復習組合數計算公式

一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號表示一、有限制條件的（至少至多）組合問題：例1、按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當選；（2）甲、乙、丙三人不能當選；（3）甲必須當選，乙、丙不能當選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當選；練習：1、在200件產品中，有2件次品，從中任取5件；（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少種？（2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少種？（3）“其中沒有次品”的抽法有幾種？（4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少種？二、元素交叉問題513AB例2、某出旅行社有9名導游，其中有5人只會英語，3人只會日語，還有1人既會英語又會日語，現從這9人中選出3人會英語，2人會日語，有多少種不同的選法？某歌舞團有7名演員，其中3名會唱歌，2名會跳舞，2名既會唱歌又會跳舞，現在要從7名演員中選出2人，一人唱歌，一人跳舞，到農村演出，問有多少種選法？練習：232BA例3、平面內有10個點,以其中每2個點為端點的線段共有多少條?以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條?練習:(1)凸五邊形有多少條對角線？(2)凸n邊形有多少條對角線？三、幾何問題練習：（1）平面內有12個點,有5個點在一條直線上,其余無3點共線，①能連成多少條直線?②能組成多少個三角形?（2）以正方體的頂點為頂點作四面體,共有多少個？(3)以一個正三棱柱的頂點為頂點的四面體,共有多少個?引例：（1）2個不同的蘋果平均分成兩堆，有幾種分法？（2）4個不同的蘋果平均分成兩堆，有幾種分法？（3）3個不同的蘋果平均分成三堆，有幾種分法？（4）4個不同的蘋果分成三堆，有幾種分法？平均分給兩個人呢？平均分給兩個人呢？平均分給三個人呢？分給三個人呢？四、分組（堆）問題：例4：六本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法？（1）分為三份，每份兩本；（3）分為三份，一份一本，一份二本，一份三本。（4）分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本。均勻分組問題不均勻分組問題分組問題(分堆的，與次序無關)分配問題(分人的，與次序有關)（2）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；練習：（1）將四個不同的小球分給甲、乙兩人，每人兩個，有多少分法？（2）將四個不同的小球分成兩組，每組兩個，有多少種分法？（3）將四個小球分成兩組，一組三個，一組一個，有多少分法？（4）將四個小球分給甲乙兩人，一人三個，一人一個，有多少分法？練習:4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放到盒子中（1）共有多少種放法（2）恰有一個盒子不放球共有多少種放法？例5、有10個三好生名額，分配到高三年級6個班，每班至少1個名額，共有多少種不同的分配方案？變式：有編號為1，2，3的三個盒子，將20個完全相同的小球放在盒子中，要求每個盒子中球的個數不小于它的編號數，則共有多少種不同的分配方案？五、相同元素分配問題（名額問題）隔板法：待分元素相同，去處不同，每處至少一個。六、先組后排例6、從6名男生和4名女生中，選出3名男生和2名女生分別承擔A,B,C,D,E五項工作，一共有多少種不同的分配方法？歸納：選排問題先取后排。對于排列組合的混合應用題，一般解法是先取(組合)后排(排列)。練習

6個學生中選出3人，另外從3名教師中選出2人，排成一排照相，有幾種不同的排法？變題1、上題中的2名教師不排在一起的排法有幾種？變題2、上題中的2名教師連排，而學生也連排，有幾種排法？插空法捆綁法例7:身高互不相同的7名運動員站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列的排法有多少種？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？

按指定的一種順序排列的問題，實質是組合問題。練習：某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又加了兩個新節目，如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同的插法有多少？例8、10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意抽取4只，試求滿足以下條件的各有幾種取法？(1)4只鞋子沒有成雙；(2)4只鞋子恰好成雙；(3)4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙小結：解條件限制下的問題與排列問題類似有二種常用方法，即直接法與間接法；解