專題04等腰三角形（考點清單）考點一等腰三角形的性質與判定【考試題型1】等腰三角形的定義【解題方法】有兩邊相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.【典例1】（2022秋·江蘇南通·八年級統考期中）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（

）A．13 B．17 C．13或17 D．13或10【答案】B【分析】等腰三角形兩邊的長為3和7，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．【詳解】解：①當腰是3，底邊是7時，3+3<7不滿足三角形的三邊關系，因此舍去．②當底邊是3，腰長是7時，7+7>3能構成三角形，則其周長=3+7+7=17．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，解題時注意：若沒有明確腰和底邊，則一定要分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形，這是解題的關鍵．【專訓11】（2022秋·江蘇連云港·八年級統考期中）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的底邊為（

）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【答案】B【分析】分3cm長的邊是腰和底邊兩種情況進行討論即可求解．【詳解】解：當長是3cm的邊是底邊時，三邊為3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；當長是3cm的邊是腰時，底邊長是：13－3－3＝7cm，而3＋3＜7，不滿足三角形的三邊關系．故底邊長是：3cm．故選：B．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的計算，正確理解分兩種情況討論，并且注意到利用三角形的三邊關系定理，是解題的關鍵．【專訓12】（2022秋·江蘇·八年級期末）若等腰三角形有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數是（

）A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°【答案】D【分析】根據等腰三角形的性質，分已知角是頂角和底角兩種情況分別即可．【詳解】解：∵已知三角形是等腰三角形，∴當50°是底角時，頂角；當50°是頂角時，符合題意；綜上所述，等腰三角形的頂角度數為50°或80°．故選D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質和三角形內角和定理，根據等腰三角形的性質分類討論是解答本題的關鍵．【專訓13】（2022秋·江蘇泰州·八年級校考期中）已知a，b是等腰三角形的兩邊長，且a，b滿足，則此等腰三角形的周長為（

）A．8 B．6或8 C．7 D．7或8【答案】D【分析】首先根據|a2|+（2a+3b13）2=0求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周長即可．【詳解】解：∵|a2|+（2a+3b13）2=0，∴，解得：，當a為底時，三角形的三邊長為2，3，3，則周長為8；當b為底時，三角形的三邊長為2，2，3，則周長為7．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，三角形三邊關系定理．關鍵是根據等腰三角形的定義進行分類討論．【考試題型2】根據等邊對等角求角度【解題方法】等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）.【典例2】（2022秋·江蘇常州·八年級統考期中）如圖，AB∥CD，點E在線段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，則∠D的度數為（）A．85° B．75° C．65° D．30°【答案】B【分析】根據AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性質，即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故選：B【點睛】本題主要考查了平行線的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形中，等邊對等角是解題的關鍵．【專訓21】（2022秋·江蘇蘇州·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線l交BC于點D．若∠BAD＝78°，則∠B的度數是（）A．34° B．30° C．28° D．26°【答案】A【分析】根據等腰三角形的性質得到∠B=∠C，根據線段垂直平分線的性質得到AD=DC，根據三角形外角的性質得到∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C，根據三角形的內角和定理列方程即可得到結論．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AC的垂直平分線l交BC于點D，∴AD=DC，∴∠DAC=∠C，∵∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C，∴∠ADB=2∠B，∵∠BAD=78°，∴∠B+∠ADB+∠BAD=∠B+2∠B+78°=180°，∴∠B=34°，故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，根據三角形外角的性質證得∠ADB=2∠B是解題的關鍵．【專訓22】（2022秋·江蘇蘇州·八年級校考期中）如圖，在中，D為上一點，，且，若，，則（）A．3 B． C．4 D．5【答案】A【分析】根據線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質即可得到結論．【詳解】解：∵，，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．【專訓23】（2022秋·江蘇南通·八年級統考期中）在等腰三角形ABC中，，過點A作的高AD．若，則這個三角形的底角與頂角的度數比為（

）A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:10【答案】D【分析】分等腰三角形頂角是鈍角和銳角兩種情況討論即可.【詳解】解：情況1：如圖：∵，∴，∵CA=CB，∴∠B=∠CAB=15o，底角與頂角的度數比為：15o:150o=1:10；情況2：如圖：∵，CA=CB，∴∠B=∠CAB=，底角與頂角的度數比為：75o:30o=5:2，綜上，這個三角形的底角與頂角的度數比為5:2或1:10，故選：D.【點睛】此題考查了等腰三角形的性質和三角形內角和定理的應用.分情況討論是解答此題的關鍵.【考試題型3】根據三線合一求解【解題方法】等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【典例3】（2022秋·江蘇南通·八年級統考期中）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點，連結EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（

）A．12 B．9 C．6 D．【答案】B【分析】根據三線合一可得，根據垂直平分線的性質可得，進而根據∠EBC＝45°，可得為等腰直角三角形，根據斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后根據三角形面積公式即可求解．【詳解】解：AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，，，∠EBC＝45°，，為等腰直角三角形，，，則△EBC的面積是．故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質與判定，垂直平分線的性質，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，掌握等腰三角形的性質與判定是解題的關鍵．【專訓31】（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，點E為AC的中點，連接DE，若△ABC的周長為20cm，則△CDE的周長為（

）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【答案】A【分析】根據三角形中位線定理求出DE，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵點E為AC的中點，∴AE=CE，∵BD＝CD，∴DE=AB，∵△ABC的周長為20，即AB+BC+AC=20cm，∴△CDE的周長＝DE＋CD＋CE＝（AB+BC+AC）=10cm，故選：A．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．【專訓32】（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達中學校校考期中）蘇州素有“園林之城”美譽，以拙政園、留園為代表的蘇州園林“咫尺之內再造乾坤”，是中華園林文化的翹楚和驕傲．如圖，某園林中一亭子的頂端可看作等腰，其中，若是邊上的一點，則下列條件不能說明是角平分線的是（

）A．點到，的距離相等 B．C． D．【答案】D【分析】根據到角兩邊距離相等的點在角的平分線上即可判斷選項A，根據等腰三角形的性質（三線合一）即可判斷選項B、選項C，選項D．【詳解】解：A．∵點D到AB、AC的距離相等，∴AD是∠BAC的角平分線，故本選項不符合題意；B．∵∠ADB=∠ADC，∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD是∠BAC的角平分線，故本選項不符合題意；C．∵BD=CD，AB=AC，∴AD是∠BAC的角平分線，故本選項不符合題意；D．AD=BC不能推出AD是△ABC的角平分線，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的性質和等腰三角形的性質，能熟記等腰三角形的性質和角平分線的性質是解此題的關鍵．【專訓33】（2022秋·江蘇無錫·八年級統考期中）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點E，AC＝6，DE＝2，則△BCE的面積是(

)A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根據角平分線的性質得到EF=DE=2，根據三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：作EF⊥BC于F，∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴△BCE的面積=×BC×EF=6，故選：B．【點睛】本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．【專訓34】（2022秋·江蘇揚州·八年級統考期末）如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于P，連接PC，若△ABC的面積為16cm2，則△PBC的面積為（）A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．不能確定【答案】B【分析】延長交于點，先根據等腰三角形的三線合一可得，再利用三角形的面積公式可得，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，延長交于點，是的平分線，，（等腰三角形的三線合一），，（等底同高），，又的面積為，，即，解得，即的面積為，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、三角形的面積，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關鍵．【考試題型4】根據三線合一證明【典例4】（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖，在中，，于點D．（1）若，求的度數；（2）若點E在邊AB上，交AD的延長線于點F．求證：．【答案】（1）48°；（2）證明見解析.【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到，根據三角形的內角和即可得到；（2）根據等腰三角形的性質得到根據平行線的性質得到，等量代換得到，于是得到結論．【詳解】解：（1）∵，于點D，∴，，又，∴；（2）∵，于點D，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．【專訓41】（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖，點D、E在的邊上，，，求證：．【答案】見解析【分析】過點A作于P，根據等腰三角形三線合一，即可得到答案．【詳解】證明：如圖，過點A作于P，∵，，∴；∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查等腰三角形性質：三線合一，解題的關鍵是作輔助線．【專訓42】（2022秋·江蘇南京·八年級南京市第二十九中學校考期中）如圖，在中，，是的中線，．求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】根據等腰三角形“三線合一”可得，再由平行線的性質可得，得到，即可證明．【詳解】證明：∵，是邊上的中線，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴，即△ADE是等腰三角形．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質與判定，根據“三線合一”證得是解題的關鍵．【專訓43】（2022秋·江蘇南京·八年級統考期中）如圖，點D是內部的一點，，過點D．作，垂足分別為E、F，且．求證：(1)；(2)連接AD，證明．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先根據“”證明可得，再由等腰三角形的性質，從而可證，最后根據等角對等邊即可證明結論；（2）先根據“”證明可得，然后根據等腰三角形“三線合一”的性質即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，在和中，，∴（），∴∠EBD=∵，∴，∴，即，∴．（2）證明：連接AD并延長交于G，在和中，，∴（），∴，∵，∴，即．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識點，正確尋找全等三角形是解題的關鍵．【考試題型5】根據格點圖中已知線段，求滿足條件的等腰三角形個數【解題方法】要注意AB是腰長與底邊兩種情況討論求解【典例5】（2022秋·江蘇鹽城·八年級統考期中）如圖，在的網格中，每個網格線的交點稱為格點．已知圖中A，B兩個格點，請在圖中再尋找另一個格點C，使成為等腰三角形，則滿足條件的點C有（

）個．A．4個 B．6個 C．8個 D．10個【答案】C【分析】根據等腰三角形的定義判斷即可．【詳解】解：如圖，AB是腰長時，紅色的4個點可以作為點C，AB是底邊時，黑色的4個點都可以作為點C，所以，滿足條件的點C的個數是4+4=8．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握網格結構的特點是解題的關鍵，要注意AB是腰長與底邊兩種情況討論求解．【專訓51】（2022秋·江蘇泰州·八年級統考期中）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B均在格點上，在圖中給出的、、、四個格點中，能與點A、B構成等腰三角形，且面積為2的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷等腰三角形，然后計算等腰三角形的面積，進而作出判斷．【詳解】解：根據圖形可知，是等腰三角形，則，．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質和三角形的面積計算方法是解決問題的關鍵．【專訓52】（2022秋·江蘇泰州·八年級校考期中）如圖，在的正方形網格中有兩個格點A、B，連接，在網格中再找一個格點C，使得是等腰三角形，滿足條件的格點C的個數是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】分三種情況：當時，當時，當時，然后進行分析即可解答．【詳解】解：如圖：分三種情況：當時，以點為圓心，長為半徑作圓，點，，即為所求；當時，以點為圓心，長為半徑作圓，點，，，，即為所求；當時，作的垂直平分線，與正方形網格的交點不在格點上，綜上所述：滿足條件的格點的個數是8，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關鍵是分三種情況進行討論．【考試題型6】根據等角對等邊求解【解題方法】如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等【典例6】（2022秋·廣東肇慶·八年級統考期末）如圖，于點D，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據等角對等邊得到，根據三角形外角的性質得到，再根據含30度角的直角三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性質，含30度角的直角三角形的性質，求出，是解題的關鍵．【專訓61】（2022秋·河南信陽·八年級校考期末）如圖，在中，和的平分線交于點E，過點E作分別交于M、N，則的周長為（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據是角平分線和可以得出，繼而可以得出的周長，從而可以得出答案．【詳解】解：∵分別是與的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴的周長．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質和等腰三角形的判定，是一道綜合題，能夠推出是解題的關鍵．【專訓62】（2022春·湖南婁底·八年級校考期中）如圖：∠DAE=∠ADE=15°，DEAB，DF⊥AB，若AE=8，則DF等于（

）A．10 B．7 C．5 D．4【答案】D【分析】過點D作DG⊥AC于G，先根據等角對等邊求出DE=AE=8，再由三角形外角的性質求出∠DEC=30°，即可推出DG=4，由平行線的性質得到∠BAC=30°，可推出∠BAD=∠DAC，再由角平分線的性質即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點D作DG⊥AC于G，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DEG=∠ADE+∠DAE=30°，AE=DE=8，∴，∵DEAB，∴∠BAC=∠DEG=30°，∴∠BAD=∠BAC∠DAC=15°，∴∠BAD=∠DAC，又∵DF⊥AB，DG⊥AC，∴DF=DG=4，故選D．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，等角對等邊，三角形外角的性質，含30度角的直角三角形的性質，角平分線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．【專訓63】（2022秋·湖北咸寧·八年級統考期中）上午8時，一條船從海島A出發，以15nmile/h（海里/時，1nmile＝1852m）的速度向正北航行，10時到達海島B處，從A、B望燈塔C，測得NAC＝42°，NBC＝84°．則從海島B到燈塔C的距離為（）A．45nmile B．30nmile C．20nmile D．15nmile【答案】B【分析】根據三角形外角的性質，求證∠C=∠NAC，然后即可證明BC=AB，從而求得B到C的距離．【詳解】∵∠NBC＝84°，∠NAC＝42°，∴∠C＝84°﹣42°＝42°．∴∠C＝∠NAC，∴BC＝AB，∵上午8時，一條船從海島A出發，以15nmile/h的速度向正北航行．10時到達海島B處，∴BC＝AB＝15×2＝30nmile．故選B．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質，靈活運用等腰三角形性質是解題的關鍵．【考試題型7】根據等角對等邊證明【解題方法】如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等【典例7】（2022秋·甘肅平涼·八年級校考期中）請將下列證明過程補充完整．求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．已知：如圖，是的外角，平分，求證：證明：∵∴（__________），（__________），∵平分，∴（__________），∴_________，∴（__________）．【答案】兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；角平分線的定義；；同一個三角形中，等角對等邊．【分析】只需要利用平行線的性質和角平分線的定義證明，即可證明．【詳解】證明：∵∴（兩直線平行，同位角相等），（兩直線平行，內錯角相等），∵平分，∴（角平分線的定義），∴，∴（同一個三角形中，等角對等邊）．故答案為：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；角平分線的定義；；同一個三角形中，等角對等邊．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定，證明是解題的關鍵．【專訓71】（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯考期中）如圖：E在的邊的延長線上，D點在邊上，交于點F，，，過D作交BC于G．求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】首先根據題意證明出△GDF≌△CEFASA，然后得到，結合得到，即可證明出是等腰三角形．【詳解】∵∴（兩直線平行，內錯角相等），在和中，∴；∴又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．【專訓72】（2022秋·江蘇鹽城·八年級校考期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．求證：MN＝BM+CN．【答案】見解析【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，利用兩直線平行，內錯角相等，利用等量代換可∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，然后即可證明．【詳解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，∵MN∥BC，∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，∴BM=MO，ON=CN，∴MN=MO+ON，即MN=BM+CN．【點睛】此題考查學生對等腰三角形的判定與性質和平行線性質的理解與掌握．此題關鍵是證明△BMO，△CNO是等腰三角形．【專訓73】（2022秋·江蘇徐州·八年級統考期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別在AB、AC上，AD＝AE，BE、CD交于點F．(1)求證：△ABE≌△ACD；(2)若∠A＝30°，BE⊥CD，則圖中等腰三角形的個數是．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△ACD；（2）分別求出∠ABE，∠ACD，∠FBC，∠FCB的度數，即可求解．【詳解】（1）解：證明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，△ABC是等腰三角形，∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴BF=CF，∴△BFC是等腰三角形，∵BE⊥CD，∴∠FBC=∠FCB=45°，∴∠ABE=∠ACD=30°，∴∠ABE=∠ACD=∠A，∴AE=BE，AD=CD，∴△ABE和△ACD是等腰三角形，故答案為4．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．【考試題型8】尺規作圖—等腰三角形【典例8】（2022秋·江蘇南京·八年級校聯考期中）如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規按下列要求分別作一個等腰三角形（不寫作法，保留作圖痕跡）(1)△ABC的底邊長為a，底邊上的高為h；(2)△ABC的腰長為a，腰上的高為h．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先作線段，再作出BC的垂直平分線，然后截取高為h，連接即可．（2）首先作直線垂直于直線，垂足為F，再直線上取線段，然后，連接即可．【詳解】（1）解：如圖：即為所求作的三角形．（2）解：如圖：即為所求作的三角形．【點睛】本題主要考查了尺規作圖、等腰三角形的性質等知識點，正確掌握線段垂直平分線的作法和等腰三角形的性質是解答本題的關鍵．【專訓81】（2022秋·廣東廣州·八年級統考期末）已知等腰三角形底邊長為，底邊上的高的長為，求作這個等腰三角形．（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】根據題目要求畫出線段a、h，再畫△ABC，使AB＝a，△ABC的高為h；首先畫一條射線，再畫垂線，然后截取高，再畫腰即可．【詳解】如圖所示，作圖：①畫射線AE，在射線上截取AB＝a，②作AB的垂直平分線，垂足為O，再截取CO＝h，③再連接AC、CB，△ABC即為所求．【點睛】此題主要考查了復雜作圖，關鍵是掌握垂線的畫法，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【專訓82】（（2022春·陜西西安·八年級高新一中校考期末）如圖，在中，，，請用尺規作圖法在AC邊上確定一點P，連接BP，使BP將分割成兩個等腰三角形．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】答案見詳解【分析】作∠ABC的角平分線BP，交AC于點P，點P即為所求．【詳解】解：如圖，點P即為所求．【點睛】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【考試題型9】等腰三角形性質與判定綜合【典例9】（2022秋·江蘇南通·八年級統考期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，交ED的延長線于點F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，給出下列四個結論：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正確的結論共有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【詳解】解：∵，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分線，∴BD=CD，AD⊥BC，故②，③正確，在△CDE與△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正確；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正確．故選A．【專訓91】（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是∠ACB的角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（

）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【答案】D【分析】根據三角形的面積公式進行判斷①，根據三角形的內角和定理求出∠FAG＝∠ACB，再判斷②即可，根據三角形的內角和定理求出∠AFG＝∠AGF，再根據等腰三角形的判定判斷③即可，根據等腰三角形的判定判斷④即可．【詳解】解：∵BE是AC邊的中線，∴AE＝CE，∵△ABE的面積＝，△BCE的面積＝AB，∴△ABE的面積＝△BCE的面積，故①正確；∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分線，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠FAG＝2∠FCB，故②錯誤；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正確；根據已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④錯誤；即正確的為①③，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的面積，三角形的中線，三角形的高，三角形內角和定理等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．【專訓92】（2022秋·江蘇徐州·八年級統考期中）如圖，中，與的平分線交于點F，過點F作交于點．D，交于點E，那么下列結論：①和都是等腰三角形；②；③；④的周長；⑤．其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤【答案】B【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據平行線的性質及等腰三角形的判定和性質，逐一判定即可解答．【詳解】解：，，，是的平分線，是的平分線，，，，，，都是等腰三角形，故①正確；，，即有，故②正確；顯然,故，故③錯誤；∴△ADE的周長，故④正確；根據題意，無法得到，故⑤錯誤，綜上所述，①②④正確．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質及角平分線的性質及平行線的性質；題目利用了兩直線平行，內錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關鍵．考點二等邊三角形的性質與判定【考試題型10】利用等邊三角形的性質求解【解題方法】等邊三角形的性質：1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質；2）有三條對稱軸；3）每個內角都是60°【典例10】（2022秋·江蘇南通·八年級統考期中）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點，，連接，若是等邊三角形，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據垂直平分線的性質得到，再利用等邊三角形的性質得到，從而可得的度數．【詳解】解：垂直平分，，，為等邊三角形，，．故選：．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，等邊三角形的性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是利用垂直平分線的性質得到．【專訓101】（2022秋·江蘇宿遷·八年級統考期中）如圖，E、F分別是等邊邊，上的動點，且，連接、，交點為P，則的度數是（）A．120° B．60° C．150° D．無法確定【答案】A【分析】證明，利用全等三角形的性質得到，則由圖示知，即，所以根據三角形內角和定理求得．【詳解】解：是等邊三角形，，，在與中，，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質，解題的關鍵是證明．【專訓102】（2022秋·山東菏澤·八年級統考期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】利用等邊對等角和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和依次計算∠GDC和∠E即可．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，∴∠CGD＋∠CDG＝60°，∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°，∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，∴∠DFE＋∠E＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°，故選：A．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，等邊對等角和三角形的外角性質，利用等邊對等角和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和解答是解題的關鍵．【專訓103】（2022秋·山東臨沂·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且，則CE的長是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】根據等邊三角形的性質得AC=AB=4，由等邊三角形三線合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC=4cm，∠ACB=60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三線合一)∴DC=cm，∵∠E=30°∴∠CDE=∠ACB∠E=60°30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故選：B．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質、等腰三角形的判定，直角三角形的性質，直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．【考試題型11】根據等邊三角形的判定證明【解題方法】等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個角都相等的三角形是等邊三角形。2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。【典例11】（2022秋·山東濱州·八年級統考期末）已知a﹑b﹑c為△ABC的三條邊邊長，且滿足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，則△ABC的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】首先利用分組分解法對已知等式的左邊進行因式分解，再根據三角形的三邊關系得到，從而得到答案．【詳解】解：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0∴∴；∴∴為等邊三角形．故選B．【點睛】本題考查了因式分解的應用、非負數的性質、等邊三角形的判斷，以及靈活利用因式分解建立與方程之間的關系來解決問題．【專訓111】（2022秋·廣東廣州·八年級統考期中）如圖，點C為線段AB上一點，△ACM和△CBN是等邊三角形．下列結論：①AN=BM;②CE=CF;③△CEF是等邊三角形;④∠ECF=60°°．其中正確的是（

）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】由等邊三角形可得其對應線段相等，對應角相等，進而可由SAS得到△CAN≌△CMB，再由△CAN≌△CMB可得∠CAN=∠CMB，進而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF為等邊三角形結論得以驗證．【詳解】解：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°=∠NCB=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN,即∠ACN=∠MCB在△CAN和△MCB中，，∴△CAN≌△CMB（SAS），∴AN=BM，①正確；∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN=∠CMB，又∵∠ECF=180°∠ACM∠NCB=180°60°60°=60°，∴∠ECF=∠ACE，在△CAE和△CMF中，，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE=CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF=60°，∴△CEF為等邊三角形，所以②③④正確，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定及等邊三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．【專訓112】（2022秋·河北保定·八年級校考期中）下列三角形：①有兩個角等于的三角形；②有一個角等于的等腰三角形；③三個角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（

）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根據等邊三角形的判定條件逐一分析即可．【詳解】解：①有兩個角等于的三角形是等邊三角形；②有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形；③三個角都相等的三角形是等邊三角形；④三邊都相等的三角形是等邊三角形．故選D．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定，熟知等邊三角形的判定定理是解題的關鍵．【考試題型12】利用等邊三角形性質與判定求解【典例12】（2022秋·江蘇無錫·八年級無錫市東林中學校考期末）△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內．若求五邊形DECHF的周長，則只需知道（）A．△ABC的周長 B．△AFH的周長C．四邊形FBGH的周長 D．四邊形ADEC的周長【答案】A【分析】由等邊三角形的性質和三角形的內角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，進而可根據AAS證明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根據等量代換和線段間的和差關系即可推出五邊形DECHF的周長＝AB+BC，從而可得結論．【詳解】解：∵△GFH為等邊三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，∴BE＝FH，∴五邊形DECHF的周長＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周長即可．故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及多邊形的周長問題，熟練掌握等邊三角形的性質以及全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．【專訓121】（2022秋·江蘇無錫·八年級統考期末）如圖，在中，∠ACB=90°，為的中點，點在上，且CE=AC，∠BAE=15°，則∠CDE的大小為（

）A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】B【分析】根據等腰直角三角形的性質得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=30°，根據直角三角形的性質得到CD=BD=AD=AB，得到△ADC是等邊三角形，∠DCB=∠B=30°，于是得到結論．【詳解】解：∵∠ACB=90°，CE=AC，∴∠CAE=∠AEC=45°，∵∠BAE=15°，∴∠CAB=60°，∴∠B=30°，∵∠ACB=90°，D為AB的中點，∴CD=BD=AD=AB，∴△ADC是等邊三角形，∠DCB=∠B=30°，∴AC=DC=CE，∴∠CDE=∠CED=×（180°30°）=75°，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．【專訓122】（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州市胥江實驗中學校校考期中）如圖，和都是等邊三角形，且，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等邊三角形的性質，得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，然后證明△ACE≌△BCD，則∠CAE=∠CBD，由角的關系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．【詳解】解：如圖：∵和都是等邊三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD，即，∵，∴，∴，∴；故選：B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，以及角的和差關系，解題的關鍵是掌握所學的知識，正確求出．【專訓123】（2022秋·江蘇無錫·八年級無錫市東林中學校考期中）如圖，點C、D在線段AB的同側，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中點，∠CMD＝120°，則CD長的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】作點A關于CM的對稱點A′，作點B關于DM的對稱點B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．【詳解】解：如圖，作點A關于CM的對稱點A′，點B關于DM的對稱點B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′為等邊三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，∴CD的最大值為19，故選：B．【點睛】本題主要考查了翻折變換的運用，等邊三角形的判定和性質，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用兩點之間線段最短解決最值問題．【考試題型13】利用直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半求解【解題方法】直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半【典例13】（2022秋·江蘇常州·