欠驅動水面船路徑跟蹤控制系統的反演自適應動態滑模控制

由于缺少傾斜控制（usv）船的路徑或路徑跟蹤，系統的弱點是沒有驅動功能。許多非線性解決方法不能直接應用到欠驅動控制中,數學模型存在不可積的二階非完整約束,不能被反饋線性化;USV的運動和動力模型具有強非線性、耦合性和不確定性。與軌跡跟蹤相比,目前路徑跟蹤方面的研究較少。USV的路徑跟蹤問題常采用2種方式來解決:一是把它當作軌跡跟蹤問題來處理;二是針對路徑跟蹤誤差動力學模型進行合適的變換,將跟蹤控制問題簡化為鎮定控制問題。后一種方式常利用Serret-Frenet坐標系來生成誤差動力學模型。Encarnacao等討論Serret-Frenet坐標系下,船舶受到恒定方向海流干擾影響時的路徑跟蹤問題,所設計的控制器能跟蹤直線或是圓形路徑。Skjene等借助Serret-Frenet坐標系下的運動學模型變換以及動力學模型的線性化處理,提出一種路徑跟蹤控制器。在文獻的基礎上,Do等設計一種輸出反饋控制律,并證明該控制律能保證USV在干擾力影響下的收斂性。但是該方法需要進行狀態變換,易引起奇異性,從而導致路徑跟蹤系統不全局穩定。Zhen等針對簡化后的線性模型,基于Backstepping法和Lyapunov直接法設計路徑跟蹤控制器,并進行試驗驗證。但模型過于簡單,設計中忽略船舶艏搖運動非線性因素的影響。針對上述文獻存在的問題和欠驅動水面船路徑跟蹤控制系統的特點,經過簡化分析,將欠驅動系統的路徑跟蹤問題變為非線性系統的鎮定問題。基于簡化后的數學模型,將自適應技術同Backstepping設計法相結合,采用動態滑模控制方法(DSMC),提出一種反演自適應動態滑模控制器。設計過程證明該控制器能保證路徑跟蹤系統的全局漸近穩定性。該方法的優點是控制器對模型改變、建模誤差和環境干擾力等不確定性影響不敏感,具有良好的自適應能力和魯棒性能。1船舶路徑跟蹤誤差運動學建模分析假設慣性、阻尼矩陣皆為定常對稱矩陣;忽略垂蕩、縱搖和橫搖的影響,即只考慮船在水平面內的運動,則船舶的運動和動力學模型可描述為其中:ψ為船舶艏向角;u,υ和r分別表示在隨船坐標系中船的縱向、橫向和偏航(角)速度;縱向力Fu和偏航力矩Tr是僅有的控制輸入,mii和dii分別是船的慣性和阻尼參數矩陣在隨船坐標系3個坐標軸上的分量,均假設為正常數。由于式(1)的υ-方程中沒有橫向控制輸入,因此該船具有欠驅動性。船舶在Serret-Frenet坐標系下的路徑跟蹤示意圖,如圖1所示。圖1中,{SF}表示Serret-Frenet坐標系;{I}表示慣性坐標系;{B}表示隨船坐標系。C是預先設定的參考路徑;坐標系{SF}的原點M是船舶重心G在C上的正交投影,s是C上任意一點與M點之間的距離,xt,xn分別是M點的單位切向、法向向量。ψSF為xt與坐標軸X之間的夾角;ze表示{SF}系原點M同{B}系原點G之間的距離。基于Serret-Frenet方程,船舶路徑跟蹤誤差運動學方程可描述為:其中:ψe=ψ-ψSF表示橫側偏差;κ(s)為給定路徑的曲率。船舶在開闊海域內航行時,其路徑跟蹤問題可簡化為跟蹤直線、或是分段直線路徑,因此進一步假設κ(s)=0。則艏向誤差動力學方程可簡化為為便于控制系統設計,假設u是正常量。實際控制中,經常采用獨立的速度控制器來保證船舶的縱向速度,因此將u假設為正常量是合理的。另外,在船實際操縱中,υ相對于其他自由度的運動量來說是小量。因此,假設υ很小,可以忽略不計,即υ=0。另外,由式(1)可知,偏航力矩Tr是艏搖運動r的控制輸入。實際中對多數船舶來說,偏航力矩Tr是通過對舵角δ的控制來實現的。且在船舶自動舵的設計中,航向操縱系統常采用一階非線性艏搖響應方程。根據上述分析,考慮存在建模誤差和環境干擾力等不確定性的影響,則USV路徑跟蹤的數學模型為其中:T,K為操縱性參數;α為非線性項系數;δ為舵角;F為建模誤差Δ和未知環境干擾力ω不確定性影響的總和,即假設不確定性的上界為且F為慢變過程,即經上述簡化分析,將欠驅動船舶的路徑跟蹤問題,轉變為非線性系統(見式(5))的鎮定控制問題。顯然,欠驅動船舶路徑跟蹤的控制目標是設計控制器驅使收斂到0,即針對系統(式(5))設計一種反饋控制律δ以保證系統是全局漸進穩定的。2lyapunov穩定性理論為便于控制器設計,首先對系統(式(5))做如下的全局坐標變換,并令a1=-1/T,a2=-α/T,其中:k為正常數。將坐標變換(式(6))代入系統(式(5)),得到一個新的系統定理1:考慮系統(式(7)),如果選擇控制律δ使得x1全局漸進穩定,那么也能保證原系統狀態(ze,ψe)全局漸進穩定。從而系統(式(7))是最小相位內部穩定系統。證明:從式(7)可得:構造與式(7)等價的非線性系統其中:ξ1=x1,ξ2=x2;ζ表示系統輸出。顯然,式(9)的相對階為2,且當控制律δ使得x1(即1ξ)全局收斂到0時,其零動態為定義Lyapunov預選函數為為Vz對時間求導,可得由Lyapunov穩定性理論易知:ze是全局漸進穩定的。從而系統(式(7))是最小相位內部穩定系統。同時由式(8)可知:當x1全局收斂到0時,有:即,當ze全局漸進穩定時,ψe也具有全局漸進穩定性。定理1得證。由上述分析可知,欠驅動系統(式(7))可簡化為如下全驅動系統,因此欠驅動系統(式(5))的控制問題,可簡化為全驅動系統(式(12))的控制問題。該系統是具有下三角結構特性的非線性系統,可以進行反步設計。2.1lyapunov意義下的全局指數穩定性在非線性控制系統中,滑模變結構控制方法獲得廣泛的應用,但其不可避免地存在“抖振”問題。作為一種消除“抖振”的有效方法,動態滑模控制被應用到移動機器人、并聯機器人、機械臂等非線性系統中。下面利用反步方法,基于動態滑模控制理論,結合自適應技術,進行控制器設計。考慮系統(式(12))的子系統定義Lyapunov預選函數為:將V1對時間求導,可得:把x2看作式(13)的虛擬控制輸入,設計反饋控制律其中:k1為正常數。將式(16)代入式(15),整理可得:即,在控制律(式(16))的作用下,式(13)是全局指數穩定的。然而x2不是實際的控制輸入,定義誤差變量:將式(18)代入式(15),重新整理可得:則系統(式(12))可重寫為:其中:為未知不確定項F的估計值。選取一階動態滑模控制的切換函數為:其中:c1為正常數。由式(22)和式(20)的第1式可得:將V2對時間求導,并將式(23)代入,整理可得:對式(22)求導,令輔助控制項v=δ&,可得:定義Lyapunov預選函數為:將V3對時間求導,可得:為使系統從任意初始狀態出發到達S的時間是有限的,且為全局到達,選取到達律為:其中:ks和ws為正常數,sgn(x)是符號函數。由式(28)得,選取動態滑模控制律v為:將式(29)代入式(27),可得:設計F的自適應律為:將式(31)代入式(30),則有:選取k,k1,c1,ks和ws為正常數,則有3V&≤0成立,即在動態滑模控制律(式(29))和自適應律(式(31))的作用下,系統(式(20))是Lyapunov意義下全局指數穩定的。從而保證了系統(式(12))的全局指數穩定性。由定理1可證,原系統(式(5))狀態(ze,ψe,r)皆能全局漸進收斂到0。2.2狀態控制律設計假設不確定性項F=0。定義Lyapunov預選函數為:將V4對時間求導,并將(式(20))的第2式代入,可得:為使設計狀態反饋控制律為:其中:k2為正常數。將控制律(式(35))代入式(34),則有:顯然,在控制律(式(35))的作用下系統(式(12))的系統輸出x1和x2將全局指數收斂到0,即原系統(式(5)狀態(ze,ψe,r)是全局漸進穩定的。2.3全局漸進形成原理由上述反步設計過程和Lyapunov穩定性理論可知,通過逐步迭代設計Lyapunov函數使系統指數漸近穩定,最終實現對原系統的全局漸近鎮定。同時,根據滑模控制理論,可證明漸近穩定的系統能在有限時間內到達滑模表面,從而保證整個系統的穩定性。因此,結論如下:定理2:考慮存在不確定性影響下的控制系統(式(12)),在動態滑模控制律(式(29))和自適應律(式(31)的作用下,可保證系統(式(12))是全局指數穩定的。這實現了對欠驅動船舶路徑跟蹤控制系統(式(5))的全局漸進鎮定。證明:由2.1節的設計過程得證。在前面的控制系統分析中,假設縱向速度u為常量;同時忽略橫向運動υ的影響。實際上船舶在機動過程中會有一定的速度損失,且橫向速度υ會有一定的變化。在考慮橫向運動和縱向運動影響時,USV路徑跟蹤的數學模型可描述為在考慮橫向運動時,橫向運動系統υ是有界輸入有界輸出穩定的(BIBO)。證明:定義如下預選Lyapunov函數:將V5對時間求導,并把式(37)的第2式代入,可得:由式(39)可知:如果V5是遞減函數,則υ也是遞減函數,式(40)表明當|d22υ|>|m11ur|時,V5是遞減函數。定理2可知:u,r有界,這決定υ具有一個有限的上界m11ur/d22。定理3:在狀態反饋控制律(式(35))的作用下,系統(式(12))是全局指數漸近穩定,即保證USV路徑跟蹤控制系統的全局漸近穩定性。證明:由2.2節和2.3節的設計過程得證。3控制律2控制參數選擇本節進行仿真對比試驗以驗證所提控制器的有效性。USV船模的具體參數如下:m11=200kg,m22=250kg,m33=80kg·m2,d11=70kg/s,d22=100kg/s,d33=50kg·m2/s,K=1,T=2,α=.05。仿真中初始狀態全取為:x0=0,y=0,ψ0=0,u0=2m/s,υ0=0,r0=0;考慮舵角的機械飽和限制條件:-30°≤δ≤+30°。仿真中反演自適應動態滑模控制器稱為控制律1,反演控制器稱為控制律2。控制律1控制參數選為:k=0.1,k1=0.1,c1=0.3,ks=0.01,ws=0.01;控制律2控制參數選為:k=0.1,k1=0.1,k2=1。首先,將控制律1分別應用于簡化模型即系統(式(5)),非簡化模型即系統(式(37)),進行仿真對比試驗,非簡化模型時的推力設為常值Fu=140N以維持航速,仿真結果如圖2所示。從圖2可見:控制律1在2種模型中均使USV快速地跟蹤上期望軌跡,路徑跟蹤偏差幾乎是勻速衰減,運動軌跡和航向偏差輸出光順、無振蕩,但在非簡化模型下有輕微的超調。這說明反演自適應動態滑模控制器具有良好的自適應性和魯棒性能。圖2列出采用非簡化模型時的速度響應曲線,橫向速度和縱向速度的變化非常小。上述分析表明:對于系統的簡化處理是可行的。圖2中舵角輸出沒有出現“抖振”現象,即該方法有效地削弱滑模控制的“抖振”問題。以下仿真中,設定與角加速度同量級的不確定性輸入:即建模誤差為Δ=2sin(2πt),外界干擾力為ω=±2(°)/s2的正態白噪聲。2種控制律在不同模型下的仿真對比試驗結果,如圖3和4所示。從圖3可見:2種控制律均能保證USV迅速地收斂到期望軌跡,控制效果相似。但控制律2有一定的超調,且艏向誤差較大。從圖3和4可見:控制律1的舵角輸很光順、無振蕩,具有較強抑制干擾的能力。由圖4可見:雖然USV的數學模型發生改變,但在2種控制律作用下,USV依然能收斂到設定軌跡。同控制律2相比,控制律1的收斂更快、超調較小;控制律1的舵角輸出較光順、振蕩小、沒有出現滿舵現象,可見控制律1仍具有良好的控制性能。仿真對比結果表明:反演自適應動態滑模控制器對系統模型改變和外界