線性代數總結計劃匯總經典例題線性代數總結計劃匯總經典例題線性代數總結計劃匯總經典例題......線性代數知識點總結行列式（一）行列式看法和性質1、逆序數：所有的逆序的總數2、行列式定義：不相同行不相同列元素乘積代數和3、行列式性質：（用于化簡行列式）1）行列互換（轉置），行列式的值不變2）兩行（列）互換，行列式變號（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數k，等于用數乘此行列式4）拆列分配：行列式中若是某一行（列）的元素都是兩組數之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。6）兩行成比率，行列式的值為0。二）重要行列式4、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積5、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘6、Laplace張開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則.學習參照.......7、n階（n≥2）范德蒙道德列式數學歸納法證明★8、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：（三）按行（列）張開9、按行張開定理：1）任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和等于行列式的值2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于0四）行列式公式10、行列式七大公式：1）|kA|=kn|A|2）|AB|=|A|·|B|3）|AT|=|A|4）|A-1|=|A|-15）|A*|=|A|n-1.學習參照.......6）若A的特色值λ1、λ2、??λn，7）若A與B相似，|A|=|B|五）克萊姆法規11、克萊姆法規：（1）非齊次線性方程組的系數行列式不為0，那么方程為唯一解2）若是非齊次線性方程組無解或有兩個不相同解，則它的系數行列式必為03）若齊次線性方程組的系數行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；若是方程組有非零解，那么必有D=0。矩陣（一）矩陣的運算1、矩陣乘法注意事項：1）矩陣乘法要求前列后行一致；2）矩陣乘法不滿足互換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時，能夠用互換律）3）AB=O不能夠推出A=O或B=O。2、轉置的性質（5條）1）（A+B）T=AT+BT2）（kA）T=kAT3）（AB）T=BTAT4）|A|T=|A|.學習參照.......5）（AT）T=A二）矩陣的逆3、逆的定義：AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1注：A可逆的充要條件是|A|≠04、逆的性質：（5條）1）（kA）-1=1/k·A-1(k≠0)2）（AB）-1=B-1·A-13）|A-1|=|A|-14）（AT）-1=（A-1）T5）（A-1）-1=A5、逆的求法：1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解2）A為數字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A-1）三）矩陣的初等變換6、初等行（列）變換定義：1）兩行（列）互換；2）一行（列）乘非零常數c3）一行（列）乘k加到另一行（列）7、初等矩陣：單位矩陣E經過一次初等變換獲取的矩陣。8、初等變換與初等矩陣的性質：（1）初等行（列）變換相當于左（右）乘相應的初等矩陣.學習參照.......2）初等矩均可逆矩，且Eij-1=Eij（i，j兩行互）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）★（四）矩的秩9、秩的定：非零子式的最高數注：（1）r（A）=0意味著所有元素0，即A=O2）r（An×n）=n（秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不能逆；3）r（A）=r（r=1、2、?、n-1）←→r子式非零且所有r+1子式均0。10、秩的性：（7條）1）Am×n矩，r（A）≤min（m,n）2）r（A±B）≤r（A）±（B）3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}4）r（kA）=r（A）（k≠0）5）r（A）=r（AC）（C是一個可逆矩）6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）7）A是m×n矩，B是n×s矩，AB=O，r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：1）A抽象矩：由定或性求解；2）A數字矩：A→初等行→梯型（每行第一個非零元素下面的元素均0），r（A）=非零行的行數五）陪同矩.學習參照.......12、陪同矩的性：（8條）1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-12）（kA）*=kn-1A*3）（AB）*=B*A*4）|A*|=|A|n-15）（AT）*=（A*）T6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-17）（A*）*=|A|n-2·A★（8）r（A*）=n（r（A）=n）；r（A*）=1（r（A）=n-1）；r（A*）=0（r（A）＜n-1）（六）分矩13、分矩的乘法：要求前列后行分法相同。14、分矩求逆：向量（一）向量的看法及運算TT1、向量的內：（α，β）=αβ=βα2、度定：||α||=3、正交定：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+?+anbn=04、正交矩的定：An矩，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±.學習參照.......1（二）性合和性表示5、性表示的充要條件：非零列向量β可由α1，α2，?，αs性表示(1)←→非次性方程（α1，α2，?，αs）（x1，x2，?，xs）T=β有解。(2)←→r（α1，α2，?，αs）=r（α1，α2，?，αs，β）（系數矩的秩等于增廣矩的秩，用于大第一步的）6、性表示的充分條件：（認識即可）若α1，α2，?，αs性沒關，α1，α2，?，αs，β性相關，β可由α1，α2，?，αs性表示。7、性表示的求法：（大第二步）α1，α2，?，αs性沒關，β可由其性表示。（α1，α2，?，αs|β）→初等行→（行最形|系數）行最形：每行第一個非0的數1，其余元素均0（三）性相關和性沒關8、性相關注意事：1）α性相關←→α=02）α1，α2性相關←→α1，α2成比率9、性相關的充要條件：向量α，α，?，α性相關12s1）←→有個向量可由其余向量性表示；2）←→次方程（α1，α2，?，αs）（x1，x2，?，xs）T=0有非零解；.學習參照.......★（3）←→r（α1，α2，?，αs）＜s即秩小于個數特地，n個n列向量α1，α2，?，αn性相關1）←→r（α1，α2，?，αn）＜n2）←→|α1，α2，?，αn|=03）←→（α1，α2，?，αn）不能逆10、性相關的充分條件：1）向量含有零向量或成比率的向量必相關2）部分相關，整體相關3）高相關，低相關4）以少表多，多必相關★推：n+1個n向量必然性相關11、性沒關的充要條件向量α1，α2，?，αs性沒關1）←→任意向量均不能夠由其余向量性表示；2）←→次方程（α1，α2，?，αs）（x1，x2，?，xs）T=0只有零解3）←→r（α1，α2，?，αs）=s特地，n個n向量α1，α2，?，αn性沒關←→r（α1，α2，?，αn）=n←→|α1，α2，?，αn|≠0←→矩可逆12、性沒關的充分條件：1）整體沒關，部分沒關2）低沒關，高沒關3）正交的非零向量性沒關.學習參照.......（4）不相同特色的特色向量沒關13、性相關、性沒關判斷（1）定法★（2）秩：若小于數，性相關；若等于數，性沒關【知充】1）在矩左乘列秩矩（秩=列數），矩的秩不；在矩右乘行秩矩，矩的秩不。2）若n列向量α1，α2，α3性沒關，β1，β2，β3能夠由其性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，r（β1，β2，β3）=r（C），從而性無關。←→r（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0（四）極大性沒關與向量的秩14、極大性沒關不唯一15、向量的秩:極大沒關中向量的個數成向量的秩比：矩的秩:非零子式的最高數★注:向量α1，α2，?，αs的秩與矩A=（α1，α2，?，αs）的秩相等★16、極大性沒關的求法1）α1，α2，?，αs抽象的：定法2）α1，α2，?，αs數字的：（α1，α2，?，αs）→初等行→梯型矩每行第一個非零的數的列向量構成極大沒關（五）向量空.學習參照.......17、基（就是極大性沒關）公式：若α1，α2，?，αn與β1，β2，?，βn是n向量空V的兩基，基公式（β，?，β）n=（α1，α2，?，α）nCn×n1，β2其中，C是從基α1，α2，?，αn到β1，β2，?，βn的渡矩。C=（α1，α2，?，αn）-1（β1，β2，?，βn）18、坐公式：向量γ在基α1，α2，?，αn與基β1，β2，?，βn的坐分x=（x1，x2，?，xn）T，y=（y1，y2，?，yn）T，，即γ=x1α1+x2α2+?+xnαn=y1β1+y2β2?+ynβn，坐公式x=Cy或y=C-1x。其中，C是從基α1，α2，?，αn到β1，β2，?，βn的渡矩。C=（α1，α2，?，αn）-1（β1，β2，?，βn）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化α1，α2，α3性沒關1）正交化令β1=α1（2）位化.學習參照.......線性方程組（一）方程的表達形與解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，?，αn）2、解的定：若η=（c1，c2，?，cn）T足方程Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個解（向量）（二）解的判斷與性3、次方程：1）只有零解←→r（A）=n（nA的列數或是未知數x的個數）2）有非零解←→r（A）＜n4、非次方程：1）無解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-12）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n3）無多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性：1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，ξ+η是Ax=b的解3）若η1，η2是Ax=b的解，η1-η2是Ax=0的解.學習參照.......【實行】12s是Ax=b的解，k1η1+k2η2?sηs（1）η，η，?，η++kAx=b的解（當Σki=1）Ax=0的解（當Σki=0）（2）η1，η2，?，ηs是Ax=b的s個性沒關的解，η2-η1，η3-η1，?，ηs-η1Ax=0的s-1個性沒關的解。式：①η1-η2，η3-η2，?，ηs-η2②η2-η1，η3-η2，?，ηs-ηs-1（三）基解系6、基解系定：1）ξ1，ξ2，?，ξs是Ax=0的解2）ξ1，ξ2，?，ξs性相關3）Ax=0的所有解均可由其性表示→基解系即所有解的極大沒關注：基解系不唯一。任意n-r（A）個性沒關的解均可作基解系。★7、重要：（明也很重要）A施m×n矩，B是n×s矩，AB=O1）B的列向量均方程Ax=0的解2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、：基解系的求法（1）A抽象的：由定或性湊n-r（A）個性沒關的解.學習參照.......（2）A數字的：A→初等行→梯型自由未知量分取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量獲取基解系（四）解的構（通解）9、次性方程的通解（所有解）r（A）=r，ξ1，ξ2，?，ξn-rAx=0的基解系，Ax=0的通解k1η1+k2η2+?+kn-rηn-r（其中k1，k2，?，kn-r任意常數）10、非次性方程的通解r（A）=r，ξ，ξ，?，ξAx=0的基解系，ηAx=b的特解，12n-rAx=b的通解η+k1η1+k2η2+?+kn-rηn-r（其中k1，k2，?，kn-r任意常數）（五）公共解與同解11、公共解定：若是α既是方程Ax=0的解，又是方程Bx=0的解，稱α其公共解12、非零公共解的充要條件：方程Ax=0與Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要（需要掌握明）1）A是m×n矩，次方程ATAx=0與Ax=0同解，r（ATA）=rA）2）A是m×n矩，r（A）=n，B是n×s矩，次方程ABx=0與Bx=0同解，r（AB）=r（B）.學習參照.......特色值與特色向量一）矩的特色與特色向量1、特色、特色向量的定：An矩，若是存在數λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩A屬于特色λ的特色向量。2、特色多式、特色方程的定：|λE-A|稱矩A的特色多式（λ的n次多式）。|λE-A|=0稱矩A的特色方程（λ的n次方程）。注:特色方程能夠寫|A-λE|=03、重要：（1）若α次方程Ax=0的非零解，Aα=0·α即，α矩A特色λ=0的特色向量（2）A的各行元素和k，(1，1，?，1)T特色k的特色向量。（3）上（下）三角或主角的矩的特色主角各元素。△4、：特色與特色向量的求法（1）A抽象的：由定或性湊（2）A數字的：由特色方程法求解5、特色方程法：（1）解特色方程|λE-A|=0，得矩A的n個特色λ1，λ2，?，λn注：n次方程必有n個根(可有多重根，寫作λλ?λ數，不能夠省略)1=2==s=2）解次方程（λiE-A）=0，得屬于特色λi的性沒關的特色向量，即其基解系（共n-r（λiE-A）個解）.學習參照.......6、性：1）不相同特色的特色向量性沒關2）k重特色最多k個性沒關的特色向量1≤n-r（λiE-A）≤ki3）A的特色λ1，λ2，?，λn，|A|=Πλi，Σλi=ΣaiiT（4）當r（A）=1，即A=αβ，其中α，β均n非零列向量，A的特色λTT1=Σaii=αβ=βα，λ2=?=λn=0（5）α是矩A屬于特色λ的特色向量，fA（A）fλ（λ）αα（二）相似矩7、相似矩的定：

AAP-1AP（相T-1A*似）λλ|A|λ-1λ-1/ααP-1αA、B均n矩，若是存在可逆矩P使得B=P-1AP，稱A與B相似，作A~B8、相似矩的性（1）若A與B相似，f（A）與f（B）相似（2）若A與B相似，B與C相似，A與C相似3）相似矩有相同的行列式、秩、特色多式、特色方程、特色、跡（即主角元素之和）.學習參照.......【實行】（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B-1相似，A*與B*也相似（三）矩陣的相似對角化9、相似對角化定義：若是A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ，=稱A可相似對角化。注：Aαλα（α≠，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特色值λ的特i=iii0i征向量10、相似對角化的充要條件1）A有n個線性沒關的特色向量2）A的k重特色值有k個線性沒關的特色向量11、相似對角化的充分條件：1）A有n個不相同的特色值（不相同特色值的特色向量線性沒關）2）A為實對稱矩陣12、重要結論：1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特色值的個數，n-r（A）為零特色值的個數2）若A不能相似對角化，r（A）不用然為非零特色值的個數四）實對稱矩陣13、性質.學習參照.......1）特色全數2）不相同特色的特色向量正交3）A可相似角化，即存在可逆矩P使得P-1AP=Λ4）A可正交相似角化，即存在正交矩Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ二次型（一）二次型及其準形1、二次型：1）一般形式2）矩形式（常用）2、準形：若是二次型只含平方，即f（x1，x2，?，xn）=d1x12+d2x22+?+dnxn2的二次型稱準形（角）3、二次型化準形的方法：（1）配方法：通可逆性x=Cy（C可逆），將二次型化準形。其中，可逆性及準形通先配方再元獲取。★（2）正交法：通正交x=Qy，將二次型化準形λ1y12+λ2y22+?+λnyn2其中，λ1，λ2，?，λn是A的n個特色，QA的正交矩注:正交矩Q不唯一，γi與λi即可。（二）性定理及范形4、定：.學習參照.......正性指數：準形中正平方的個數稱正性指數，p；性指數：準形中平方的個數稱性指數，q；范形：f=z12+?zp2-zp+12-?-zp+q2稱二次型的范形。5、性定理：二次型無取怎的可逆性準形，其正性指數不。注：（1）由于正性指數不，因此范形唯一。2）p=正特色的個數，q=特色的個數，p+q=非零特色的個數=rA）三）合同矩6、定：A、B均n稱矩，若存在可逆矩C，使得B=CTAC，稱A與B合同△7、：n稱矩A、B的關系1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特色2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正性指數←→相同的正特色的個數3）A、B等價（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：稱矩相似必合同，合同必等價（四）正定二次型與正定矩8、正定的定二次型xTAx，若是任意x≠0，恒有xTAx＞0，稱二次型正定，并稱稱矩A是正定矩。.學習參照.......9、n元二次型xTAx正定充要條件：1）A的正慣性指數為n2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E3）A的特色值均大于04）A的序次主子式均大于0（k階序次主子式為前k行前k列的行列式）10、n元二次型xTAx正定必要條件：1）aii＞02）|A|＞011、總結：二次型xTAx正定判斷（大題）1）A為數字：序次主子式均大于02）A為抽象：①證A為實對稱矩陣：AT=A；②再由定義或特色值判斷12、重要結論：1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定.學習參照.......線性代數行列式經典例題例1計算元素為aij=|i－j|的n階行列式.解方法1由題設知，a=0，a1，,a1nn1,，故111201n101n1Dn10n2riri1111in,n1,,2n1n20111cjcnj1,,n1

n1nn1021(1)n12n2(n1)020001其中第一步用的是從最后一行起，逐行減前一行．第二步用的每列加第n列．01n1111方法2Dn10n2riri1111i1,2,,n1n1n20n1n20100cjc1120=(1)n12n2(n1)j2,n,n12n3n1例2.設a,b,c是互異的實數,證明:的充要條件是a+b+c=0.證明:察看范德蒙行列式:.學習參照.......=行列式即為y2前的系數.于是=因此的充要條件是a+b+c=0.x100例3計算Dn=0x10anan1an2xa1解：方法1遞推法按第1列張開，有1x1Dn=xDn1+（－1）n1an

x1=xDn1+anx1n1由于D1=x+a1，D2x1a2x，于是Dn=xDn1+an=x（xDn2+an1）+an=xa12Dn2+an1x+an==xn1D1+a2xn2++an1x+an=xna1xn1an1xan方法2第2列的x倍，第3列的x2倍，，第n列的xn1倍分別加到第1列上.學習參照.......0100cxcx2x10Dn00x0anxan1an1an2xa101000cx2c30x1001x30x10anxan1x2an2an1an2an3xa1011x1x按rn張開==1x=(1)n1f1fxx1n1xna1xn1an1xan方法3利用性質，將行列式化為上三角行列式．1c2xc11c3xc2Dn

x0000x0000x0cn1c1xnanan1ananan1an2knxxx2按cn張開xn1kn=xn1anan1++a2+a1+x)(+xxn1xn2=anan1xa1xn1xn1000按r張開x100方法4Dnn(1)n1an+00x1.學習參照.......x000x100(1)n2an10100++(1)2n1a20x0000x10001x100+(1)2n(a1x)0x00000x=（－1）n1（－1）n1an+（－1）n2（－1）n2an1x++（－1）2n1（－1）a2xn2+（－1）2n(a1+x)xn1=anan1xa1xn1xn例4．計算n階行列式：a1b1a2anDna1a2b2an(b1b2bn0)a1a2anbn解采用升階（或加邊）法．該行列式的各行含有共同的元素a1,a2,,an，可在保持原行列式值不變的狀況下，增加一行一列，適當選擇所增行（或列）的元素，使得下一步化簡后出現大量的零元素．1a1a2an1a1a2an0abaar2r11b00升階112nr3r11Dn0a1a2b2an10b20rn1r10a1a2anbn100bn1a1a1a1a2anb1b1c11cjbj10b100a1anb1b2)00b2=bn(1bnj2,,n10b1000bn這個題的特別狀況是.學習參照.......a1xa2ana1a2xan=xn1(xnai)Dni1a1a2anx可作為公式記下來．例5．計算n階“三對角”行列式000100Dn=01＋000001解方法1遞推法．0000按c1張開100Dn()Dn1—0001(n1)按r1張開()Dn1－Dn2即有遞推關系式Dn=()Dn1－Dn2(n3)故DnDn1＝(Dn1Dn2)遞推獲取DnDn1＝(Dn1Dn2)＝2(Dn2Dn3)＝＝n2(D2D1)而D1()，D2＝α+βαβ＝22，代入得DnDn1n1α+βDnn（2.