非參數檢驗方法第一節非參數檢驗的一般問題第二節單樣本非參數檢驗第三節列聯表與的獨立性檢驗第四節等級相關分析第五節兩個相關樣本的非參數檢驗第六節兩個獨立樣本的非參數檢驗第七節多個相關樣本的非參數檢驗第八節多個獨立樣本的非參數檢驗第一節

非參數檢驗的一般問題在統計學中，如果總體的精確率分布形式已知，而只是其中的某些參數未知時，通常是從總體中隨機取樣本，根據樣本信息對總體參數進行估計或假設檢驗，這就是一般所說的參數檢驗。但在許多實際問題中，我們對總體分布的具體形式是未知或知之甚少的，只知道總體為連續分布還是離散分布，也不能對總體的分布形式作進一步的假定（如假定總體為近似正態分布等），這時要對總體的某些性質進行統計估計或假設檢驗，就要采用非參數檢驗。非參數檢驗方法的特點從參數檢驗的前提條件看，僅要求觀察值是獨立的、變量是連續的等簡單假設，不要求確保樣本所屬的總體符合某種理論分布。非參數檢驗不受總體分布形狀的限制，使得其應用范圍更為廣泛。從非參數檢驗對原始數據的要求看，它部要求有精確的計量值，可以使用分類數據和順序數據，非參數檢驗的處理方法都基于低精度數據，因而它幾乎可以處理任何類型的數據。從非參數檢驗的效率看，雖然非參數檢驗的計算方法種類繁多，有時對某類數據的算法就有多種，但其表現形式一般比較簡單并易于理解，依照不同類型數據的不同算法，效率也不同。研究表明，非參數的檢驗精度大約是參數檢驗的95%。也就是說，非參數檢驗需要更大的樣本容量來保證所要求的檢驗精度。非參數檢驗的常用方法

擬合優度檢驗K-S檢驗符號檢驗游程檢驗列聯表與的獨立性檢驗第二節單樣本非參數檢驗擬合優度檢驗單樣本K-S檢驗符號檢驗單樣本游程檢驗（二分類）一、擬合優度檢驗（適應性檢驗）分布在參數統計中可用于方差估計檢驗，但在非參數統計領域，它有更加廣泛的應用。在單樣本情況之下，它主要用于檢驗客觀現象是否服從于某種理論分布（稱為吻合性或適應性檢驗），或者檢驗某種理論分布是否正確（稱一致性檢驗或同質性檢驗）。我們將兩者合稱為“擬合優度檢驗”。原假設及備擇假設為：H0:觀察值的頻數Oi與期望（理論）頻數Ei相吻合Hi:觀察值的頻數Oi與期望（理論）頻數Ei不相吻合擬合優度檢驗原理以及計算

類別12….K總和觀測頻數

假設檢驗問題：觀測頻數和理論頻數的差別作為檢驗總體分布和理論分布是否一致的標準，定義Pearson統計量：擬合優度檢驗原理以及計算

如果觀察頻數與設定頻數越接近，則值越小，根據皮爾遜定理，當n充分大時，統計量漸近服從于k-1個自由度的分布。我們可以計算出統計量，判斷有以下兩種方法：依據的分布表，給出所對應的概率值，如果該概率值<給定的顯著水平α，則拒絕Ho，即樣本所屬的總體分布形態與設定的分布存在顯著差異；反之則不能拒絕Ho。依據的分布表，給出α所對應的臨界值，如果統計值>臨界值，則拒絕Ho；反之則不能拒絕Ho。[例12.1]某企業開發了一種新型的食品，初步設想出五種不同的包裝方式（每種包裝方式的含量相同），現欲了解消費者對這些不同包裝方式的偏好是否有差異，經過市場實驗，得到如表12-2所示的銷售數據。

表12-2各種包裝方式的飲料銷售量

單位：瓶包裝方式甲乙丙丁戊合計銷售量3253843203263451700H0：對不同包裝方式的偏好無差異H1：對不同包裝方式的偏好有差異在H0成立之下,應有：E1=E2=E3=E4=E5=1700/5=340故統計量值為：故不拒絕，即不能認為五種不同包裝方式之間銷售有顯著差異。

二、單樣本K-S檢驗單樣本K-S檢驗，也稱Kolmogorov-Smirnov正態性檢驗。K-S檢驗也是一種擬合度檢驗，研究樣本觀測值的分布和設定的理論分布間是否吻合，通過對兩個分布差異的分析確定是否有理由認為樣本的觀測結果來自設定的理論分布總體。假設樣本的經驗分布函數為，定義當時，拒絕零假設。

Ho:H1:[例12.3]某茶葉公司的產品灌裝生產線在灌裝過程中，會出現重量（份量）的偏差。根據質量要求，一定范圍之內的誤差是允許的。質量標準是：平均盒重（凈）500g，允許極限誤差（99.73%的可靠性）為12g。現隨機抽取1000盒產品進行檢驗，結果重量資料如表12-3所示（已分組）。現欲想證明該灌裝生產線所包裝的產品重量是否服從于均值500g，方差為16g的正態分布。表12-3灌裝產品重量的樣本資料按重量分組盒數累計盒數累計頻數按正態分布計算Z值理論累計頻數絕對差異

以下110.001-3.50.00020.0008486-488120.002-3.00.00130.0007488-490460.006-2.50.00620.0002490-49216220.022-2.00.02280.0008492-49447690.069-1.50.06680.0022494-496861550.155-1.00.15870.0037496-4981372920.292-0.50.30850.0165498-5002054970.4970.00.50000.0003500-5022107070.7070.50.69150.0155502-5041418480.8481.00.84130.0067504-506829300.9301.50.93320.0032506-508469760.9762.00.97720.0012508-510189940.9942.50.99380.0002510-51249980.9983.00.99870.0007512-51419990.9993.50.99980.0008以上110001.0004.01.00000.0000合計1000此列原假設H0為：產品包裝凈重服從均值為500g，標準差為4g的正態分布。有關中間過程列在表12-3中。因本例理論分布的總體參數μ與σ均已知，故可計算出每一組上限為止的“理論頻率”。D統計量值為：D=max{|Sn(x)-Fn(x)|}=0.0165查D分布表。因本例n大大超過40，我們采用近似的公式計算臨界值，即：由于D=0.0165<D0.05(1000)=0.04301故不能拒絕H0,即可認為該生產線產品的包裝凈重服從正態分布。三、符號檢驗符號檢驗是一種利用正、負號的數目對某種假設做出判定的非參數檢驗方法。它部要求知道被檢驗量的分布規律，僅依據某種特定的正負號數目多少來對某種假設做出檢驗。常用于檢驗總體的均值、中位數等參數是否為某一數值，或判斷總體分布有無變化。有配對樣本(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)將記為“+”，記為“-”，記為“0”，記P+

為“+”比例，P-

為“-”比例，那么假設檢驗問題：可以用符號秩檢驗。H0:P+=P-

H1:P+=P-[例12.7]某企業生產一種月餅，有A、B兩種口味,為確定哪種口味更加適合消費者青睞，此前特作一次市場研究。經市場實驗，被調查者對兩種月餅的的偏好如表12-6所示。表12-6月餅口味偏愛情況調查表被調查者（評價者）序號更喜歡A口味（+）更喜歡B口味（-）無所謂12345678910√√√√√√√√√√合計721顯然，若評價者對兩種口味無顯著偏好，則+號與-號個數應該是相近的。本例中

n+=7，n-=2，n=9，l=min（n+

，n-）=2，結點舍去，則由二項分布，可計算出“-”號小于等于2的概率P，即

若取顯著性水平為0.1，則拒絕H0

，認為消費者更喜歡A種月餅的口味。四、單樣本隨機游程檢驗隨機性是抽樣調查方案設計中的一條重要原則。但在現實生活中，我們經常會遇到一些非隨機的序列。游程檢驗（也稱連貫檢驗）就是為了檢驗樣本觀察值出現次序的隨機性而發展起來的一種非參數統計方法，有著十分廣泛的應用。例如檢驗股票價格波動的隨機性，檢驗樣本的隨機性，檢驗生產過程是否處于隨機控制狀態等等。如果一個變量的取值只有兩種情況（如記為M與F），即是非標志（若不是“是非標志”，我們可以將之轉化成“是非標志”）。變量值按一定次序出現（即有順序的），則就可能有如下形式的序列：MMM

FFF

M

FF

MM

FF

MFFF

MMM

FFFF所謂游程，就是由同類事物（符號，如M）連續構成的一個子序列，它的前面和后面有另外的事物（符號，如F），或前后根本沒有別的事物。顯然，上面列出的變量值序列就有十個游程。第一個游程是由3個M構成，第二個游程是由3個F構成，第三個游程則由一個M構成，第四個游程由兩個F松成……游程檢驗中最常用的方法是游程個數檢驗。其原假設及備擇假設為：

H0：現象（序列）是隨機的H1：序列是非隨機的[例12.4]在證券價格理論中，有一種叫“隨機漫步”理論，認為股市價格變化是隨機的。人們經常采用游程檢驗來驗證這一理論。設某種股票在過去的38個交易日中價格變動情況如下（+表示價格上升，-表示價格下降）：+++--+---++-+--++++---++++-++--++-+---計算得

n1=20,n2=18,R=18。查游程總數臨界值表，在0.05顯著性水平下，

，，顯然

，即實際序列中游程個數“不多也不少”，故不能拒絕

H0，即認為該股票價格變化是隨機的。第三節列聯表與的獨立性檢驗連列表又稱交互分類表，指抽自某一總體的樣本同時按照兩個或兩個以上標志進行分類，一下以量個分類標志位例。[例]下表是一個由220名飲酒者組成的隨機樣本，對飲酒者進行酒的類型偏好的調查。橫向看，反映了再固定性別的條件下，對白酒與啤酒的偏好；總向看，反映了再固定酒類型的條件下，各性別的人數。性別飲酒偏好合計白酒啤酒男性6050110女性4070110合計100120220直觀看似乎飲酒偏好與性別有關，是這樣嗎？利用統計量可以完成對分類數據或順序數據之間是否獨立的檢驗。建立假設：Ho:兩個分類變量之間獨立（性別與飲酒偏好無關）；H1:兩個分類變量之間不獨立（性別與飲酒偏好有關）計算與列聯表中實際次數相對應的期望次數：每一個條件次數的理論次數即期望次數記作則構建統計量：實際次數與理論預期次數有差異，這是可以用其差值的大小來度量兩個變量相關程度，相差越大，表明HO為真的可能性就越小；反之則HO為真的可能性就越大。為避免差值的正負抵消，可以采用差值的平方和，這就是統計量：檢驗判斷：若則拒絕假設Ho，即認為性別與飲酒偏好有關系；反之則不能拒絕Ho。第四節等級相關分析有時候我們在研究的兩個變量中得到兩組順序數據，如學生的考試成績與老師為學生排出的工作能力大小順序。要研究學生的學習能力與工作能力是否一致，就要用啊等級相關分析。對等級數據的相關性的測度主要用等級相關系數，它是把相關的兩個變量按等級次序排列，形成與兩個等級序列，然后測定與這兩個等級序列之間的相關程度。Spearman等級相關系數學生編號考試總分工作能力排名

13509109112360878-113358686244369747-395378131246395212-117388525-39835410910-11936835324103664642411

合計38

=-Spearman等級相關系數Spearman等級相關系數是歷史上最早（1904）測定兩個樣本相關強度的重要指標，記為：Spearman等級相關系數Spearman等級相關系數檢驗的步驟

1.建立假設：

Ho：兩樣本相關程度無統計意義，即兩樣本不相關

H1：兩樣本相關程度有統計意義，即兩樣本相關

2.計算，差表確定

3.比較

4.若>，則拒絕Ho，兩樣本相關程度有統計意義，兩

樣本相關，學習能力與工作能力有關。反之則學習能力與工作能力無關。第五節兩個相關樣本的非參數檢驗麥克勒瑪檢驗威爾克遜配對符秩檢驗一、麥克勒瑪檢驗基本原理

麥克勒瑪（McNemar）檢驗是適用于研究現象“前后”情況有無顯著變化的一種非參數統計方法。設n個樣本單位在某一條件下（即變化前）的觀察值為第一個樣本（觀察值為“是非標志”），在另一個條件下（即變化后）的觀察值為第二個樣本，則可以得到如表12-4所示的頻數統計表。表12-4麥克勒瑪檢驗頻數表這里，A是前后均為“非”的次數。D為前后均為“是”的次數，B是從“非”變為“是”的次數，C是從“是”變為“非”的次數。顯然，前后情況有無變化，就是指C、B兩格子內次數的變動情況。麥克勒瑪檢驗關心的也正是這一點，故統計假設為：H0：事件在兩個方向上的變化可能性相同

H1：事件在兩個方向上的變化可能性不同變化后變化前010AB1CD[例12.6]某高校欲研究某系學生專業態度的變化情況，以驗證新生入學專業教育的效果。從整個專業的100名新生中隨機抽取80名學生進行態度調查：在剛入校時，記載學生們對所學專業的態度（喜歡或不喜歡），經過一段時間的專業教育，在新生入學后第三個月對這80名學生的專業態度再次作訪問調查，兩次專業態度整理成下表12-5。表12-5大學生專業態度變化頻數統計表入學三個月后的專業態度合計不喜歡喜歡入學初的專業態度不喜歡20（A）40（B）60喜歡6（C）14（D）20合計265480計算卡方統計量值為：

在顯著性水平

0.05時

。因為

故拒絕H0

，認為學生專業態度有明顯變化（即更多的學生培養起了專業興趣）。二、Wilcoxon符號秩檢驗

對稱分布的中心一定是中位數，在對稱分布情況下，中位數不唯一，研究對稱中心比中位數更有意義例：下面的數據中，O是對稱中心嗎？0Wilcoxon符號秩檢驗原理以及性質用表示在絕對值樣本中的秩，反秩由定義。表示的符號，稱為符號秩統計量。Wilcoxon符號秩統計量定義為：首先，設樣本絕對值的順序統計量，如果數據關于0點對稱，那么對稱中心兩側的數據疏密程度應該一樣，整數在取絕對值以后的樣本中的秩應該和負數在絕對值樣本中的秩和相近。

表12-7方案設計效果調查表達式消費者老方案評分新方案評分前后評分差的秩次符號還原后正秩負秩ABCDEFGHIJKLMNOPQRST80708586607090657080608595809250705540908560968876729568767565809088988077806070+5-10+11+2+16+2+5+3+6-5+5-5+5+8+6+30+7+25+20-206.514151.5161.56.5310.56.56.56.56.51310.520121917.517.56.5151.5161.56.5310.56.56.51310.520121917.5-14-6.5-6.5-17.5[例12.8]某房地產公司為了驗證其新的設計方案是否有效，在新設計方案之前與新設計方案之后作了一次對比調查，從消費者中隨機抽取20名進行了解，記錄了他們在設計方案前后對該公司房產產品的評分，如表12-7所示。要求檢驗：

H0：新設計方案有效；

H1

：新設計方案無效。有關中間過程的表12-7所示。Wilcoxon-T統計量值為T=44.5。查表（雙側）:拒絕H0

，即認為設計方案是顯著有效的。第六節

兩個獨立樣本的非參數檢驗曼—惠特尼U檢驗中位數檢驗斯米爾諾夫檢驗雙樣本游程檢驗獨立雙樣本卡方檢驗一、曼—惠特尼U檢驗

這是檢驗兩個獨立樣本是否來自具有相同均值的總體的非參數檢驗方法，又稱秩和檢驗法。它與配對Wilcoxon檢驗相類似，要考慮到每一個樣本中各觀察值所處的次序（秩），故為一種功效較強的檢驗方法。設第一樣本n1個觀察值為xi，i=1,2,…,n2；第二樣本n2個觀察值為xj,j=1,2,…,n2。則其基本步驟為（1）將兩個樣本合并成一個樣本再評秩。可以按升序評秩，也可按降序評秩。若多個觀察點數值相同，則取其平均秩次。（2）計算每個樣本觀察點所得的秩和。記為TR1與TR2。（3）計算U統計量。如果兩個樣本的確抽自同一個總體（H0），則可以設想樣本1所得到的平均秩次與樣本2所得到的平均秩次大致相同。故定義統計量U為：其中（4）查U統計量分布表。若

，則拒絕H0

，認為兩個樣本的均值有顯著差異，即抽自不同的總體。[例12.10]對兩所大學入學新生的智能進行測驗，結果如表12-8所示。現要檢驗這兩所大學新生的智能水平是否有顯著差異。

表12-8兩所大學新生智能抽樣測驗分數甲大學學生編號智能分數乙大學學生編號智能分數12345678910111275818795908665789297868212345678910119097827986879491808488取顯著性水平0.05。則統計假設為：H0：兩校新生智能水平無顯著差異H1：兩校新生智能水平有顯著差異n1=12，n2=11。將這兩個樣本混合之后評秩，結果如表12-9所示。表12-9兩所大學新生智能分數抽樣評秩秩次分數學校秩次分數學校1234567.57.5910.510.512.5657578798081828284868687甲甲甲乙乙甲甲乙乙甲乙甲12.514.514.516.516.51819202122.522.58788889090919294959797乙甲乙甲乙乙甲乙甲甲乙二、中位數檢驗

（一）基本原理

這是檢驗兩個彼此獨立樣本是否來自有相同中位數的總體。由于在社會經濟統計中，我們遇到的變量可能是“定序變量”，若檢驗兩個樣本在該變量值上的“一般水平”（統計平均數）是否相同，采用參數統計中“兩個均值差異性”的檢驗可能行不通，這時可采用中位數檢驗法，因為中位數也是一種平均數。中位數檢驗的原假設及備擇假設為：H

0：兩個獨立樣本來自有相同中位數的總體H

1：兩個獨立樣本來自的有不同中位數的總體[例12.14

]設有兩批不同廠家的燈泡，經質量檢驗，它們的壽命如下（小時）：甲廠家：1208，1406，1250，1622，1326，1414，1500，1480，1251，1262，1365，1462，1518，1610，1285，1382

乙廠家：1428，1579，1325，1328，1685，1476，1490，1588，1442，1578，1369，1479，1465，1672，1587，1592，1581

要求檢驗兩廠該燈泡壽命的中位數是否相同。此例若假定該燈泡的壽命服從正態分布，則就可用參數統計中的t檢驗法進行檢驗。我們現在采用中位數法進行檢驗。由所給資料可計算知，n1=16,

n2=17,混合中位數的中數為Me=1465小時。則x（甲廠燈泡壽命超過混合中位數的個數）為5，y（乙廠燈泡壽命超過混合中位數的個數）為11。于是可計算出累積的一伴隨概率為：顯然，P<α=0.01。故我們認為兩個廠的燈泡壽命中位數顯著不同。三、斯米爾諾夫檢驗

（一）基本原理這是在柯爾莫洛夫檢驗（單樣本，見第二節）的基礎之上推廣到兩個獨立樣本之間的比較，判斷兩個總體分布是否相等的方法。有時也稱K-S雙樣本檢驗。第一個樣本有n

1個觀察值，隨機抽自某一分布函數為F

(

x

)(但未知具體形式)的總體，第二個樣本有n

2個觀察值，隨機抽自另一分布函數為G

(

y

)(也未知其具體形式)的總體。現要通過兩個樣本的比較，對以下假設進行檢驗H

0

:

F

(

x

)

=G

(

y

),即兩總體分布相同（-∞<x

,

y<∞）H

1

:

F

(

x

)

≠G

(

y

)，即兩總體分布不同（-∞<x

,

y<∞）[例12.16]設男、女兩類消費者對某餐廳風味的評分（10分制）資料如下表12-11所示。現欲知兩類消費者的評分分布是否相同。表12-11男、女兩類消費者的評分男消費者評分女消費者評分序號評分序號評分123456789101112138．010．09．09．08．59．57．57．08．56．56．09．56．0123456789101112137．56．56．06．07．58．08．59．08．56．57．09．09．5先將上述樣本資料混合編制單項式分布數列，如表12-12所示。表12-12斯米爾諾夫檢驗計算過程故不拒絕

H0，即認為男女兩類消費者對該餐廳風味的評分分布沒有顯著差異。按評分值分組消費者人數累計人數累計頻率（經驗分布）偏差男女男女男女6.06．57．07．58．08．59．09.510．021111222122121221023456810121324578101213130.1538460.2307690.3076920.3846150.4615380.6153850.7692310.9230771.0000000.1538460.3076920.3846150.5384620.6153850.7692310.9230771.0000001.0000000.0000000.0769230.0769230.1538410.1538470.1538460.1538460.0769230.000000合計1313四、雙樣本游程檢驗

（一）基本原理和和步驟

這是單樣本游程檢驗的推廣，用來檢驗兩個獨立樣本是否有相同的總體分布，也稱“瓦爾德-沃夫維茨”的檢驗（Wals-Wolflwitz檢驗，簡記W-W游程檢驗）。其基本步驟如下：

（1）將兩個樣本的觀察值混合，并按大小順序從小到大排列。并以符號

表示第一樣本的元素，以符號y表示第二樣本的元素。

（2）計算

，y序列中的游程總數，方法與單樣本游程檢驗完全相同。（3）查游程總數檢驗臨界值表。在單樣本情況下，游程個數太多太少都表示

不成立。但在雙樣本情況之下，游程個數越多，表示兩個樣本值的混合越理想，

越不能拒絕。故此時要查游程總數檢驗的下限臨界值

。若

，則拒絕

，認為游程個數太少，從而兩個樣本來自不同的總體。值得指出的是，當

或

超過20時，可用正態分布來檢驗。

[例12.17]假設要比較兩個醫院滿月新生兒重量是否有顯著差異，從兩個醫院抽得的滿月新生兒重量分別為（單位：KG）：

醫院1：4.975.214.304.785.094.834.525.344.904.94醫院2：4.884.555.364.434.934.705.284.535.464.954.98要求檢驗這些新生兒的重量分布是否來自同一總體（或來自有相同分布函數的兩個總體）。先將上述兩組數據混合排序，并在第二樣本的數據之下劃一橫線：4.304.434.524.534.554.704.784.834.884.904.934.944.954.974.985.095.215.285.345.365.46可見，游程總個數R=14。由所給得游程總數臨界值（下限）為

，因為

，故不否定

，認為兩個總體有相同的分布。五、獨立雙樣本卡方檢驗

該法是單樣本卡方檢驗的推廣，也是列聯表分析的應用。主要用于檢驗兩個彼此獨立的樣本的頻率分布是否有差異，或是行變量與列變量之間是否具有相關性。檢驗步驟如下：

（1）獨立隨機抽取兩個樣本，將全部可能觀察值進行分組，得到如表12-13所示的頻數資料（分布數列）。表12-13樣本頻數分布樣本觀察值…合

計樣本1頻率樣本2頻率…合

計…（2）計算期望頻數。若兩個樣本對應于具體觀察值的出現概率是相同的（即

為真，兩個總體無差異），則在實際的調查中，全部n個樣本單位中屬于第i樣品的估計概率為

，全部n個樣本單位中，出現第j個觀察結果的估計概率應為

。按聯合概率，即可推知在全部的n個單位中，出現上述表格每一格子中的期望次數

為：（3）計算卡方統計量：（4）作檢驗。若，則拒絕

，認為兩個總體有顯著差異。[例12.18]某市場研究公司對某國際體育產品公司生產的A、B兩種品牌產品的消費群進行了一次體育節目收視情況調查，以了解他們喜歡收看哪些體育節目，從而為該企業提供選擇廣告時段的參考資料。調查結果如表12-14所示。表12-14樣本中A、B兩品牌消費者觀看不同電視節目的人數電視節目