A.11、A【解析】先得到三棱錐的每一個面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.12、C【解析】利用雙曲線的定義求.【詳解】解：由雙曲線定義可知：解得或（舍）∴點到的距離為18，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復數z=為純虛數求出a，即可求出|z|.【詳解】z=.由純虛數的定義知，，解得.所以.故|z|=.故答案為：.14、【解析】由中點坐標公式和斜率公式可得的中點和直線斜率，由垂直關系可得垂直平分線的斜率，由點斜式可得直線方程，化為一般式即可【詳解】由中點坐標公式可得，的中點為，可得直線的斜率為，由垂直關系可得其垂直平分線的斜率為，故可得所求直線的方程為：，化為一般式可得故答案為：15、【解析】直接利用換元法以及基本不等式，求出結果【詳解】解：設，由于，所以，由于，(當且僅當時取等號)所以(當且僅當時取等號)，(當且僅當時取等號)，故，，所以，整理得：故的取值范圍為的取值范圍故答案為：16、##【解析】畫出幾何體的直觀圖，利用已知條件，求解幾何體的體積即可【詳解】梯形ABCD：由題意可知空間幾何體的直觀圖如圖：旋轉體是底面半徑為1，高為2的圓柱，挖去一個相同底面高為1的圓錐，幾何體的體積為：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）在單減，也單減，無增區間（3）【解析】（1）根據分母不等于0，對數的真數大于零即可求得函數的定義域，根據基本初等函數的求導公式及商的導數公式即可求出函數的導函數；（2）求出函數的導函數，再根據導函數的符號即可得出答案；（3）若對，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導數求出函數的最小值即可求出的范圍，，，求出函數的值域，根據存在，使成立，則0在函數的值域中，從而可得出的范圍，即可得解.【小問1詳解】解：的定義域為，；【小問2詳解】解：當時，，恒成立，所以在和上遞減；【小問3詳解】解：若對，都有成立，即，即，令，，則，對于函數，，當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，所以，當時，，所以，所以，故恒成立，在為減函數，所以，所以，由（1）知，，所以，記，令，，則原式的值域為，因為存在，使成立，所以，，所以，綜上，【點睛】本題考查了函數的定義域及導數的四則運算，考查了利用導數求函數的單調區間，考查了不等式恒成立問題，考查了計算能力及數據分析能力，對不等式恒成立合理變形轉化為求最值是解題關鍵.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的性質定理及線面垂直的判定定理即證；（2）利用坐標法即求.【小問1詳解】∵，E為AB中點，∴，∵平面ABC，平面ABC，∴，又，，∴平面，平面，∴；【小問2詳解】以C點為坐標原點，CA，CB，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，不妨設，則平面的法向量為，設平面ADC法向量為，則，∴，即，令，則∴平面ADC與平面所成角的余弦值為，所以平面ADC與平面所成角的正弦值.19、（1）在、上是增函數，在上是減函數；（2）在區間，上的最大值為2，最小值為【解析】（1）求導，根據導數和函數的單調性的關系即可求出單調區間；（2）根據（1）可知，函數在，、上為增函數，在上為減函數，求出端點值和極值，比較即可求出最值【小問1詳解】根據題意，由于，，得到，，在、上是增函數，當時，在上是減函數；【小問2詳解】由（1）可知，函數在，，上為增函數，在上為減函數，，（1），，，在區間，上的最大值為2，最小值為20、（1）或（2）【解析】（1）根據已知可得圓心與半徑，再利用幾何法可得切線方程；（2）聯立兩圓方程可得公共弦方程，進而可得弦長.【小問1詳解】解：圓的方程可化為：，即：圓的圓心為，半徑為若直線的斜率不存在，方程為：，與圓相切，滿足條件若直線的斜率存在，設斜率為，方程為：，即：由與圓相切可得：，解得：所以的方程為：，即：綜上可得的方程為：或【小問2詳解】聯立兩圓方程得：，消去二次項得所在直線的方程：，圓的圓心到的距離，所以.21、（1），2（2）【解析】（1）結合，聯立即得解；（2）由題意，即得解.【詳解】（1）由題意，又解得：故雙曲線C的標準方程為：，離心率為（2）由題意橢圓的焦點在軸上，設橢圓方程為故即橢圓方程為：22、（1）（2）不能，理由見解析.【解析】（1）利用題中距離之比列出關于動點的方程即可求解；（2）先假設點P能為線段的中點，再利用點差法求出直線的斜率，最后聯立直線與曲線進行檢驗即