...wd......wd......wd...傳染病模型詳解2.2.2經典模型經典的傳播模型大致將人群分為傳播態，易感染態和免疫態。態表示該個體帶有病毒或謠言的傳播能力，一旦接觸到易感染個體就會以一定概率導致對方成為傳播態。表示該個體沒有接觸過病毒或謠言，容易被傳播態個體感染。R表示當經過一個或多個感染周期后，該個體永遠不再被感染。模型考慮了最簡單的情況，即一個個體被感染，就永遠成為感染態，向周圍鄰居不斷傳播病毒或謠言等。假設個體接觸感染的概率為，總人數為N，在各狀態均勻混合網絡中建設傳播模型如下：從而得到對此方程進展求解可得：可見，起初絕大局部的個體為態，任何一個態個體都會遇到態個體并且傳染給對方，網絡中的態個數隨時間成指數增長。與此同時，隨著態個體的減少，網絡中態個數到達飽和，逐漸網絡中個體全部成為態。然而在現實世界中，個體不可能一直都處于傳播態。有些節點會因為傳播的能力和意愿的下降，從而自動轉變為永不傳播的態。而有些節點可能會從態轉變態，因此簡單的模型就不能滿足節點具有自愈能力的現實需求，因而出現模型和模型。是研究復雜網絡謠言傳播的經典的模型。采用與病毒傳播相似的過程中的，，態代表傳播過程中的三種狀態。Zanetee，Moreno先后研究了小世界傳播過程中的謠言傳播。Moreno等人將人群分為〔傳播謠言〕、〔沒有聽到謠言〕，〔對謠言不再相信也不傳播〕。假設沒有聽到謠言個體與個體接觸，以概率變為個體，個體遇到個體或個體以概率變為，如圖2.9所示。建設的平均場方程：與之前人得到的均勻網絡的病毒傳播的結論相反，謠言在均勻網絡中傳播沒有閾值。Moreno等人將此模型推廣到冪率分布的網絡，考察了態的穩定值和耗散時間，得出R態穩定值與感染概率有著嚴密聯系，而與傳播源的度無關。這與一般意義下的病毒傳播的結論“傳播各狀態的密度與傳染源節點的度嚴密相連〞有很大不同。SIS模型與SIS模型的區別就在于節點成為傳播態之后的恢復的狀態不同。在SIR模型中，傳播態節點在傳播過程中會根據概率成為免疫狀態，而在SIS模型中每一個傳播節點會以恒值成為I態，如圖2.10。從而得到SIS模型的微分方程：化簡得到：從而得到其穩態值為。假設，那么指數下降區域零，意味著謠言不再擴散。在這之后，許多學者在這些經典模型的根基上提出了改良的模型。如周苗苗等人在經謠模型的根基上研究了社會網絡上的謠言傳播并構建了數學模型，得出了最終集合As的期望值的相關結論。孫慶山等人在經典和模型的根基上，研究了社會網絡的謠言傳播，首次將信息的吸引力作為傳播因素引入傳播模型中。Vespignani提出了網絡動力學傳播模型，詳盡分析了單種群中的動力學過程[31]。這些模型有的已經擺脫了平均場方程的表達傳播過程方法，采用元胞自動機以及隨機過程的方法表達，但是思想仍是采用SIR這樣的傳播狀態和規則。國內外關于建設網絡謠言傳播模型方面和網絡免疫策略方面的研究已取得了一些有益進展。ZanetteDH率先在小世界網絡上建設謠言傳播模型。MorenoY等人在無標度網絡上建設了謠言傳播模型，通過隨機分析方法以及計算機仿真得出結論。文獻利用構建改良的Potts自旋系統來量化謠言傳播因素并建設起基于Potts謠言傳播模型。元胞自動機作為研究傳播的方法之一也取得了較多成果。宣慧玉和張發利用元胞自動機研究了謠言在個體之間流傳的的局部交互的過程。劉常昱等人利用元胞自動機和Agent設計個體的局部相互作用規則來研究了基于小世界模型構建的人際關系網絡中的輿論傳播。除此以外，人們發現謠言傳播與網絡的拓撲性質也有著密切的聯系，汪小帆團隊發現網絡的聚類系數對傳播的影響并給出了相應抑制謠言的策略。針對各種謠言傳播模型的免疫干擾研究也是相比照擬成熟。免疫策略可分為隨機免疫，熟人免疫和目標免疫。隨機免疫方法就是完全隨機的選取網絡中的節點進展免疫。但在無標度網絡中使用隨機免疫策略的話，幾乎要對網絡中所有的節點進展免疫才可能使謠言不得擴散出去。相對隨機免疫的缺陷，目標免疫通過去除網絡中少量度大的節點的連邊，切斷傳播的途徑來降低謠言的散步范圍就更有實際意義，。雖然目標免疫的效果比擬明顯，但是要是想目標免疫能夠發揮威力就必須知道網絡的全局信息從而選擇目標節點，而在龐大且復雜的社會網絡中獲取全局信息是難以做到的。熟人免疫策略巧妙的回避了這一點，它從N個節點中隨機選取一局部節點，在從每個一個被選出來的節點中隨機選取一個鄰居節點進展免疫。但是熟人免疫也存在著局限性，比方隨機選取的節點可能會擁有局部共同好友，就會導致免疫的重復和浪費，因此，免疫策略的進一步研究離不開對網絡深層次拓撲特征的探索。近年來網絡中重要節點排序和衡量取得很大的突破，如基于Pagerank的重要節點算法以及K-核算法的提出為網絡拓撲構造的進一步研究打下了堅實的根基。雖然SIR傳播模型在許多網絡中得到了擴展和研究，也是當前研究的熱點，然而卻不能準確的表達當前在線社交網絡的傳播現實，如謠言傳播過程中的從眾性、傳播意愿的累積性等，因此根據傳播關鍵因素建設合理的傳播模型是當前研究的重點。第四章基于SIR改良的SHKR謠言傳播模型4.1問題描述與建模4.1.1問題描述在SNS中，當一個好友發布了某消息，好友往往就會以一定的概率將此消息傳播出去。假設該好友對其內容不具有傳播意愿則成為知道謠言但不會傳播的人；假設該好友對這則內容相信或感興趣則會分享，那么此好友就成為傳播者；有局部好友，一開場不相信，后來在周圍好友屢次的傳播分享下，意愿受到強化而成為傳播者也是很常見的。考慮到以上的傳播規則，本文對傳統的謠言傳播模型將人群分為傳播，免疫和未感染三類進展了改良。我們把網絡中的節點分為傳播節點S，安康節點H，知道謠言但不傳播的節點K，免疫節點R四種狀態。傳播節點表示該節點承受信息并具有傳播能力的節點。安康節點表示沒有接觸到謠言的節點，對謠言處于未知狀態。知道信息但不傳播的節點表示知道了謠言但對謠言沒有傳播的人。免疫節點表示永遠不會傳播謠言的人。可見，謠言在傳播過程中，不僅與節點自身的狀態有關，也與節點的鄰居節點的狀態相關。傳播的規則如下，如圖4.1所示：〔1〕當謠言傳播節點與安康節點接觸時，安康節點以概率變為傳播節點S，以概率變為承受謠言但不傳播的節點K，以概率成為免疫者R；〔2〕當謠言傳播節點與知道謠言但不傳播的節點接觸，作傳播節點則以概率變為傳播節點。3〕傳播節點不會一直傳播謠言，會以速度v轉化為免疫者，v就為遺忘率。在第二章提到，SIR傳播模型雖然應用的比擬廣研究也較多但是對于當前在線社交網絡的中的傳播現實卻不能準確的表達，如謠言傳播過程中的從眾性、傳播意愿的累積性等。此外，謠言傳播與病毒傳播明顯的區別就在于其屢次傳播對節點的影響，這點在MIT斯隆管理學院的博士的實驗結果也得到了表達。斯隆管理學院的博士等在兩個不同網絡中，每個志愿者分別以郵件的方式邀請好友注冊論壇，如果好友完成了注冊即會以郵件的方式向他〔她〕的好友繼續發郵件邀請他們注冊論壇。在這次實驗中，網絡中的一個用戶往往會被其周圍的好友屢次邀請而強化了其注冊的意愿。可見在謠言傳播過程中，本來不傳播的節點受到社會強化作用變為傳播者，所以本文提出了一個新的狀態，即知道謠言不傳播的狀態且在一定的概率作用下會改變為傳播節點。那么在這樣的傳播機制下，每個節點都會對謠言的傳播及相信與否做出自己的選擇，這更貼近現實的真實情況，因為并不是每個人聽到謠言都會傳播。則基于以上定義：〔1〕分別定義H(t)，S(t)，K(t)，R(t)為安康者，傳播者，知道謠言但不傳播者和免疫者的比重。顯然H(t)+S(t)+K(t)+R(t)=1。〔2〕在消息傳播過程中，不考慮人數的遷入遷出及出生和死亡，即總人數不隨時間的改變而改變。〔3〕假設總人數為N。4.1.2數學建模〔1〕安康者H考察到時間按內各人數的變化情況：這段時間內，安康者的人數增加了，而每個傳播者可以讓由安康者變為其他狀態的節點，則可列出滿足條件的方程：兩邊同除，則得到微分方程：〔2〕免疫者R這段時間內，免疫者增加的人數，每個傳播者可以讓成為免疫者，則可得到微分方程：〔3〕傳播者S這段時間內，傳播者增加的人數為，安康者變為傳播者的人數為，傳播者變為免疫者的人數為，知道謠言并不傳播者變為傳播者的人數為，則可得到微分方程為：〔4〕知道但不傳播謠言者K這段時間內，增加的人數為，而安康者變為知道但不傳播者的人數為，而知道謠言但不傳播者在這段時間內變為傳播者的人數是，則得到微分方程為：聯立可得為微分方程組：考慮到傳播節點和未感染節點之間不可能始終是均勻分布。因為考慮到網絡的拓撲性質，將上述轉化為如下形式，節點之間的連