第第頁重慶市沙坪壩區名校2023-2024學年高一上學期9月測試數學試題（含答案）沙坪壩區名校2023-2024學年高一上學期9月測試數學9.17.

一、選擇題（本大題共8小題、每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．集合的意義是（）

A．第二象限內的點集B．第四象限內的點集

C．第二、四象限內的點集D．不在第一、三象限內的點的集合

2．已知集合，則集合的真子集個數為（）

A．1B．2C．3D．4

3．已知集合，且，則實數為（）

A．2B．3C．0或3D．0，2，3

4．下列集合中表示同一集合的是（）

A．B．

C．D．

5．已知集合，且，則實數的取值范圍是（）

A．B．C．D．

6．若集合中的元素都是非零實數，定義，若，且中有4個元素，則的值為（）

A．1B．C．1或D．1或

7．若集合的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，稱為互斥集．若，且為互斥集．則的最大值為（）

A．B．C．D．

8．已知集合．若，且對任意，均有，則集合中元素個數的最大值為（）

A．5B．9C．15D．19

二、選擇題（本大題共4小題、每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分、有選錯的得0分，部分選對的得2分）

9．下列關于集合的命題錯誤的有（）

A．很小的整數可以構成集合

B．集合與集合是同一個集合

C．1、2、、0.5、這些數組成的集合有5個元素

D．空集是任何集合的子集

10．設全集，集合，則包含的集合可以是（）

A．B．C．D．

11．已知是同時滿足下列條件的集合：①；②若，則；③且，則．下列結論中正確的有（）

A．B．

C．若，則D．若，則

12．對非空有限數集，定義運算“”：表示集合中的最小元素．現給定兩個非空有限數集，定義集合，我們稱為集合之間的“距離”，記為．則下列命題為真命題的是（）

A．若，則B．若，則

C．若，則D．對于任意有限數集，均有

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在答題卡相應位置上）

13．方程組的解集是______．

14．若集合，實數的值為______．

15．若集合．則實數的取值范圍是______．

16．某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數分別是14，10，8．若這三天中至少有一天開車上班的職工人數是20，則這三天都開車上班的職工人數的最大值是______．

四、解答題（共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17．（10分）已知集合中有三個元素：，集合中也有三個元素：．

（1）若，求實數的值；

（2）若，求實數的值．

18．（12分）已知集合．

（1）當時，求；

（2）若，求實數的取值范圍．

19．（12分）集合

（1）若，寫出集合的真子集；

（2）若，求實數的取值范圍．

20．（12分）已知全集，集合．

（1）若時，存在集合使得，求出所有這樣的集合；

（2）集合能否滿足？若能，求實數的取值范圍；若不能，請說明理由．

21．（12分）已知集合規定：集合中元素的個數為，且．若，則稱集合是集合的衍生和集

（1）當時，分別寫出集合的衍生和集；

（2）當時，求集合的衍生和集的元素個數的最大值和最小值．

22．（12分）設集合，若集合中的元素同時滿足以下條件：

①恰好都含有3個元素；

②為單元素集合；

③

則稱集合為“優選集”．

（1）判斷集合是否為“優選集”；

（2）證明：若集合為“優選集”，則至多屬于中的三個集合；

（3）若集合為“優選集”，求集合的元素個數的最大值．

數學參考答案：

一、單選題

12345678

DCBDCCCD

二、多選題

9101112

ABCADACDAC

三、填空題

13141516

6

四、解答題

17．解：（1）集合A中有三個元素：，

∴或，解得或，

當時，，成立；

當時，，成立．

∴的值為0或．

（2）集合中也有三個元素：，當取時，都有，

∵集合中的元素都有互異性，∴，，∴．∴實數的值為．

18．解：（1）解不等式，得，即，

當時，，所以．

（2）由（1）知，，由，得，

當，即時，，滿足，因此；

當，即時，，即有，

則，解得，因此，所以實數的取值范圍．

19．解：（1）由題知，，若，則，

所以，解得或，

當時，，所以集合的真子集為：；

當時，，所以集合的真子集為：．

綜上，當時，集合的真子集為：；當時，集合的真子集為：．

（2）對于集合中的方程，，因為，所以，

當，即，此時，顯然滿足；

當，即，此時，滿足；

當，即，當才能滿足條件，

由韋達定理有，，即，無解．

故實數的取值范圍是．

20．（1）解：當時，可得，

因為，所以，

又由，又因為，

所以這樣的集合共有如下6個：．

（2）解：能：

由，可得，

若時，此時滿足是的一個子集，此時，解得；

若時，由（1）知，

當時，，此時，此時不是的一個子集；

當時，，此時，此時是的一個子集；

當時，，此時，此時是的一個子集，

綜上可得，當或時，滿足，

此時實數的取值范圍為．

21．解：（1）由衍生和集的定義知：集合的衍生和集；集合的衍生和集．

（2）當時，設集合且；

∴，

∴集合的衍生和集的元素個數的最小值為9；

若集合中任意兩個元素的和不相等，則衍生和集的元素個數取得最大值，最大值為15；

∴最大值為15，最小值為9．

22．（1）解：對于集合，

滿足條件①：和恰好都含有3個元素；

滿足條件②：為單元素集合；

但不滿足條件③：，則不是“優選集”；

對于集合，

滿足條件①：和恰好都含有3個元素；

滿足條件②：為單元素集合；

滿足條件③：．所以集合是“優選集”．

（2）證明：由集合為“優選集”，

結合（1）顯然可以屬于中的零個集合，一個集合，兩個集合，

取集合，其中，，

此時可以屬于中的兩個集合，三個集合，

假設存在，使得可以屬于中的四個集合，即，其中，

為了滿足條件③，顯然還存在，

為了滿足條件②，中的元素必須在中除外的另外兩個元素中各選一個，

此時中有4個元素，顯然不滿足條件①，

因此假設不成立，

故若集合為“優選集”，則至多屬于中的三個集合；

（3）解：