判定三角形形狀的十種常用方法三角形既可以按邊分類也可以按角分類，當我們得到了它們的邊（或角）之間的關系或最大角的度數時，就能據此判定三s角形的形狀．本文就判定三角形形狀的常用方法歸納介紹如下，供參考．一、利用因式分解例1在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，試判定△ABC的形狀，解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．二、利用配方法例2已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，試判定三角形的形狀．解將a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2變形為：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均為正數，∴a＝b＝c．故三角形為等邊三角形，三、利用根的判別式例3已知a、b、c是△ABC的三邊，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋＝0有實根，試判定△ABC的形狀．解據題意，有△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．∴a＝b，b＝c，a＝c，從而a＝b＝c，故△ABC是等邊三角形．四、利用構造方程例4已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，試判定以a、b、c為邊的三角形形狀，解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a、c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的兩個根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，∴a＝k2＋1，c＝k2－1，或a＝k2－1，c＝k2＋1．∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．五、利用公共根例5設a、b、c是△ABC的三邊長，方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有一個相同的根，求證：△ABC是直角三角形證明設兩個方程的相同根（公共根）為a，則a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．①－②，得2(a－c)α＝－2b2，即(c－a)α＝b2．當a＝c時，b＝0不合題意，舍去；當a≠c時，α＝．將其代入①、②，得＋b2＝0．化簡，得b2＋c2＝a2，所以△ABC是以∠A為直角的直角三角形．六、利用韋達定理例6如果方程x2－xbcosA＋acosB＝0的兩根之積等于兩根之和，a、b、c為三角形的三邊，試判定△ABC的形狀．解在△ABC中，作CD⊥AB于D，在△ADC中，AD＝bcosA，在△CDB中，BD＝acosB，由韋達定理，得x1＋x2＝bcosA，x1·x2＝acosB．∴bcosA＝acosB，即AD＝BD．又∵CD⊥AB，∴△ABC為等腰三角形，七、利用三角形面積公式例7已知△ABC中，若ha＋hb＋hc＝9r，其中ha、hb、hc為三邊上的高，r為三角形內切圓的半徑，試判定△ABC的形狀．解設△ABC面積為Ｓ，由三角形面積公式可得八、利用解方程組例8已知△ABC的三條邊是a、b、c，三個角是A、B、C．若b是a、c的比例中項，且a－b＝b－c，試判定這個三角形的形狀．九、利用二次函數性質例9設二次函數y＝(a＋b)x2＋2cx－（a－b），當x＝－時，其最小值為－b．若a、b、c是△ABC的三邊長，試判定△ABC的形狀．解因為a>0，b>0，c>0，∴a＋b>0．據題設，有故△ABC是等邊三角形，十、綜合運用判定方法例10已知a、b、c為△ABC中角A、B、C的對邊，當m>0時，關于x的方程b（x2＋m）＋c（x2－m）－2ax＝0有兩個相等的實數根，且sinC·cosA－cosCsinA＝0，試判定△ABC的形狀． 解將原方程整理成∴sinA＝cosC，cosA＝sinC．又sinCcosA－cosCsinA＝0，∴sin2C＝sin2A，∴C＝A，∴a＝c，故△ABC為等腰直角三角形．綜上所述，如果要判定的某個三角形是銳角三角形或是鈍角三角形或是直角三角形，可通過余弦函數直接去判定角的范圍，例如從cosA>0，cosA<0，cosA＝0既可得A<90°，90°<A<