第三章統(tǒng)計(jì)資料的數(shù)量分布特征分析常用的統(tǒng)計(jì)值和分布統(tǒng)計(jì)調(diào)查所得原始數(shù)據(jù)經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分組并整理成為頻數(shù)分布后，原始數(shù)據(jù)的數(shù)量分布基本呈現(xiàn)在分部的類型和特點(diǎn)上。頻數(shù)分部所反映的只是這些數(shù)據(jù)大概的分布形狀，要進(jìn)一步描述和刻畫其分布的數(shù)量特征，就需要計(jì)算一些反映原始數(shù)的集中趨勢(shì)和離散趨勢(shì)的代表值。若所描述的數(shù)據(jù)就是所觀察和研究的總體，則這些數(shù)量值稱為參數(shù)；若所描述的數(shù)據(jù)只是總體中隨機(jī)抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本，則這些數(shù)量代表值稱為統(tǒng)計(jì)量。一、集中趨勢(shì)集中趨勢(shì)是指一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向，測(cè)度集中趨勢(shì)也就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。取得集中趨勢(shì)代表值的方法通常有兩種：一是從總體各單位變量值中抽象出具有一般水平的量，這種平均數(shù)稱為數(shù)值平均數(shù)。數(shù)值平均數(shù)有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)等形式。從數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布看，通常是接近平均數(shù)的觀察值居多，遠(yuǎn)離平均數(shù)的觀察值少，所有觀察值以平均數(shù)為中心，左右兩側(cè)分布的觀察值數(shù)大體相等，所以平均數(shù)反映了觀察值分布的集中趨勢(shì)，它是評(píng)述分布的重要特征值。二是先將總體各單位的變量值按一定順序排列，然后取某一位置的變量值來(lái)反映總體各單位的一般水平，把這個(gè)特殊位置上的數(shù)值看作是平均數(shù)，稱作位置平均數(shù)。位置平均數(shù)有眾數(shù)、中位數(shù)、四分位數(shù)等形式。1、算數(shù)平均值（簡(jiǎn)單算數(shù)平均數(shù)、加權(quán)算數(shù)平均數(shù)）

簡(jiǎn)稱均值，總體均值用“”表示，樣本均值用“”表示。應(yīng)用條件：適用于對(duì)稱分布尤其是正態(tài)分布。當(dāng)變量值個(gè)數(shù)較少，其頻數(shù)分布基本對(duì)稱或從專業(yè)上可判斷其總體為正態(tài)、近似正態(tài)者，也可使用均值。計(jì)算：集中趨勢(shì)之?dāng)?shù)值平均數(shù)例1.測(cè)定某廢水樣品中的含鉻量，10次測(cè)定結(jié)果分別為0.92、0.83、0.82、0.91、1.06、0.88、1.07、0.84、1.01、0.96mg/L，求平均測(cè)定值。簡(jiǎn)單算數(shù)平均數(shù)：數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望：離散型隨機(jī)變量的一切可能的取值xi與對(duì)應(yīng)的概率P(=xi)之積的和稱為的數(shù)學(xué)期望。它描述隨機(jī)變量取值的平均特征，它是簡(jiǎn)單算術(shù)平均的一種推廣，它是一種加權(quán)平均。

加權(quán)平均數(shù):當(dāng)觀察值較多，或分過組的頻數(shù)表資料，用下式xk為各組觀察值或組中值，f1表式第一組觀察值的個(gè)數(shù)（頻數(shù)），k表示組數(shù)。例2.某市區(qū)大氣中SO2濃度如下，計(jì)算其平均濃度。SO2濃度分組（mg/m3）組中值（xi）個(gè)數(shù)（fi）xifi0.42~0.460.4431.320.46~0.500.4852.400.50~0.540.5294.680.54~0.580.5631.680.58~0.620.6053.00合計(jì)-2513.08（mg/m3）2.調(diào)和平均數(shù)各觀察數(shù)值倒數(shù)的均值的倒數(shù)稱為倒數(shù)平均數(shù)，用H表示。計(jì)算調(diào)和平均數(shù)有直接法和加權(quán)法。

調(diào)和平均數(shù)特點(diǎn):a．調(diào)和平均數(shù)易受極端值的影響，且受極小值的影響比受極大值的影響更大。b．只要有一個(gè)變量值為零，就不能計(jì)算調(diào)和平均數(shù)。c．當(dāng)組距數(shù)列有開口組時(shí)，其組中值即使按相鄰組距計(jì)算了，假定性也很大，這時(shí)，調(diào)和平均數(shù)的代表性就很不可靠。d．調(diào)和平均數(shù)應(yīng)用的范圍較小。3.幾何平均數(shù)（直接法、加權(quán)法）n個(gè)觀察值的連成積的n次方根，常以G表示。應(yīng)用條件：對(duì)數(shù)正態(tài)分布或近似對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料；等比級(jí)數(shù)資料。數(shù)據(jù)10、10、20、20、40、80、160、320計(jì)算均值！算數(shù)均值為82.5——幾何平均數(shù)為60，很好的代表性。

式中：G代表幾何平均數(shù)，代表連乘符號(hào)與算術(shù)平均數(shù)一樣，當(dāng)資料中的某些變量值重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，相應(yīng)地，簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)就變成了加權(quán)幾何平均數(shù)。

式中：fi代表各個(gè)變量值出現(xiàn)的次數(shù)注意：觀察值中不能有0；觀察值不能同時(shí)有正值和負(fù)值，若觀察值全是負(fù)值，計(jì)算式可先去掉負(fù)號(hào)，得出結(jié)果后再加上負(fù)號(hào)。4.眾數(shù)（Mode）在一組觀察值中重復(fù)次數(shù)最多的數(shù)值稱為眾數(shù)，常用M0表示。4.1直接由原始數(shù)據(jù)確定眾數(shù)例3.一組樣本的觀察值為15、16、18、18、17、16、18、19、18、21，求眾數(shù)。本例重復(fù)出現(xiàn)最多的觀察值是18，因此本組觀察值的眾數(shù)M0=18集中趨勢(shì)之位置平均數(shù)4.2由組距式頻數(shù)表求眾數(shù)對(duì)于組距式頻數(shù)表資料，首先確定頻數(shù)最多的一組為中書所在組，然后按下式計(jì)算眾數(shù)的近似值。式中：L——眾數(shù)所在組下限；Δ1——眾數(shù)所在組次數(shù)與其下限的鄰組次數(shù)之差；Δ2——眾數(shù)所在組次數(shù)與其上限的鄰組次數(shù)之差；i——眾數(shù)所在組組距。例4.煉鋼企業(yè)耗水量資料如下表，試求其眾數(shù)。煉鋼噸耗水量（t）企業(yè)數(shù)10~20120~40240~60460~801580~10020100~1205120~1403合計(jì)50本例頻數(shù)最多的組（即眾數(shù)所在組）的頻數(shù)是20，即80~100組段，因此，L=80，i=20，Δ1-20-15=5，Δ2=20-5=15，計(jì)算得5.中位數(shù)在全部觀察值中，有一半比它大，一半比它小。將全部觀察值按大小順序排列，位次居中的那個(gè)數(shù)值就是中位數(shù)，用M表示。5.1直接由原始數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)首先將觀察值按大小排序。再計(jì)算中位數(shù)。5.2用頻數(shù)表計(jì)算中位數(shù)由組距數(shù)列確定中位數(shù)，應(yīng)先按的公式求出中位數(shù)所在組的位置，然后再按下限公式或上限公式確定中位數(shù)。式中：Me——中位數(shù)；L——中位數(shù)所在組下限；U——中位數(shù)所在組上限；fm——為中位數(shù)所在組的次數(shù)；——總次數(shù)；d——中位數(shù)所在組的組距；Sm–1——中位數(shù)所在組以下的累計(jì)次數(shù)；Sm+1——中位數(shù)所在組以上的累計(jì)次數(shù)。例5.求50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)。

例5.某企業(yè)50名工人加工零件中位數(shù)計(jì)算表由表5–8可知，中位數(shù)的位置=50/2=25，即中位數(shù)在120～125這一組，L=120，Sm–1=16，U=125，Sm+1=20，fm=14，d=5，根據(jù)中位數(shù)公式得：或中位數(shù)特點(diǎn)：中位數(shù)是以它在所有標(biāo)志值中所處的位置確定的全體單位標(biāo)志值的代表值，不受分布數(shù)列的極大或極小值影響，從而在一定程度上提高了中位數(shù)對(duì)分布數(shù)列的代表性。有些離散型變量的單項(xiàng)式數(shù)列，當(dāng)次數(shù)分布偏態(tài)時(shí)，中位數(shù)的代表性會(huì)受到影響。缺乏敏感性。眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系

算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)之間的關(guān)系與次數(shù)分布數(shù)列有關(guān)。在次數(shù)分布完全對(duì)稱時(shí)，算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是同一數(shù)值，見圖1；在次數(shù)分布非對(duì)稱時(shí)，算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)不再是同一數(shù)值了，而具有相對(duì)固定的關(guān)系。在尾巴拖在右邊的正偏態(tài)（或右偏態(tài)）分布中，眾數(shù)最小，中位數(shù)適中，算術(shù)平均數(shù)最大，見圖2；在尾巴拖在左邊的負(fù)偏態(tài)（或左偏態(tài)）分布中，眾數(shù)最大，中位數(shù)適中，算術(shù)平均數(shù)最小，見圖3。圖1圖2圖3三者比較：眾數(shù)和中位數(shù)是一種位置代表值，不受極端值的影響，但不適于進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算，應(yīng)用不如算術(shù)平均數(shù)廣泛。算術(shù)平均數(shù)的含義通俗易懂，直觀清晰；全部數(shù)據(jù)都要參加運(yùn)算，因此它是一個(gè)可靠的具有代表性的量；任何一組數(shù)據(jù)都有一個(gè)平均數(shù)，而且只有一個(gè)平均數(shù)；用統(tǒng)計(jì)方法推斷幾個(gè)樣本是否取自同一總體時(shí)，必須使用算術(shù)平均數(shù)；具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，適合于代數(shù)方法的演算。算術(shù)平均數(shù)是實(shí)際中應(yīng)用最廣泛的集中趨勢(shì)測(cè)度值。缺點(diǎn)是最容易受極端值的影響；對(duì)于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，算術(shù)平均數(shù)的代表性較差；資料有開口組時(shí)，按相鄰組組距計(jì)算假定性很大，代表性降低。二、離散趨勢(shì)離散趨勢(shì)指總體各單位標(biāo)志值差異的程度或樣本觀察值之間參差不齊的程度。集中趨勢(shì)和離散趨勢(shì)是反映線性數(shù)量分布規(guī)律性的兩個(gè)方面。例6.有3組觀察值，A組：16，18，20，22，24B組：14，17，20，23，26C組：16，19，20，21，24三組的均值都是20，但3組的5個(gè)數(shù)據(jù)間的參差不齊的程度（變異度）明顯不同。一般來(lái)講，數(shù)據(jù)分布越分散，變異指標(biāo)越大，平均指標(biāo)的代表性越??；數(shù)據(jù)分布越集中，變異指標(biāo)越小，平均指標(biāo)的代表性越大。常用的變異指標(biāo)有：全距、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)。1.極差（Range）又稱全距，以R表示。它是一組觀察值中最大值和最小值之差。是反應(yīng)數(shù)據(jù)離散或差異程度最簡(jiǎn)單的測(cè)度值，極差大，說明變異程度大；極差小，說明變異程度小。R＝最大標(biāo)志值－最小標(biāo)志值優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算方便，容易理解缺點(diǎn)：不能反映組內(nèi)其他數(shù)據(jù)的變異度，如例6，A組數(shù)據(jù)比C組數(shù)據(jù)更為分散，但他們極差相等。抽樣調(diào)查時(shí)，抽取的單位數(shù)越多，抽到較大值或較小值得可能性就越大，因而極差也越大，當(dāng)各族資料樣本容量相差懸殊時(shí)，不宜用極差比較其變異度。2.方差（Variance）與標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation），是測(cè)度數(shù)據(jù)變異程度的最重要、最常用的指標(biāo)。2.1總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的平均數(shù)，通常以σ2表示。方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差（σ），其相應(yīng)的計(jì)算公式為：：離均差2.2樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差引入原因：實(shí)際工作中，通常掌握的是樣本資料，總體均值μ往往未知，而樣本均值可通過觀察值計(jì)算得到，因此常用樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì)總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差。樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：式中n-1在統(tǒng)計(jì)上稱為自由度。數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究證明，當(dāng)時(shí)，總是小于，用樣本容量N作分母算得的樣本方差總比總體方差偏小，而用n-1作分母算得的樣本方差是總體方差更好的估計(jì)值。是指能夠自由取值的變量值的個(gè)數(shù)對(duì)于頻數(shù)表資料，用加權(quán)法計(jì)算：式中：fi為相同觀察值或各組段的頻數(shù)；xi為相同的觀察值或組中值；k為組數(shù)例7.考察一臺(tái)機(jī)器的生產(chǎn)能力，利用抽樣程序來(lái)檢驗(yàn)生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品質(zhì)量，假設(shè)搜集的數(shù)據(jù)如下：根據(jù)該行業(yè)通用法則：如果一個(gè)樣本中的14個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)的方差大于0.005，則該機(jī)器必須關(guān)閉待修。問此時(shí)的機(jī)器是否必須關(guān)閉？解：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，計(jì)算因此，該機(jī)器工作正常。★方差和標(biāo)準(zhǔn)差的作用（1）反映變量分布的離散趨勢(shì)。觀察值的變異是由于個(gè)體變異和隨機(jī)誤差引起的。當(dāng)個(gè)體變異比隨機(jī)誤差大的多時(shí)，訪查和標(biāo)準(zhǔn)差主要反映事物本身的變異；當(dāng)隨機(jī)誤差比個(gè)體變異大的多時(shí)，訪查和標(biāo)準(zhǔn)差主要反映測(cè)量精密度，如用某法重復(fù)測(cè)定同一水樣中含鉛量所得方差或標(biāo)準(zhǔn)差，主要反映該方法或操作技術(shù)之精密度。標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明測(cè)定的精密度越高。（2）標(biāo)準(zhǔn)差還用于計(jì)算變異系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)誤，標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合均值和正態(tài)分布理論有其他非常重要的作用等等2.3變異系數(shù)（CoefficientofVariation）上面介紹的各離散程度測(cè)度值都是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕對(duì)值，其數(shù)值的大小一方面取決于原變量值本身水平高低的影響，也就是與變量的均值大小有關(guān)。變量值絕對(duì)水平越高，離散程度的測(cè)度值自然也就越大，絕對(duì)水平越低，離散程度的測(cè)度值自然也就越??；另一方面，它們與原變量值的計(jì)量單位相同，采用不同計(jì)量單位計(jì)量的變量值，其離散程度的測(cè)度值也就不同。因此，對(duì)于平均水平不同或計(jì)量單位不同的不同組別的變量值，是不能直接用上述離散程度的測(cè)度值直接進(jìn)行比較的。為了消除變量值水平高低和計(jì)量單位不同對(duì)離散程度測(cè)度值的影響，需要計(jì)算離散系數(shù)。變異系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)計(jì)算的，因此，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)，其計(jì)算公式為：

Vσ和Vs分別表示總體變異系數(shù)和樣本變異系數(shù)。

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度.一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義有,使得對(duì)任意實(shí)數(shù),

對(duì)于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),

二、概率密度的性質(zhì)1o2of(x)xo面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某r.