2022年安徽省中小學教育教學論文評選解析命題錯誤 探尋突破方略摘 要：文章以教學中遇到的錯題或錯解為載體，剖析試題或求解出錯的原因.結合教學實踐，從學習、命題考試、教學等角度給出思考與建議.關鍵詞：試題命制，不等價變形，邏輯推理，信息技術，核心素養一、問題提出美國著名數學教育家G離不開解題，更離不開思考.中學數學課堂中，在呈現基礎知識、基本技能后，將大量直接將參考答案呈現給學生，偶爾輔以簡明扼要的點評，以期促進學生對知識結構的完善和思維能力的提升.學生也大量解題，用參考答案（的結果）來核對自己解答的對錯.筆者在教學中發現，部分教輔與聯考試卷中試題的編制或求解出現了科學性錯誤，多數給出試題命制和數學教與學方面的思考，不足之處，敬請同仁批評指正.二、案例呈現1.語言表達存在偏差試題命制對語言的基本要求為：科學、準確、平實、簡潔.當我們命制試題后，為了避免自說自話等導致詞不達意或存在歧義，可先嘗試反復閱讀、逐字逐句推敲，存在例屆高中畢業班第一次考試理科數學第16ax2-1題）已知函數f(x)= xe

的最小值為-1，函數g(x)=ax

3值點相同，則a.參考答案為：由題意知

f

-ax2-b)xex

，注意到

f(x)的最小值為f(0)=-1，因此x是f(x)的極值點，所以f，解得b1.當a時，當x?-￥時，f(x)?-￥，不符合題意；若a30時，驗證可知f(0)=-1是函數f(x)ax2-1的最小值，符合題意.所以，由函數f(x)= xe

的最小值為-1，得a30；對于g(x)，若a0時，g(x)-3x21不符合題意，故a0，令g(x)ax2-6x12022年安徽省中小學教育教學論文評選x或x=2ag(x)的極小值點為x=2g?

0a.?a a èa?綜上所述，a定值等）的理解與挖掘是解題的關鍵.不少學生沒有發現f(0)=-1，對a,b討論進而確定函數f(x)的最小（點過程繁雜.多數學生利“f0)0求出b-1而沒有對a的范圍和b的值進行檢驗.而函數的極值與最值既有區別也有聯系，理應進行檢驗.“函數g(x)的零點與極小值點相同”意味著“函數g(x)的零點與極小值點分別構成的集合A與B相等，在得到a，b的值后必須進行檢驗.過程如下：當a2，b-1時，g(x)2x3-3x21，g(x)6x2-6x，g(x)的極小值點為x1，g(x)在-￥,0)上單調遞增，在,)上單調遞減，在,￥)上單調遞增，而g-)-40，g0)10，g)0所以g(x)有兩個零點.顯然不滿“函數g(x)的零點與極小值點相同”.因此，該條件應改為“函數g(x)ax3bx21的極小值點是其零點”.2.概念理解不到位概念是學科的基石，是理解知識點間聯系的基礎.掌握基本概念，弄清概念的實質，a4442b2例2已知的內角B,C的對邊分別是a,b,c=2c2ca2為最大邊，則a的取值范圍是( )c?23?

?23ù

B．3)

C.3ú

D．3ùè 3?

è ? ?參考答案為：由題意得a4b4c4a2b2-2c2a2b2)0，即a2b2-c22=( 2a2-c( 2ab .由于最大邊是c，所以a2-c2=-ab，cosC= ，由C?(0,p)，得C，B

p-A，則a

sinAB

2ab 2323 ? p?3= =3 3 c

sinC

= sin?A+3 è?22022年安徽省中小學教育教學論文評選< + ?+

?? ù

由于a，所以0<A p，所以p<A

p，23sin?A p

23ú，3 3 3 3

3 è 3?? 3è ?aa?23ù?c c ? 3è ?評析：眾所周知，不含參數的具體一元函數的最值常見兩種求法：（1）利用函數再驗證其為所有函數值中的最大（小）者.[1]無論采用哪種方法，本質是一致的，就是確定最值點與最值的先后順序不同而已.在c為最大邊”等價于“C為最大=C.由條件可得C p或C=3 3驗證.由函數最值的定義可知，常數函數的最大值和最小值均為該函數值.本題求解目標是滿足條件的所有三角形中a的取值范圍（已蘊含三角形的“兩邊之和大于第三c?23ù? 3è ?參考答案用充分條件代替充要條件，以偏概全，本質上是對函數最值概念理解不到位.3.諸多條件不兼容例3（全國100所名校高三AB測試示范卷y=f(x)的定義域為Ra,b?都有f(x+2)=-f(x)成立，且當x?

Rf+b)=f(a)+fx?R，f(x)=-x.32022年安徽省中小學教育教學論文評選（I）討論函數y=f(x)的奇偶性和周期性；參考答案為：（I）由f+b)=f(a)+f(b)，令a，得f(0)=0.令a=x,bxf(x-x)=f(x)+fx)=0fx)=-f(x)，又函數y=f(x)的定義域為R，即y=f(x)是奇函數.對任意實數x?

R，都有f(x+2)=-f(x)成立，得f(x+2)=-f(x+2)=f(x)，所以函數y=f(x)是R上的周期為4的周期函數.評析：因為f+b)=f(a)+f(b)，由f(x+2)=-f(x)知f(x+2)=f(x)+f(2)=-f(x)①fx+2)=-fx)，知fx+2)=fx)+f(2)=-fx)②由①②得fx)=f(x)，所以函數y=f(x)是偶函數.事實上，對任意a,b?

R，都有f+b)=f(a)+f(b)，可得

f(x)=f，所以三個條件“對任意a,b?

R，都有f+b)=f(a)+fx?

Rf(x+2)=-fx?f(x)=-x”并不兼容.因為多個條件之間自相矛盾，導致設置的對象不存在.試題命制時，要確保幾何圖形、函數等研究對象的存在性.4.工具作圖不精準數學語言常歸結為文字語言、符號語言、圖形語言三類.其中圖形語言具有直觀性，的試題才能考查出學生的真實水平和思維能力，進而為教與學提供好的導向.42022年安徽省中小學教育教學論文評選例4設函數y=f(x)是定義域為R，周期為2的周期函數，且當x?íf(x)=1-x2；已知函數g(xí

ìlgx,x10,則函數y=f(x)-

g(x)在區間5,10]內零點的個數為（）

? xA．15B．14C．13 D．12參考答案為：函數y=f(x)-g(x)在區間[-5,10]上零點的個數即為函數y=f(x)，y=g(x)的圖象在區間[-5,10]上的交點個數.在同一坐標系中作出函數y=f(x)與函數y=g(x)的圖象如圖1，由圖1可得兩個函數圖象有14y=f(x)-正解：LL在同一坐標系中作出函數y=f(x)與函數y=g(x)的圖象如圖2.記h(x)=f(x)-g(x).

圖1g(x)在區間[-5,10]上零點的個數是14.圖2 當x?

,10]時，f(x)1-(x-102，g(x)gx，h(x)1-(x-102-gx，， 2(x-10)-1 h(x，

1-2x2ln10，h(x)在單調遞減，由xln10

= ￠x2ln10-1 ，1 ，所以存在唯一的x?

(9,10)使得)9ln10

10ln10 0 00，從而函數h(x)在,0)上單調遞增，在(0,10]上單調遞減，且h9)-g90，h，所以存在?零點.

,0)使得h(1)0，所以函數h(x)在區間,10)上存在一個當 x?2]時 ，

f(x)1-(x-22，

g(x)=lgx，

h(x)1-(x-22-gx，，2(x-2)-1 h(，

1-2x2ln10，h(x)在2]上單調遞減，由xln10

= ￠x2ln10-1，1 ，所以存在唯一的x?2)使得

)=0，從ln10

2ln10 2 252022年安徽省中小學教育教學論文評選而函數h(x)在,2)上單調遞增，在(2,2上單調遞減，且h)0，h2)1-g2，從而在x?2]上只有h，所以函數h2)上存在一個零點.15y=f(x)-g(x)在區間[-5,10]內零點的個數是15.思辨.由于函數y=f(x)，y=g(x)在2]，數，還需用代數方式進行確認.5.對象范圍出現變化確，讓學生切實明晰試題的考查意圖，統計收集到的檢測結果才真實有效.如學習復數求速度的大小（速率），應明確說明，謹防思維深刻的學生思維發生側移，節外生枝.=例5設f(x)aexbnx，且f)e，f-) 1，則ab .=eff1)構建關于a,b的二元一次方程組，而原函數與導數具有上、下位關系，并不相互獨立，導數的定義域一定是原函數定義域的子集.命清楚它們之間的制約關系.如通過對應連續函數的性質來研究數列的單調性，就要清楚二者定義域的區別，進而構建對應函數的單調性與數列的單調性之間的邏輯關系.例6已知一個幾何體的三視圖如圖3所示．（I）求此幾何體的表面積S；（II）如果點P，Q在正視圖中所示位置：P為所在線段的中點，Q為所在線段的端點，求在幾何體的表面上，從點P到點Q的最短路徑的長．參考答案為：（I）(

25pa2（過程略）.圖3（II）沿點P與點Q所在母線剪開圓柱側面，如圖4所示．則PQ=

AP2+AQ2=

a2pa2a

p2，所以在幾何6 圖4 2022年安徽省中小學教育教學論文評選體的表面上，從點P到點Q的最短路徑的長為ap2.P到點Q若沿著路徑：P?A?Q，此時從點P到點Q的最短路徑的長為3a，即為所求答案.6.變形導致錯誤從而學生利用已掌握的數學模型求解.因何而變，變向何方，離不開學生的認知基礎.學里？隨時對其標注，然后在適當的時機對其進行調整，通過彌補保證變形的等價性.無論結果是否增解或漏解，從邏輯推理的角度都要對不等價變形進行必要的說明.例7(紅對勾講與練高三數學大一輪復習2021·遼寧沈陽模擬)已知函數f(x)=lnx，a,b?R.(I)討論f(x)的單調性；(II)當a，,x2為兩個不相等的正數時，證明：

f(1)-2

f(2)>x-x.參考答案為：(I)略.(II)證明：當a時，f(x)=lnx.

f(1)-

1 2f(2)>1-2，即n1-n2>2-121 2-x2.不妨設x1 21ln

>x2t=，t

2 x2x2等式也等價于lnt+4

-2(t>1)．以下從略.t

ln-lnx2-x2-x2x2時，

> ? <

，此結論顯然不2

2 ln-lnx2成立.參考答案只考慮了>x2本質上是解題者意識到了題目中的條件給出的情況可以“坍縮”成一個簡單的情況.輪因此，解題時想用“不妨設”時要確認“不妨設”的條件是否具備.有興趣的讀者可參閱文獻[2]與文獻[3].72022年安徽省中小學教育教學論文評選7.邏輯關系混淆在于此.數學的邏輯思維的要求就是能夠正確的進行數學思考.[4]改變條件的呈現方式、命題教師囿于直覺感知而缺乏邏輯推理導致命題錯誤.例8已知數列n的前n項和Sn1ln，其中l10.（I）證明：數列n是等比數列，并求其通項公式；（II）若a=1，求l.5 32參考答案為：（I）數列n是首項為

11-l

，公比為

ll-1

的等比數列，于是an=n-11?n-11-l

?l-1÷

.（證明過程略）è ?（II）由（I）可知，

l4-5

1=32，得l1.=評析：例8顯然是由2016年新課標全國卷III理科數學第17題(LL（II）若31 l4 1= ，求l.)改編而成的.對于第（II）問，當l1時，- =

；反過來，S5 32l4 1l4 1

-5 325當- =

時，方程的解未必只有l1.由- =

，即l)4時，l-5 32

l-5 32則l.所以1-l

45，即l

45-1，記f)=l

45-1.當0￡l，則

f)在單調遞增，

f(0)=-1，

f，所以f)在區間[0,1)上恰有一個實數根.當l時，f)=1

8-1+l5，f5

)在(-￥,0)上單調遞減，令f

)=0，得l=5 5 5 5-?.所以f)在?￥,-??

??,0?

fé?ù?5÷?5?5÷?5÷úè? ?

è?÷

?è? ÷

êè?úè ? è ? ? ?82022年安徽省中小學教育教學論文評選5067= ，f1)=0，f32)=-1f)在(-￥,50673125? ? 8 ?-1，另一個位于 32,- ? .?÷?- ??÷??è ?Sn與an的關系由公式Snan決定.當已知l（如l1Snan（如Snan）的線性關系可知，對應的Sn與an（如S5

=31與a32 5

=1）3231等價.在未知l（lSn與an均為lSn（S5=32=1l的值未必相同.將結論l1S=31得a=1an（3231 1

5 32

5 32S5= 和= 得到l的值并不相同.命題者著眼于結論l1B逆向探32 32尋其成立的“充分條件”A，但由條件A得到的結論可能不止于B.逆向推斷是試題命條件.但條件與結論是否匹配，命題者不能相當然，必須進行正向的推理論證.參考答案用特殊代替一般，用局部代替整體，邏輯錯誤.對于解方程來說，可以先嘗試找到方程的某個根，然后以此為切入點逐步突破.如何變形是解題的關鍵，若將1-l532l4展開可得l527l410l3-10l2l

-1，由l1是方程的根，可將其轉化為43-16l2

-)0，而g(x)x426x3-16x26x-1的零點難以判斷，利用幾何畫板畫出g(x)的圖像，發現g(x)“單調遞增”且有一個零點在區用mathematica求解方程，可得g(x)=0的兩個實數解近似值為-26.6089，0.279228.維、嚴密的邏輯結構將其推理論證，進而促進知識結構的完善和思維能力的提高.如果難以求出該方程的精確解，能否確定其解的個數（通過二分法逼近得到方程的近似解）呢？先根據符號法則排除l31，再降次構建函數f)=l

45-1，當l?

[0,1)時，ff)在l?￥,再聚零為整”實現解題目標.92022年安徽省中小學教育教學論文評選三、思考與建議嚴謹性等.注意把握以下五點：1.明確命題意義掌握命題方法命題是有效測量的重要保證，是決定測驗成敗的關鍵.試題是從事教育測量的量尺,編制試題則是對量尺的制作和設計.進行一種測驗,能否真正達到預期目的,測到所要測量的特質,主要取決于量尺是否準確,取決于試題是否具有代表性、能否通過試題有效地充分地誘發出我們欲測的行為表現.命題的動向直接制約著教學的發展方向，影響著努力的側重點.無論是大規模的考試還是平時教師教學中的自編測驗，都必須認真對待命使題目的編制更加合理.很多教師剛開始命題時表現出惴惴不安，久而久之，面對命題中的錯誤變得心安理得.英國心理學家貝恩布里奇說：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的.”著名教育家杜威說過：“一切學科、每一種教學方法、學校生活中的所有時間都孕育著道德教育的可能性.”質量較高，尤其是高考與競賽真題更值得研習，在做題中積累解題經驗，感受試題的結構，命制的脈絡與邏輯，突破試題設置的陷阱.對常規試題做到能解、會解、善解，進4實質為2011年吉林賽區預賽第3題，可見錯題影響深遠.多編題，通過命題反思自己對內容的理解情況，剖析命題的得與失，完善與發展命題技能.多讀書，提高知識的寬度與深度，弄清問題的來龍去脈，同時為試題提供合適的背景，在細節處給學生人文關懷.它們相互為用，如較強的解題能力能促進命題水平的提升，命題者熟悉試題架構，更易洞察問題本質，解題自然輕車確保研究對象的存在性；“不怕任性，就怕驗證.”求函數的最值要驗證最值（點）的存在性；分式變整式要保證分母不為零等.通過規范的參考答案的制定，不僅給學生以引領與示范，還能促進自己思維的完善與提升.明晰發展目標通過高中數學課程的學習，學生能獲得學習以及未來發展所必需的數學基礎知識（如例122中構建函數求值域，例34驗（如例6題的能力.試題只是檢測學生學習能力與效果的重要載體，通過對檢測結果的分析然后對學生的學習和教師的教學進行查缺補漏.學習數學的終極目標是完善與提高學生的思維能力，進而實現“以不變應萬變”.教學與考試中切忌用“偏、冷、怪”的試題來為學生思維能力的考查.3.樹立整體觀念注重規范表達解決問題就是處理好研究對象之間整體與局部的關系.若過于聚焦局部，則會“只局部之間不斷轉換，促進局部細致入微和整體和諧一致的構建.“會用數學眼光觀察現實世界；會用數學思維思考現實世界；會用數學語言表達現實世界.”數學理解的重要7無視整體出現錯誤，在表達時要斤斤計較、精雕細琢，構建完備的邏輯推理體系.102022年安徽省中小學教育教學論文評選