第五章5.3.3古典概型基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所含的樣本點個數及事件發生的概率.3.通過古典概型概率的計算提升數學運算與數學建模的素養.基礎落實·必備知識全過關知識點1

古典概型古典概型的定義:一般地,如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是

(簡稱為有限性),而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件(即基本事件)發生的

(簡稱為等可能性),則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型,簡稱為古典概型.

名師點睛古典概型的判斷標準一個試驗是否能歸結為古典概型,在于這個試驗是否具備古典概型的兩個特征:有限性和等可能性,并不是所有試驗都能歸結為古典概型.有限的

可能性大小都相等過關自診下列對古典概型的說法,正確的是(

)①試驗中所有可能出現的樣本點只有有限個;②每個事件發生的可能性相等;③每個基本事件發生的可能性相等;④求用抽簽法從含有3件次品7件正品的10件產品中任取一件為正品的概率為古典概型問題.

A.②④

B.①③④

C.①④

D.③④B解析

根據古典概型的特點,即有限性與等可能性逐個分析即可.知識點2

古典概型的概率公式古典概型中,事件發生的概率可以通過下述方式得到:假設樣本空間含有n個樣本點,由古典概型的定義可知,每個基本事件發生的可能性大小都相等,又因為必然事件發生的概率為1,所以由互斥事件的概率加法公式可知每個基本事件發生的概率均為

.此時,如果事件C包含有m個樣本點,則再由互斥事件的概率加法公式可知P(C)=

.

名師點睛古典概型的概率求解步驟過關自診[北師大版教材習題]從一副撲克牌(去掉大、小王,共52張)中隨機選取1張,試求下列事件的概率:(1)這張牌是A;(2)這張牌是紅色A;(3)這張牌是K,Q或J;(4)這張牌是草花.重難探究·能力素養全提升探究點一古典概型的判斷【例1】

某同學隨機地向一靶子進行射擊,這一試驗的結果只有有限個:命中10環、命中9環……命中5環和不中靶.你認為這是古典概型嗎?為什么?解

不是古典概型,因為雖然試驗的所有可能結果只有7個,但命中10環、命中9環……命中5環和不中靶的出現沒有規定是等可能的,即不滿足古典概型的第二個條件.規律方法

只有同時滿足有限性和等可能性這兩個條件的試驗才是古典概型,這兩個條件只要有一個不滿足就不是古典概型.變式訓練1從所有整數中任取一個數的試驗是古典概型嗎?解

不是,因為有無數個樣本點.探究點二古典概型的概率計算【例2】

[人教A版教材例題]拋擲兩枚質地均勻的骰子(標記為Ⅰ號和Ⅱ號),觀察兩枚骰子分別可能出現的基本結果.(1)寫出這個試驗的樣本空間,并判斷這個試驗是否為古典概型;(2)求下列事件的概率:A=“兩個點數之和是5”;B=“兩個點數相等”;C=“Ⅰ號骰子的點數大于Ⅱ號骰子的點數”.解

(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結果,Ⅰ號骰子的每一個結果都可與Ⅱ號骰子的任意一個結果配對,組成擲兩枚骰子試驗的一個結果.用數字m表示Ⅰ號骰子出現的點數,數字n表示Ⅱ號骰子出現的點數,則數組(m,n)表示這個試驗的一個樣本點.因此該試驗的樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36個樣本點.因為骰子的質地均勻,所以各個樣本點出現的可能性相等,因此這個試驗是古典概型.規律方法

求古典概型的概率,關鍵是正確列出樣本點,常見方法有列舉法、列表法和樹形圖法,具體應用時可根據需要靈活選擇,在列出樣本點后最好檢驗一下各樣本點出現的概率是否相同.根據事件C包含的樣本點個數m及試驗的樣本點總個數n,利用公式P(C)

=求出事件C發生的概率.【例3】

袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標號分別為1,2,3;藍色卡片兩張,標號分別為1,2;現從袋中任取兩張卡片.(1)若把所取卡片的所有不同情況作為樣本點,則共有多少個樣本點?是古典概型嗎?(2)若把所取出卡片的標號之和作為樣本點,則共有多少個樣本點?是古典概型嗎?(3)求所取卡片標號之和小于4的概率.解

(1)樣本空間為Ω1={(紅1,紅2),(紅1,紅3),(紅1,藍1),(紅1,藍2),(紅2,紅3),(紅2,藍1),(紅2,藍2),(紅3,藍1),(紅3,藍2),(藍1,藍2)},共10個樣本點,因為樣本點個數有限,且每個基本事件發生的可能性相等,所以是古典概型.(2)由(1)知,樣本空間Ω2={2,3,4,5},且每個基本事件發生的可能性不同,不是古典概型.(3)設A表示所取兩張卡片標號之和小于4,由(1)知,A={(紅1,紅2),(紅1,藍1),(紅1,藍2),(紅2,藍1),(藍1,藍2)},共包含5個樣本點,由古典概型概率公式得,規律方法

解決古典概型綜合問題的兩個關鍵點(1)審讀題干:對于實際問題要認真讀題,深入理解題意,計算樣本點總數要做到不重不漏,這是解決古典概型問題的關鍵.(2)編號:分析實際問題時,往往對要研究的對象進行編號或者用字母代替,使復雜的實際意義變為簡單的數字和字母,方便尋找對象間的關系,這是解決古典概型的問題時主要的解題技巧.變式訓練2有A,B,C,D四位貴賓,應分別坐在a,b,c,d四個席位上,現在這四人均未留意,在四個席位上隨便就座.(1)求這四人恰好都坐在自己席位上的概率;(2)求這四人恰好都沒坐在自己席位上的概率;(3)求這四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.解

將A,B,C,D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來:如圖所示,樣本空間包含的樣本點共有24個,(1)設事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”,則事件A只包含1個樣本點,所以P(A)=.(2)設事件B為“這四人恰好都沒坐在自己席位上”,則事件B包含9個樣本點,所以(3)設事件C為“這四人恰好有1位坐在自己席位上”,則事件C包含8個樣本點,所以探究點三有放回抽取和無放回抽取的概率【例4】

[人教A版教材例題]從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取兩人.(1)分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.(2)在三種抽樣方式下,分別計算抽到的兩人都是男生的概率.解

設第一次抽取的人記為x1,第二次抽取的人記為x2,則可用數組(x1,x2)表示樣本點.(1)根據相應的抽樣方法可知:有放回簡單隨機抽樣的樣本空間Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}.不放回簡單隨機抽樣的樣本空間Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),

(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}

.按性別等比例分層抽樣,先從男生中抽一人,

再從女生中抽一人,其樣本空間Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}.(2)設事件A

=“抽到兩名男生”,則對于有放回簡單隨機抽樣,A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}.因為抽中樣本空間Ω1中每一個樣本點的可能性都相等,所以這是一個古典概型.因此P(A)==0.25.對于不放回簡單隨機抽樣,A={(B1,B2),(B2,B1)}.因為抽中樣本空間Ω2中每一個樣本點的可能性都相等,所以這是一個古典概型.因為按性別等比例分層抽樣,不可能抽到兩名男生,所以A=?,因此P(A)=0.規律方法

“放回”與“不放回”問題的區別對于某一次試驗,若采用“放回”抽樣,則同一個個體可以被重復抽取,而采用“不放回”抽樣,則同一個個體不可能被重復抽取.變式訓練3口袋內有紅、白、黃大小完全相同的三個小球,求:(1)從中任意摸出兩個小球,摸出的是紅球和白球的概率;(2)從袋中摸出一個后放回,再摸出一個,兩次摸出的球是一紅一白的概率.解

(1)任意摸出兩個小球的樣本空間為{(紅,白),(紅,黃),(白,黃)},共包含3個樣本點,所以摸出的是紅球和白球的概率為

.(2)樣本空間為{(紅,紅),(紅,白),(紅,黃),(白,白),(白,紅),(白,黃),(黃,紅),(黃,黃),(黃,白)},共包含9個樣本點.記A為“摸出的球是一紅一白”,A={(紅,白),白,紅)},包含2個樣本點,所以所求概率為

.成果驗收·課堂達標檢測12341.拋擲一枚質地均勻且各個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6的正方體玩具.設事件A為“向上一面點數為偶數”,事件B為“向上一面點數為6的約數”,則P(A+B)為(

)D解析

由題意得,拋擲結果有6種可能的結果,則A={2,4,6},B={1,2,3,6},A+B={1,2,3,4,6},故P(A+B)=.故選D.12342.古人認為,天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關系.若從5類元素中任選2類元素,則2類元素相生的概率為(

)A解析

樣本空間可記為Ω={(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木,土),(水,火),(水,土),(火,土)},共10個樣本點,記A:2類元素相生,則A={(木,火),(火,土),(木,水),(金,水),(金,土)},共5個樣本點,所以2類元素相生的概率為

,故選A.123412343.甲、乙兩校共有5名教師報名支援邊遠地區教育,其中甲校3名教師,乙校2名教師,現選出2名教師去支援邊遠地區教育,則選出的2名教師來自同一學校的概率為

.

解析

來自甲校的教師設為a,b,c,來自乙校的教師設為1,2,則樣本空間為Ω={(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,c),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2)},共有10個樣本