金融工程與風險管理第1章導論linhui@*21.1金融工程的基本概念金融工程（financialengineering）：包括設計、開發和實施具有創新意義的金融工具和金融手段（processes），并且對金融問題構造創造性的解決方案。（JohnFinnerty）。工程：幾個要件構成的復雜系統，如同建筑工程一樣，金融工具可以單獨使用，也可以被用來“建造”一個更為復雜的系統，如從遠期到互換。積木(buildingblock)分析運用工程技術方法（數學建模、數值計算、仿真模擬）定量解決金融問題。*3積木(buildingblock)分析積木分析也叫模塊分析，指將各種金融工具進行分解和組合，以解決金融問題。

期權交易的4種損益圖（不考慮期權費）ΔSΔVΔVΔS*4看漲期權多頭的收益ST－X，若ST≥X0，若ST<

X其中，ST是到期日T，標的資產的價格；X是執行價格。看跌期權多頭的收益X－ST

，若ST<

X0，若ST≥

X*5金融工程常用的六類積木ΔPΔV

ΔPΔV

＝ΔPΔV

ΔPΔV

＝*61、看漲期權多頭＋看跌期權空頭＝股票（遠期）多頭ΔPΔV

ΔPΔV

＋ΔPΔV

不考慮期權費六類積木的相互轉化*7ΔPΔV

ΔPΔV

＋ΔPΔV

不考慮期權費2、看漲期權空頭＋看跌期權多頭＝股票（遠期）空頭*83、股票（遠期）多頭＋看跌期權多頭＝看漲期權多頭ΔPΔV

ΔPΔV

＋ΔPΔV

不考慮期權費*94、股票（遠期）多頭＋看漲期權空頭＝看跌期權空頭ΔPΔV

ΔPΔV

＋ΔPΔV

不考慮期權費*105、股票（遠期）空頭＋看漲期權多頭＝看跌期權多頭ΔPΔV

ΔPΔV

＋ΔPΔV

不考慮期權費*116、股票（遠期）空頭＋看跌期權空頭＝看跌期權多頭ΔPΔV

ΔPΔV

＋ΔPΔV

不考慮期權費*12以上分析表明：6類基本積木，都可以由其他的兩種積木來復制當存在多頭金融價格風險時，可以運用多頭看跌期權來保值。這意味者二者的組合是看漲期權多頭當存在空頭金融價格風險時，可以運用多頭看漲期權來保值。這意味著二者的組合是看跌期權多頭遠期交易完全可以用兩個期權組合來復制。*131.2金融工程的研究范疇新型金融工具的設計與開發，對已有的金融產品和手段進行重新分解和組合，從而創造出新的金融工具，其創造性最高，如期權的創新品種；對已有的觀念做出新的理解和應用，如將期貨交易推廣到以前未能涉及的領域，產生出了金融期貨；程序控制交易（Programcontrollingtrade）創造性地為某些金融問題提供系統化、完備的解決辦法，包括各類風險管理技術的開發與運用、公司融資結構的創造等。利用稅收方面的不對稱性的互換*14RSTRXST00RXST0對敲期權組合*15*16例子：程序控制交易獲取套利機會利用股票現貨市場與股指期貨之間的價格不均衡性來套利的計算機程序控制交易。基本策略陳舊：套利，即買進（賣出）現貨資產同時賣出（買進）期貨合同。它被應用于谷物的交易已有一個多世紀了。實現手段新穎：如果我們著眼于其復雜的建模過程、軟件的開發，以及通過計算機聯網使整個交易得以實現，我們又一定會得出程序控制交易涉及到思維的飛躍。美國發現投資機會的15分鐘。*17例子債務/權益互換

——利用稅收的不對稱性套利假設：公司A：邊際所得稅率為40%，資金成本為10%，股利收入的80%享受免稅待遇。公司B：發行優先股，股利為8%，邊際所得稅率為12%。投資策略：公司A以10%的年利率向公司B借款，然后把籌集的資金投資于公司B的優先股。*18說明1：公司A的這種投資是有意義的由于利息支出計入稅前成本，因此公司A實際稅后成本為10%×(1-40%)=6%。公司A投資于優先股的股息稅后收入為：8%-8%×(1－80%)×40%=7.36%。說明2：這筆交易對公司B來說亦是盈利的。公司B通過借出資金獲得利息收入，稅后收益為10％×(1－12％)=8.8%，而公司B向公司A支付的優先股股息為8%。兩個公司利用邊際稅率的不均衡性，通過互換債權和權益都從中得到了利益。這就是80年代發展起來的債務/權益互換。*191.3金融工程與風險管理金融工程誕生的背景國際原油交易已美元為計價貨幣，石油帶動原材料上漲，且意味著美元貶值布雷頓森林體系崩潰，匯率自由浮動放松管制和金融自由化：利率的市場化。為規避風險而誕生的新金融工具遠期利率（匯率）協議：為利率（匯率）受損方提供現金補償商品（金融）期貨：規避商品（資本）價格的波動利率互換：鎖定融資成本股票期權：將收益與風險剝離國際原油價格變動趨勢（2004-2006）12月2日紐約市場原油期貨價格每桶下跌83美分，收于57.88美元。*21金融工程的目的：風險管理風險管理是金融工程的目的，也是金融學的核心內容之一。金融學意義上的風險：價格風險而非實體經濟風險，但實體經濟風險可以由金融工具來規避，金融工程并不能消除整個金融世界的風險。金融資產價格的波動本質上都是風險因子（利率、匯率、商品價格）的波動引起的。從金融工程到風險管理：建立以風險因子為自變量的定價方程。若知道風險因子的分布，則可預測價格分布，此為金融工程上解決風險管理的核心內容。*22例子：遠期的風險因子t時刻的遠期合約的價值為遠期的風險因子：現貨價格與無風險利率。*23金融工程的目的：風險的管理對面臨的風險進行分解和組合，并通過契約予以規范，創設金融工具股票期權：將股票的收益與風險進行剝離，一方只承擔風險（義務），一方只獲取收益（權利）。運用金融工程進行風險計量：如VaR技術實現風險的有效配置：將分散在企業和個人的市場風險、信用風險等通過金融工程構造的金融工具在市場中進行重新配置。Hedger（套期保值者）：減少或者消除風險。Speculator（投機者）：Betonfuturemovementsinthepriceofanasset.使用衍生工具是為了獲得特殊的杠桿率討論：金融工程配置風險與銀行配置風險的對比？*24LTCM事件看風險管理LTCM（longtermcapitalmanagement）是1993年建立的對沖基金(hedgefund)，其合伙人包括M.S.Scholes和R.C.Merton，他們參與建立的“期權定價公式”（即B-S公式），兩位因此獲得者1997年諾貝爾經濟學獎。LTCM的投資策略和投資對象投資策略：根據金融工程建立模型，編制程序，運用計算機預測相似證券的價格走向，利用市場錯誤定價進行套利。投資對象：債券和債務類衍生品。第一類是美國國債及其衍生品，國債由美國聯邦政府保證，幾乎沒有風險；第二類是企業或發展中國家政府發行的債券，風險較大，如俄羅斯國債，具有主權信用風險。*25LTCM獲利本質：CreditSpreadsLTCM通過統計發現，兩類債券價格的波動基本同步，漲則齊漲，跌則齊跌，且通常兩者間保持一定的平均價差（AverageSpreads）。價差的收斂性（Converge）：“不同市場證券間非正常價差生滅的自然性”。通過計算機發現個別債券的市價偏離造成價差偏離平均值，通過兩種證券的多空操作，就可在價差回到平均值時賺取利潤。在一定時間范圍內，無論證券價格上漲或下跌，按這種方法投資都可以獲利。LTCM基金在1994年3月資產凈值為12.5億美元，到1997年末上升為48億美元。各年回報率：1994年28.5%、1995年42.8%、1996年40.8%、1997年17%。*26每個信用級別的貼現率(%)級別一年二年三年四年AAA3.604.174.735.12AA3.654.224.785.17A3.724.324.935.32BBB4.104.675.255.63BB5.556.026.787.27B6.057.028.038.52CCC15.0515.0214.0313.52美國國債俄羅斯國債正常信用價差價格t價格t美國國債俄羅斯國債非正常信用價差看多俄羅斯國債（或者看漲衍生品多頭），看空美國國債（或者看跌衍生品多頭）*28LTCM的收益（損失）率*29危機起源：流動性風險1998年8月17日俄羅斯政府突然宣布推遲償還短期國債，這一突發事件觸發了群起拋售第二類債券的狂潮，其價格直線下跌，而且很難找到買主。與此同時，投資者為了保本，紛紛尋求最安全的避風港，將巨額資金轉向購買美國政府擔保的短期國債。其價格一路飛升到歷史新高。這種情況與LTCM所得到的兩類債券同步漲跌的統計規律剛好相反。LTCM基金下錯了注而損失慘重。雪上加霜的是，他們對自己的理論模型過分自信，反而投入更多的資金以期反敗為勝，就這樣越陷越深。1998年5月，LTCM利用22億美元作資本抵押，買入價值3250億美元（名義本金）的證券，由此造成該公司的巨額虧損。從5月俄羅斯金融風暴到9月全面潰敗，短短的150天資產凈值下降90%，出現43億美元巨額虧損，僅余5億美元而瀕臨破產。*30價差方向判斷失誤導致巨額虧損俄羅斯國債美國國債正常信用價差價格t3t1t2正常信用價差LTCM堅持到t3時刻的前提？*31LTCM對風險的嚴重低估9月23日，紐約美聯儲出面組織安排，以美林、摩根為首的15家國際性金融機構注資37.25億美元購買了LTCM的90%股權，共同接管了該公司，從而避免了它倒閉的厄運。美國政府第一次挽救一家對沖基金由于巨額損失耗盡了LTCM的風險資本（riskcapitals），所以相比起LTCM的風險其資本金嚴重不足！如果其資本金能夠挺到t3時刻，LTCM仍有機會反敗為勝，為什么LTCM資本金會如此不足？*32風險資本和市場風險計量要使得LTCM的信用等級為AA2（1年違約概率為0.022%），在正態分布分布下發生0.022%概率事件大約為3.51個標準差，LTCM公司資產的1個標準差為16億美元，據此推算，至少需要提取的市場風險資本為（假設為正態分布）*33LTCM的損失構成*34LTCM的損失構成最大損失的3個部分利率互換：35%權益證券：29%俄羅斯國債等債務類工具：10%*35LTCM的風險管理上失誤LTCM公司資產至少具有3種風險（由上表）市場風險：如利率波動導致互換的損失信用風險：如俄羅斯國債的違約流動性風險：LTCM是持有巨額頭寸具有內生性的流動不足操作風險：模型風險——LTCM對風險的嚴重低估，表明模型的錯誤。（1）模型假設前提和計算結果都是在歷史統計基礎上得出的，但歷史統計永不可能完全涵蓋未來現象。沒有采用壓力試驗（presstesting)來彌補歷史的不足（2）LTCM投資策略是建立在投資組合中兩種證券的價格波動的正相關的基礎上，忽略了可能在流動性惡化時候的負相關。*36LTCM對風險管理提出的挑戰風險管理的基礎是對風險的準確計量提取多少的風險（權益）資本（BCBS：風險資本約束所承擔的風險，也就是所開展的業務量）取決于風險的計量風險的準確計量就是最有效率的利用資本風險計量精確性的兩個前提：風險識別：風險因子(riskfactors)，LTCM忽視信用風險和流動性風險風險計量模型的準確性：計量模型要進行事后檢驗和壓力測試。LTCM沒有進行壓力測試，甚至對正常市場的估計都不足。*37250天后驗測試示意圖事后檢驗（backtesting）*38*391.3金融工程與金融理論的發展50年代之前，金融理論基本是處于定性階段。現代金融理論則從1952年Markowitz的資產組合理論開始。1952年，HarryMarkowitz，發表了著名的論文“資產組合分析”，提出資產組合理論，為衡量證券的收益和風險提供了定量技術。1963年，WilliamSharpe的資本資產定價模型（Capitalassetpricingmodel，CAPM）*401.4金融理論的發展與金融工程1965年，EugeneFama在其博士論文中提出了有效市場假說（Efficientmarkethypothesis，EMH）市場有效性是金融工程基本假設之一，由此推出了金融工程基本定價技術——無套利定價。1976年，StephenRoss等完善了套利定價理論（Arbitragepricingtheory，APT），這標志著現代金融理論走向成熟。*411.3金融理論的發展與金融工程1973年，FisherBlack和MyronScholes成功推導出期權定價的一般模型B-S期權定價公式，為期權在金融工程領域內的廣泛應用鋪平道路，成為在金融工程化研究領域最具有革命性的里程碑式的成果。1970年代至今，RobertMerton在金融學的研究中總結和發展了一系列理論，為金融的工程化發展奠定了堅實的數學基礎，取得了一系列突破性的成果。Merton對期權定價進行推廣，如外匯期權、指數期權等等都要用到Merton公式*421.5本課程基本架構投資學基礎：原生金融工具的定價理論資產組合模型、CAPM債券（組合）的久期、凸性及其風險計量金融工程的基本分析方法無套利定價法、風險中性定價法、狀態價格法衍生工具的定價模型遠期、期貨和互換的定價模型B-S期權定價模型、Morton模型、二叉樹模型金融風險理論與模型：VaR（風險價值）、Creditmetric和KMV模型。*43主要參考書目JohnC.Hull.Options,FuturesandOtherDerivative[M].5thEd.NewYork:PrenticeHallInc.,2000.Merton，連續時間金融[M].中國人民大學出版社，2004MartinBaxter，AndrewRennie.FinancialCalculus，anIntroductiontoDerivativePricing[M]，CambridgeUniversityPress，1996.DavidLuenberger,《投資科學》（英文版），中國人民大學出版社，2004J.P.Morgan.RiskMetrics—TechnicalDocument[M].FourthEdition,1996J.P.Morgan.CreditMetrics—TechnicalDocument[M].1997JorionPhilipe.FinancialRiskManagerHandbook[M].2ndEdition，JohnWiley&Sons，Inc,2003.金融工程與風險管理第2章投資學基礎linhui@*452.1馬科維茨風險資產組合模型基本假設（1）均方準則：投資者僅僅以期望收益率和方差（標準差）來評價資產組合（Portfolio）（2）投資者理性：投資者是不知足的和風險厭惡的。（3）瞬時投資：投資者的投資為單一投資期，多期投資是單期投資的不斷重復。（4）有效組合：在資金約束下，投資者希望持有具有最高的均方標準的組合。組合均值與方差對于包含n個資產的組合p，其總收益的期望值和方差分別為*47均方準則與有效集可行集：資產組合的機會集合（Portfolioopportunityset），即在資金約束下，可構造出的所有組合的期望收益和風險（方差或標準差）。均方準則：在可行集中，有些投資組合會明顯地優于另一些投資組合，其特點：給定風險，預期收益率最大或者給定收益風險（標準差）最小。滿足這兩個條件的資產組合，即為有效組合。由所有有效組合構成的集合，稱之為有效集或有效邊界。投資者的最優資產組合將從有效集中產生，而對所有不在有效集內的其它投資組合則無須考慮。*48兩種風險資產構成的可行集若已知兩種資產的期望收益、方差和它們之間的相關系數，隨著投資權重w的變化，就構成了可行集。*49.將可行的組合標注在均方平面上*50兩種完全正相關資產的可行集命題：完全正相關的兩種資產構成的可行集是一條直線。證明：*51若不允許賣空（W≥0

），當權重w1從1減少到0時可以得到一條直線段，即為完全正相關的兩種風險資產可行集。*52兩種完全負相關資產的可行集兩種資產完全負相關，即ρ12=-1，則有*53命題：完全負相關的兩種資產構成的可行集是兩條直線，其截距相同，斜率異號。

證明：*54*55兩種不完全相關的風險資產的組合的可行集*56在各種相關系數下、兩種風險資產構成的可行集（W≥0）*573種風險資產的組合二維表示一般地，當資產數量增加時，要保證資產之間兩兩完全正（負）相關是不可能的，因此，一般假設兩種資產之間是不完全相關（一般形態）。1234*58類似于3種資產構成組合的算法，我們可以得到一個月牙型的區域為n種資產構成的組合的可行集。n種風險資產的組合二維表示*59不可能的可行集AB可行區域是向左側凸出的！因為任意兩個資產構成的投資組合都位于兩個資產連線的左側。*602.1.1

馬科維茨模型（n項風險資產組合有效前沿）假定1：市場上存在種風險資產，令代表投資到這n種資產上的財富的相對份額，則有：且賣空不受限制，即允許2.也是一個n維列向量，它表示每一種資產的期望收益率，則組合的期望收益*613.使用矩陣表示資產之間的方差協方差，有注：方差協方差矩陣是正定、非奇異矩陣。所以，對于任何非0的向量a，都有，則*62其中，是所有元素為1的n維列向量。由此構造拉格朗日函數*63注意到方差-協方差矩陣正定，二階條件自動滿足，故只要求一階條件其中，0=[0,0,…,0]（1）（2）（3）*64（4）由（1）得到把（4）代入（2），得到（5）*65為化簡，定義把（4）代入（3）（6）*66這樣我們就可以將（5）和（6）改寫為解得（7）（8）*67將（7）和（8）代入（4）得到，給定收益條件下的最優權重向量為（9）其中，*68最小方差集的幾何特征性質1：最小方差集是均方平面上的雙曲線證明：由于*69根據線性代數的性質有不妨令*70這樣，由（9）得到的最優權重向量改寫為在得到最優權重的基礎上，最小方差為（10）*71由于（11）所以*72這是均方二維空間中的雙曲線，不妨稱為最小方差曲線（minvariancecurve）。雙曲線的中心是（0，b/c），漸近線為對（11）配方得到即證畢.*73g點是全局最小方差組合點（globalminimumvarianceportfoliopoint）wg*74性質2：全局最小方差點的權重向量為證明：由于g點是最小方差前沿的一個點，故它滿足（11），即（12）對（12）求駐點*75所以，代入（10）得到*762.1.2兩基金分離定理

（two-fundseparationtheorem）定理2(兩基金分離)：在均方效率前沿上任意兩點的線性組合，等價于滿足均方效率的資產組合。假設wa和wb是在給定收益ra和rb（ra≠rb）是具有均方效率的資產組合（基金），則命題1：任何具有均方效率的資產組合都是由wa和wb的線性組合構成命題2：反之，由wa和wb線性組合構成的資產組合，都具有均方效率。*77證明1：假設資產組合c滿足均方效率，則有即c是a和b的線性組合，命題1證畢。*78證明2：反過來，因為即wc滿足均方效率的最優權重，命題2證畢.*79兩基金分離定理的意義定理的前提基金分離，即兩基金（有效資產組合）的期望收益不同。投資上的意義：一個決定買入的均方效率資產組合的投資者，只要投資到任何兩個滿足均方效率且收益率不同的基金即可。投資者無須直接投資于n種風險資產，而只要線性地投資在兩種基金上就可以了。計算上的意義：要獲得有效邊界，我們只需要獲得任意兩個解（即兩個不同的投資權重），然后對解進行線性組合即可。如先計算全局最小方差點，然后再找一個點。*801、確定初始解2、對初始解進行線性組合確定初始解的簡單方法，首先令必須注意：這可能使總權重不等于1，但可以通過標準化進行補救。2.1.3有效前沿的數值算法*81為得到初始解V1，需求解下面的線性方程組得到向量然后將其單位化，即這樣向量就是均方效率解。*82為得到初始解V2，需求解下面的線性方程組得到向量然后將其單位化，得到向量也是均方效率解。這樣得到了最優組合1和2，可以通過對其進行線性組合得到，并根據組合的均值、方差公式，計算得到其他均方點。*83程序：資產組合有效前沿ExpReturn=0.01*[15.112.514.79.0217.68];ExpCovariance=0.01*[2.300.930.620.74-0.23;0.931.400.220.560.26;0.620.221.800.78-0.27;0.740.560.783.40-0.56;-0.230.26-0.27-0.562.60];Matlab程序中以frontcon函數直接計算有效前沿，假設需要得到200種組合。*84*852.2資本資產定價模型資本資產定價模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM）是由美國Stanford大學教授夏普等人在馬克維茨的證券投資組合理論基礎上提出的一種證券投資理論。CAPM解決了所有的人按照組合理論投資下，資產的收益與風險的問題。CAPM理論包括兩個部分：資本市場線（CML）和證券市場線（SML）。*86資產組合模型研究是研究風險資產構成的組合，但未討論資產中加入無風險資產的情形。假設無風險資產的具有正的期望收益，且其方差為0。將無風險資產加入已經構成的風險資產組合（風險基金）中，形成了一個無風險資產+風險基金的新組合，則可以證明：新組合的有效前沿將是一條直線。2.2.1單基金定理*87命題：一種無風險資產與風險組合構成的新組合的有效邊界為一條直線。一種風險資產與無風險資產構成的組合，其標準差是風險資產的權重與標準差的乘積。*88加入無風險資產后的最優資產組合風險收益無風險收益率rf原組合有效邊界MF新組合的有效邊界*89單基金定理（分離定理）Theone-fundtheorem:thereisasinglefundMofriskyassetssuchthatanyefficientportfoliocanbeconstructedasacombinationofthefundMandtherisk-freeassetF.含義：只要無風險資產確定，則風險組合M也惟一確定。直線FM上的點就是最優投資組合，形象地，該直線將無差異曲線與風險資產組合的有效邊界分離了。由分離定理，基金公司可以不必考慮投資者偏好的情況下，確定最優的風險組合。*90單基金定理的原因、條件和意義原因：存在無風險資產，改變了有效前沿的外形，使得有效前沿為一條直線，且在風險資產組合最優邊界上只取一個點（M）條件：可以自由地以無風險利率借貸資金。意義：不論投資者偏好如何，M點由F點惟一確定。無需先確知投資者偏好，就可以確定風險資產最優組合。風險厭惡較低的投資者可以多投資風險基金M，少投資無風險證券F，但總是會選擇合適比例的M或者F。*91分離定理對組合選擇的啟示若市場是有效的，由分離定理，資產組合選擇問題可以分為兩個獨立的工作，即資本配置決策（Capitalallocationdecision）和資產選擇決策（Assetallocationdecision）。資本配置決策：考慮資金在無風險資產和風險組合之間的分配。資產選擇決策：在眾多的風險證券中選擇適當的風險資產構成資產組合。*92資本資產定價模型（CAPM）CAPM由兩個部分構成：由單基金定理導出資本市場線（CML，Capitalmarketline）由資本市場線導出證券市場線（SML，Securitymarketline）CAPM試圖解決這樣的問題：在一個具有風險資產和無風險資產的市場上，如果人人都是理性投資者，則資產應該如何定價的問題？*93CAPM的基本假定投資者根據一段時間內（單期）組合的預期收益率和方差來評價投資組合（理性）所有投資者都可以免費和不斷獲得有關信息（市場有效）資產無限可分，投資者可以購買任意數量的資產投資者可以用無風險利率借入或者貸出貨幣不存在稅收和交易費用同質期望（Homogeneousexpectations）：由于投資者均掌握了馬克維茨模型，他們對證券的預期收益率和標準差和協方差的看法一致。*94若所有的投資者信息成本相同（假定2），都能獲得相同的信息，都將均方分析（假定6）應用于同樣廣泛的證券（假定3和假定4），在一個相同的計劃期內計劃他們的最優風險投資組合（假定1），投資順序內容也相同（假定6），且不考慮其他因素（假定5），則他們必然達到相同結構的最優資產組合。投資者的不同僅僅是風險偏好和擁有的投資稟賦不同。*952.2.2資本市場線同質期望（Homogeneousexpectations）：由于理性投資者均會使用馬克維茨的資產組合模型。即市場中的每個投資者都是資產組合理論的有效應用者。投資者對每個資產回報的均值、方差以及協方差具有相同的預期。投資者之間的差異：風險規避程度。即資金在風險基金和無風險資產的投資比例的差異。*96市場均衡：由單基金定理，每個理性投資者都將從市場上購買基金M（當然購買數量不同），因為M惟一。每個投資者購買數量的總和=供給，因為這樣才能使市場均衡。該基金M應該是包括那些證券呢？（對這個問題的回答構成了CAPM的核心內容）市場資產組合（Marketportfolio）：資產組合中每一種證券的投資比例與該證券的市值相同。對股票市場而言，就是構造一個包括所有上市公司股票，且結構相同的基金（如指數基金）。*97例子：最簡單的資本市場假設這個世界上存在均衡的風險證券市場：只有兩種風險證券1和2，證券1的價格是1，數量是1。證券2的價格是2，數量是2，故整個市場的市值是5。只有兩個投資者A和B，顯然兩個投資者的投資在風險證券市場的投資總和也是5。假設A擁有1，B擁有4。由于兩個人均會持有同一基金（單基金定理），即他們在風險資產上的投資結構相同（w1，w2）請問他們將如何投資呢？結論：投資者的投資比例與市場上存在的風險資產的市值比例相同，即投資者A和B都購買市場組合。*98如果IBM股票在市場上占的市值是1%，那么，就意味著每個投資者都會將自己投資于風險資產的資金的1%投資于IBM股票。反證：如果IBM股票沒有進入投資者的資產組合，則投資者對IBM股票需求為零，這將違背均衡條件，IBM股價將下跌，其市值比例也不是1%。所以，市值能夠均衡在1%，恰恰是由于所有投資者都將資金的1%投資IBM。市場上所有的證券都類似于IBM股票。風險基金M＝市場組合（Marketportfolio）因為只有當風險基金等價于市場組合時，才能保證：（1）全體投資者購買的風險證券等于市場風險證券的總和——市場均衡；（2）每個人購買同一種風險基金——單基金定理。*99m資本市場線CML*100CML是無風險資產與風險資產構成的組合的有效邊界。CML的截距被視為時間的報酬CML的斜率就是單位風險溢價在金融世界里，任何資產組合都不可能超越CML。由于單個資產一般來說并不是最優的資產組合，因此，單個資產也位于該直線的下方。*101CML的擴展沒有無風險資產盡管短期國債名義上是無風險資產，但是，它們的實際收益是不確定的。CML退化：投資者不得不在風險資產的有效率邊界上選擇資產組合。具有無風險借出但無借入情況下的資產組合選擇CML＋均方有效前沿*102E(r)FAPQCMLSt.Dev具有無風險借出但無借入情況下的資產組合選擇更多風險忍耐的投資者更少風險忍耐的投資者*103無風險借貸利率不相等條件下的CML：三段曲線個人如果要借款投資于風險資產組合，必須付出比國庫券利率高的利率。例如，經紀人索要的保證金貸款利率就高于國庫券利率。E(r)FAPQBCMLSt.Dev高風險忍耐的投資者中風險忍耐的投資者低風險忍耐的投資者*104E(r)FCMLSt.Dev高風險忍耐的投資者中風險忍耐的投資者低風險忍耐的投資者*1052.2.3證券市場線（SML）CML將一項有效資產組合的期望收益率與其標準差聯系起來，但它并未表明一項單獨資產的期望收益率是如何與其自身的風險相聯系。CAPM模型的最終目的是要對證券進行定價，因此，就由CML推導出SML。命題8.4（證券市場線定理）：若市場投資組合是有效的，則任一資產i的期望收益滿足證明關鍵：在組合環境下考慮資產的定價問題！*106

證明：考慮持有權重w資產i，和權重(1-w)的市場組合m構成的一個新的資產組合，由組合計算公式有證券i與m的組合構成的有效邊界為im；im不可能穿越資本市場線；當w=0時，曲線im的斜率等于資本市場線的斜率。σmrfri市場組合*107*108證券市場線（Securitymarketline）SML*109方程以為截距，以為斜率。因為斜率是正的，所以越高的證券，其期望回報率也越高。稱證券市場線的斜率為風險價格，而稱為證券的風險。由的定義，我們可以看到，衡量證券風險的關鍵是該證券與市場組合的協方差而不是證券本身的方差。*110思考：現實中的證券有沒有可能高（低）于證券市場線？..*111證券市場線與系統風險由于證券的實際收益會偏離SML，不妨設某種資產i的收益為系統風險非系統風險問題：用方差與β測量證券風險性質相同嗎？*112系統風險系統風險（或市場風險）：由共同的宏觀經濟因素帶來的，對整個經濟都起作用的風險。如：利率、匯率風險證券的系統風險本質上是該證券與市場上所有證券的協方差加權和。由于一種證券不可能與市場上所有證券之間都相互獨立，故系統風險不為0。*113非系統性風險定義：產生于某一證券或某一行業的獨特事件，如破產、違約等，與整個證券市場不發生系統性聯系的風險。即總風險中除了系統風險外的偶發性風險，或稱殘余風險和特有風險（Specialrisk）。非系統風險可以通過組合投資予以分散，因此，投資者可以采取措施來規避它，所以，在定價的過程中，市場不會給這種風險任何酬金。對單個證券而言，由于其沒有分散風險，因此，其實際的風險就是系統風險加上特有風險，所以其收益就是投資組合的貝塔值公式命題：組合的貝塔值是組合中各個資產貝塔值的加權平均。*115命題：系統風險無法通過分散化來消除。*116結論：貝塔、證券市場線、系統風險β衡量的風險是系統風險，無法通過分散化消除。證券的期望收益是關于β的線性函數，這表明市場僅僅對系統風險進行補償，而對非系統風險不補償。非系統風險可以由技術手段來消除SML雖然是由CML導出，但其意義不同：（1）CML給出的是市場組合與無風險證券構成的組合的有效集，任何資產（組合）的期望收益不可能高于CML。（2）SML給出的是單個證券或者組合的期望收益，它是一個有效市場給出的定價，但實際證券的收益可能偏離SML。*117SML的應用：項目選擇已知一項資產的買價為p，而以后的售價為q，q為隨機的，則隨機條件下的貼現率（風險調整下的利率）*118例：某項目未來期望收益為1000萬美元，由于項目與市場相關性較小，β=0.6，若當時短期國債的平均收益為10％，市場組合的期望收益為17％，則該項目最大可接受的投資成本是多少？*1192.2.4股票的風險因子由CAPM，股票的回報波動的因子是市場組合回報率的波動，對于一個股票其貝塔相對固定若忽略由此通過市場因子rm和無風險利率兩個因素作用于股票i，就成了股票因子的風險來源，若在短期內，可以忽略無風險利率的影響*1202.3債券模型與敏感性分析市場利率的升降對債券投資的總報酬具有影響：債券本身的溢價或損失（資本利得），利息收入和再投資收益。債券風險管理的重要策略之一就是，如何消除利率變動帶來的風險，即利率風險免疫（Interestrateimmunization），即使得債券組合對利率變化不敏感。*1212.3.1久期(Duration)D為Macaulay久期，D*為修正久期，當y很小時，二者近似相等。利率或到期收益率*122久期是債券價格對利率敏感性的度量，久期越大同樣利率變化引起的債券價格變化越大久期是到期時間的加權平均，權重是t時刻現金流的現值占總現值的比例*123久期：現金流現值翹翹板的支點時間現值久期：以現金流占總現值的比例為權重，對每次現金流發生時間加權平均的結果！*124久期的簡便算法：證明：不妨將面值單位化為1，息票率為c，則兩邊取對數得到*125所以，息票率c越大，則Macaulay久期D越小。2.3.2久期與債券的風險久期與債券風險的關系如下意義：在收益率微小變動下，債券價格的回報率的標準差（風險）為收益率的D*倍。*127久期與債券的風險例子：假設一個10年期零息債券，10年期即期利率為8％且具有0.94%的波動，則該債券價格的波動率為？*1282.3.3凸性及其性質久期可以看作是債券價格對利率波動敏感性的一階估計。凸性則是二階估計，它可以對久期計量誤差進行有效的校正。久期對利率的敏感性進行測量實際上只考慮了價格變化與收益率之間的線性關系。而實際上，市場的實際情況是非線性的。*129凸性是根據債券價格p對收益率y的二階導數給出的，其金融學意義比較難以理解，其中一種解釋把凸性看成久期對利率的敏感度，這是錯誤的。凸性的金融學含義=1下面證明*132凸性的金融學含義由以上的推導可知又由于則*133記這樣*134注意：久期是平均意義上的到期時間。凸性的意義：在久期給定的情況下，凸性反映了債券帶來的現金流的集中程度，現金流越集中凸性越小，現金流越分散則凸性越大。*135在這里回報r是關于利率變化⊿y的函數，這對于風險計量模型具有非常重要的意義對于市場風險計量，只要知道了dy的變動規律，則r的變動規律可以通過定價方程得到。*136例子到期收益率5％債券價格100調整久期4.33年凸性26.3849給定以上數據，當到期收益率上升到7％時，債券的價格將如何變化？*137例子：債券收益率的模擬假設市場年利率變化服從均值為0.01，方差為0.0025的正態分布，由上文給定的參數，利用EViews程序進行仿真。EViews由nrnd產生標準正態分布隨機數Seriesdy=0.01+0.05*nrndSeriesreturn=-4.33*dy+0.5*26.3849*dy^2由此就可以得到回報序列的分布，進而計算極端損失。*1382.3.4債券組合的敏感性在y0處展開，債券i的回報率可以表示為*139例子：債券組合的風險Settle='19-Aug-1999';Maturity=['17-Jun-2010';'09-Jun-2015';'14-May-2025'];Face=[100;100;1000];CouponRate=[0.07;0.06;0.045];Yields=[0.05;0.06;0.065];dY=0.002PortfolioPrice=100000PortfolioWeights=ones(3,1)/3可由Matlab程序計算該組合的久期和凸性以及回報率的變化。*140例子：債券組合的風險Durations=7.747410.006013.2010Convexities=76.3956134.8361261.6721PortfolioDuration=10.3181PortfolioConvexity=157.6346Return=-0.0203NewPrice=9.7968e+0042023/10/14141金融工程與風險管理第3章金融工程的基本分析方法2023/10/141423.1無套利定價法套利（Arbitrage）：能帶來利潤的零風險和零凈投資的戰略。零投資（zeroinvestment）：構建一個自融資組合（self-financingportfolio）。無風險（riskfree）正收益（positivereturn）例如：某人從A銀行以5%的年利率借入，同時以6%的年利率存入B銀行，這就構成了套利。2023/10/14143兩種套利途徑：當前時刻凈支出為0，將來獲得正收益（收益凈現值為正）當前時刻一系列能帶來正收益的投資，將來的凈支出為零（支出的凈現值為0）。套利=免費的午餐。通過套利將市場從非均衡拉向均衡，故金融資產的均衡價格是無套利條件下給出，形成了無套利定價原則。一個均衡的市場是不存在套利機會的，金融資產的均衡價格不可能提供套利機會。無套利并不需要市場參與者一致行動，實際上只要少量的理性投資者就可以使市場無套利。2023/10/14144案例2-1假設現在6個月即期年利率為10%（連續復利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6個月到1年期的遠期利率定為11%，試問這樣的市場行情能否產生套利活動？答案是肯定的。2023/10/14145回顧：連續復利的概念若名義利率為r，一年（期）平均付息m次，則相應的有效利率rm為后者為連續復利，如果是T年（期），則2023/10/14146套利過程是：交易者按10%的利率借入一筆6個月資金（假設1000萬元）簽訂一份協議（遠期利率協議），該協議規定該交易者可以按11%的利率，在6個月后從市場借入資金1051萬元（等于1000e0.10×0.5）。按12%的利率貸出一筆1年期的款項金額為1000萬元。1年后收回1年期貸款，得本息1127萬元（等于1000e0.12×1），并用1110萬元（等于1051e0.11×0.5）償還1年期的債務后，交易者凈賺17萬元（1127萬元-1110萬元）。這是哪一種套利？

2023/10/14147無套利的定價法的應用原理：

無套利定價的關鍵技術是所謂“復制”技術，即用一組證券來復制另外一組證券。

如果兩種資產（組合）的現金流特征完全相同，根據無套利原理，二者可以相互復制如果A資產（組合）與B資產（組合）的風險完全相同，則已知A資產的收益，就可以推斷B的收益，從而得到B的資產的定價。2023/10/141483.2金融工程的基本假設金融工程需要通過建立模型來實現風險的定量化，為此，需要對現實的世界做出一定的假設市場無摩擦性（frictionless）無交易成本、無賣空限制，簡化金融工具的定價分析過程，并由理想的市場進一步到現實的市場。無對手風險（counterpartrisk）：交易的任何一方無違約市場參與者厭惡風險，且希望財富越多越好。市場不存在套利機會。這是金融工程最重要的假設。2023/10/14149案例2-2無套利定價法運用到期權定價中假設一種不支付紅利的股票，目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。假設現在的無風險年利率等于10%，問題：求一份3個月期執行價格為10.5元的該股票歐式看漲期權的價值。

2023/10/14150為了找出該期權的價值，可構建一個由一單位看漲期權空頭和m單位的標的股票多頭組成的組合。若股票價格＝11，則該期權執行，則組合價值為11m－0.5若股票價格＝9，則該期權不執行，則組合價值為9m為了使該組合在期權到期時無風險，m必須滿足下式：

11m－0.5＝9m，即m=0.25組合價值為2.25元2023/10/14151由于該組合中有一單位看漲期權空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場價格為10元，因此，從無套利出發，期權費f（期權的價值）必須滿足根據無套利定價原理，無風險組合只能獲得無風險利率，所以組合的現值為2023/10/14152無套利定價法的應用

金融工具的模仿（mimicking）即通過構建一個資產（組合）使之與被模仿的金融工具具有相同或相似的盈虧狀況。注意：盈虧狀況相似或者相同，但價值可能有所不同。金融工具的合成（compound）即通過構建一個資產（組合）使之與被模仿的金融工具具有相同價值。合成是建立在模仿的基礎上2023/10/14153案例2-3：模仿股票（themimickingstock)模仿股票：一個買權多頭和一個賣權空頭的組合。假設t時刻，股票買權和賣權的價格分別是ct和pt，兩個期權的執行價格都是X＝St（t時刻股票的價格），到期日股票價格為ST。則到期日的收益為2023/10/14154股票模仿股票模仿股票與實際股票有所區別！2023/10/14155案例2-4合成股票（compoundstock）合成股票的構成是：一個看漲期權的多頭，一個看跌期權的空頭+無風險債券多頭。為消除模擬股票與股票之間的差異（-ct＋pt），需要購買的無風險債券的數量為：-ct＋pt

則到期日，組合的價值為

max(0,ST-X)-max(0,X-ST)=ST-X2023/10/141563.3風險中性定價法無風險資產的收益是確定的，其風險為零，而風險資產的收益具有隨機性——各種狀態的出現具有一定的概率，故具有補償風險的超額收益率。風險資產的效用需要考慮人的風險偏好，而無風險資產只需要考慮收益，與風險偏好無關啟發：改變各個狀態出現的概率，使風險資產的回報率等于無風險收益率——超額收益率為0。2023/10/14157風險中性定價原理風險中性定價原理：在這個改變了概率的世界里，所有證券的預期收益率都等于無風險利率r，所有現金流量都可以通過無風險利率進行貼現求得現值。風險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定聯系：數學中的坐標變換、微觀經濟學中的效用？2023/10/14158應用案例2-2，在風險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為p，下跌的概率為1-p。（雖然有實際的概率，但可以不管），如果風險中性，則該股票無超額收益，這個風險中性世界的概率是同樣，在風險中性的世界里，可以賦予期權價值的概率，該期權同樣只能獲得無風險收益率，則期權的現值為兩種方法求得結果是等價的——風險中性定價本質上仍是無套利定價。2023/10/14159風險中性定價法的含義對于兩個資產組合1和2，其均值和方差分別如下在上述的這種情況下，我們無法比較哪種資產組合占優，此時就將這兩種資產組合放入一個風險中性的世界，比較他們的收益的大小。2023/10/14160比較兩種定價方法假設一個無紅利支付的股票，當前時刻t，股票價格為s，基于該股票的某個期權的價值是f，期權的有效期是T，在這個有效期內，股票價格或者上升到su（u>1），或者下降到sd（1>d>0）。當股票價格上升到su時，我們假設期權的收益為fu，如果股票的價格下降到sd時，期權的收益為fd。2023/10/14161無套利定價法的思路首先，構造由m股股票多頭和一個期權空頭組成的證券組合，并計算出該組合為無風險時的m值。2023/10/14162如果無風險利率為r，則該無風險組合的現值為在無套利假定下，構造組合的成本滿足將（3.1）代入（3.2）整理得到2023/10/14163總結：風險中性定價的思路假定風險中性世界中股票的上升概率為p，由于股票的期望值按無風險利率貼現，其現值必須等于該股票目前的價格，因此該概率可通過下式求得：2023/10/14164由上式可見，期權價值只與無風險利率、股票上漲（下跌）的幅度和時間有關，而不依賴于股票上漲的實際概率。這完全違反直覺！期權的價值依賴于標的資產的上漲（下跌），但未來上升和下跌的概率已經包含在股票的價格中！2023/10/141653.3狀態價格定價技術定義：在特定的狀態發生時回報為1，否則回報為0。如果未來時刻有N種狀態，而這N種狀態的價格我們都知道，那么我們只要知道某種資產在未來各種狀態下的回報狀況以及市場無風險利率水平，我們就可以對該資產進行定價，這就是狀態價格定價技術。該方法是無套利定價原則和證券復制技術的具體運用。2023/10/14166案例2-5A是有風險證券，當前的價格PA，一年后其價格要么上升到uPA，要么下降到dPA。這就是市場的兩種狀態：上升狀態（概率是q）和下降狀態（概率是1-q），由A證券的價格變化可以構造兩個基本證券。uPAdPAPAq1-q2023/10/141671、構造兩個基本證券（單位證券）。基本證券1在證券市場上升時價值為1，下跌時價值為0；基本證券1現在的市場價格是πu，基本證券2恰好相反，在市場上升時價值為0，在下跌時價值為1。基本證券2的價格是πd。

10πuq1-q01πdq1-q2023/10/14168q1-qπuuPA+πddPA1×uPA＋0×dPA＝uPA0×uPA＋1×dPA＝dPAuPAdPAPAq1-q2、令基本證券的現金流等價于證券A。購買uPA份基本證券1和dPA份基本證券2組成一個假想的證券組合根據無套利假設2023/10/14169由此可見，該組合在T時刻無論發生什么情況，都能夠產生和證券A一樣的現金流，所以兩個基本證券的組合是證券A的復制品。根據無套利原理，復制品與被復制對象的市場價格應該相等，即或者（3.3）2023/10/141703、求兩個基本證券當前的價值在T時刻無論出現什么狀態，各1個單位基本證券構成的組合其終值為1元。q1-q1πu+1πd1×1＋0×1＝10×1＋1×1＝1

因此，該組合是無風險的，根據無套利原理該基本證券組合的收益率，只能是無風險收益率，若無風險收益率為r，則（3.4）tT2023/10/14171所以由（3.3）和（3.4）聯立得到注意：在上述的兩個等式中，實際的概率并沒有在等式中出現？狀態價格定價技術：（1）由市場上已知證券的狀態得到基本證券；（2）由基本證券來模擬未知的證券，使他們終值相等，從而得到未知證券的現值。2023/10/14172例子：狀態價格法定價技術假設有價證券的市場情況如下：PA＝100，r＝2％，u＝1.07，d＝0.98，T－t＝1，若另外有一個證券B，其價格1年后可能上升為103，也可能下降為98.5元，求證券B的合理價格。計算步驟：由證券A構造基本證券1和基本證券2；基本證券來復制證券B：uPB份的基本證券1和dPB份的基本證券2。2023/10/141732023/10/14174結論：只要有具備上述性質的兩個基本證券存在，我們就能夠通過復制技術，為金融市場上的任何有價證券定價。擴展二叉數模型。關于有價證券的價格上升的概率q，雖依賴于人們作出的主觀判斷，但是人們對q認識的分歧不影響為有價證券定價的結論。無套利分析（包括其應用狀態價格定價技術）的過程與結果同市場參與者的風險偏好無關。2023/10/14175PAu1PAu1u2PAu1d1PAd1d2PAd1PA二叉數模型的基本原理176金融工程與風險管理第4章衍生金融工具的定價（1）1774.1遠期與期貨的定價一個農民想把他的牛賣掉，若t時刻牛價格為St，如果他簽訂一個在T（T>t）時刻賣牛的期貨合同，在t時刻這個牛期貨應該如何定價？若不計其他因素若牛能夠在今日賣掉，獲得現金，以無風險利率投資就獲得利息。178定理4.1（現貨-期貨平價定理）：假設期貨的到期時間為T，現貨價格為S0，則遠期價格F0滿足F0=S0erT。證明：（反證法）我們可以采用套利定價的方法來證明上述結論。假設F0>S0erT

，考慮下述投資策略：投資者在當前（0時刻）借款S0用于買進一個單位的標的資產（longposition），借款期限為T，同時賣出一個單位的遠期合約(shortposition)，價格為F0。在遠期合約到期時（T時刻），投資者用持有的標的資產進行遠期交割結算，因此獲得F0，償還借款本息需要支出S0erT。179因此，在遠期合約到期時，他的投資組合的凈收入為F0-S0erT

，而他的初始投入為0，這是一個無風險的套利。反之，若F0<S0erT，即遠期價格小于現貨價格的終值，則套利者就可進行反向操作，即賣空標的資產S0，將所得收入以無風險利率進行投資，期限為T，同時買進一份該標的資產的遠期合約，交割價為F0。在T時刻，套利者收到投資本息S0erT，并以F0現金購買一單位標的資產，用于歸還賣空時借入的標的資產，從而實現S0erT-F0的利潤。上述兩種情況與市場上不存在套利機會的假設矛盾，故假設不成立，則F0=S0erT。證畢。180如果這只牛在10天后交割，而這只牛在此期間會產下一頭小牛，假定這只小牛的現值為I，那牛的遠期價格該是多少？如果這只牛在交割后才會產下一頭小牛，那牛的遠期價格該是多少？181如果遠期的標的資產提供確定的紅利。假設紅利是連續支付的，紅利率為q。由于具有紅利率q，該資產的價格才為S0。若沒有這個紅利存在，則該資產的價格為

故有紅利率q的資產，當前價格為S0，等價于價格為的無紅利資產。由無紅利的資產的定價公式可得182兩個推論（可生息資產的遠期價格）以上證明的是標的資產本身不帶來利息的遠期價格。如小麥遠期。但是，對于持有期間可以生息的資產，則需要對公式進行調整，如債券遠期。標的資產在遠期合約到期前獲得收益的現值為I，則183證明：從單利到復利注意：債券的貼現率不等于無風險收益率184如果遠期的標的資產提供確定的紅利。假設紅利是連續支付的，紅利率為q。由于具有紅利率q，該資產的價格才為St，它等價于價格為

的無紅利資產。由無紅利的資產的定價公式可得185敏感性分析注意：（1）風險因素有兩個，現貨價格與無風險利率。（2）由于是指數函數，敏感性方程為非線性方程。186例4.1假設2年期即期年利率（連續復利，下同）為10.5%，3年期即期年利率為11％，本金為100萬美元的2年×3年遠期利率協議的合同利率為11％，請問理論上,遠期利率應為多少？該協議利率合理嗎？該遠期利率協議的價值是多少？187tstl0A188由此可見，由于協議利率低于遠期利率（理論利率），這實際上給了多方（借款方）的優惠，故合約價值為正。反之，當協議利率高于遠期利率的時候，空方獲利，這意味著遠期合約的價值為負。遠期合約的價值總是從多方的視角來看的！1894.2期貨合約——遠期的組合三個制度性特征：逐日盯市、保證金要求、期貨清算所，逐日盯市將履約期限縮短為1天。若7月1日購買了1份83天的期貨合約，當日期貨價格為0.61美元，次日為0.615美元。這等價于7月1日購買了一份期限為83天的遠期合約，其交割價格為0.61美元7月2日遠期合約以0.615美元被清算，并被一份期限為82天，交割價格為0.615美元的新的遠期合約所代替。思考：遠期能否看成是期貨的組合？190討論：期貨與遠期的差異假定一個5000蒲式耳小麥期貨和遠期只有3日期限，多方損益日期期貨價格（元）遠期現金流期貨現金流7月1日4007月2日4.105007月3日40-500191討論：期貨與遠期的差異如果利率固定，則期貨合約和遠期合約等價。（CIR定理）如果利率浮動，則期貨與遠期可能不等價。考慮例子中，2日的利息遠高于3日，結果如何？顯然，多方偏好期貨合約，則期貨合約價值上升，反之則反。192一般來說，遠期與期貨存在一定的差異：如果期貨和遠期的到期時間只有幾個月，那么，在大多數情況下，二者價格的差異常常小到可以忽略不計。隨著到期時間的延長，二者價格的差異可能變得比較顯著。若標的資產價格與利率正相關，則期貨合約價值高于遠期，反之則反利率上升→標的資產價格上升→多頭獲利實現（盯市）→再投資收益增加利率下降→標的資產價格下降→期貨多頭虧損→以低成本融資193CIR定理：期貨與遠期等價CIR定理：如果利率固定（Constant），那么遠期價格與期貨價格相同。證明的思路：期貨是一連串不斷更新的遠期。根據無套利定價的原理，可以讓遠期和期貨相互復制。CIR的思路：以期貨組合復制遠期，由遠期推斷期貨。遠期：到期日結算（中間沒有現金流）期貨：每日結算（每日都有現金流）194證明：（byCox，Ingersoll，Ross）假設期貨合約的有效期為n天，用Fi表示第i天末（0<i<n-1）的期貨價格，δ表示每天的無風險利率（常數）。不計交易費用，考慮下述投資策略第0天末（即合約開始的時候）持有eδ單位的期貨多頭第1天末把頭寸增加到e2δ第2天末把頭寸增加到e3δ第n-1天末把頭寸增加到enδ195196也可以作如下分析：（1）在第0天末（第1天初）買進eδ單位的期貨（2）在第1天末（第2天初）把頭寸增加到e2δ，結清上一日的eδ單位（3）在第2天末（第3天初）把頭寸增加到e3δ，結清上一日的e2δ單位…….（n）在第n－1天末（第n天初）把頭寸增加到enδ單位，結清上一日的e(n-1)δ單位

。197第2天末盈虧的現值第1天末盈虧的現值第i天末盈虧的現值198整個投資策略，在n天末的價值為第i天末盈虧的終值相當于持有enδ單位的遠期199下面，以無套利分析方法來給出遠期-期貨等價證明。考慮兩種投資策略策略1，構建包含兩種資產的組合1：0時刻買進一個面值為F0的無風險債券，n時刻賣出；投資上述的期貨組合T時刻，組合1價值為注意：初始投資僅為F0200策略2：構建資產組合2假設第0天的遠期價格為G0,則在無風險債券上投資G0第0天末買進enδ單位的遠期合約在T時刻，組合的價值為注意：初始投資僅為G0201由于期末兩個組合的價值相等，即則初始投資額必須滿足因此，期貨價格等于相同期限的遠期價格，期貨僅僅是遠期的標準化，遠期價格的計算公式適用于期貨。問題：期貨合約的價值呢？202例子：外匯遠期（期貨）風險估計假設一家美國公司持有3個月后到期的，以1500萬美元兌換1000萬英鎊的遠期合約。從美國公司的角度分析其風險，假設當前時刻t為1996年5月20日，要預測5月21日的所有可能情形。1、識別風險因子。t美元英鎊英鎊利率美元利率英鎊/美元即期匯率2032、市場因子預測5月21日合約的可能值：樣本區間1995年12月29日~1996年5月20日（100個交易日）

15.4696.1211.53932684.1925.3796.0631.53132935.54…………995.4696.00011.53633639.621005.4696.00031.55734106.442044.3交叉套期保值利用現貨價格和期貨價格變化的相關性，通過在期貨市場和現貨市場的相反操作來使它們的價格變化相互抵消，從而消除現貨投資的風險。例如以股指期貨對股票指數基金進行套期保值問題：如果要保值的股票組合與指數組合不同，如何進行套期保值？交叉套期保值：當要保值的現貨與期貨合約的標的資產的波動不完全同步時，需要確定合適的套期保值比率。205套頭保值比率h

：對1份現貨資產的多頭（空頭）頭寸，要用h份期貨的空頭（多頭）進行套期保值。由此構造的套期保值組合為：1份現貨資產的多頭＋h份期貨合約的空頭在某個t時刻，該組合的價值為206套期保值模型若已知套期保值者的目標是使組合的方差最小化則有207最優套頭比h：使得套期保值工具頭寸與現貨頭寸構成的投資組合風險最小的套頭比h。現貨工具與套期保值工具的相關系數的平方稱為主導系數（或決定系數）基差風險：若套期保值不能完全消除價格風險，則投資者還必須承擔剩余的風險，把在采取套期保值措施以后剩余的風險稱為基差（basic）風險。208某個基金經理希望利用S&P500指數期貨對他管理的股票基金進行為期3個月的套期保值，但是該組合只包含10種股票，故組合價值變化與指數的變化不能保持完全一致，故需要計算套期保值比率基金經理應賣出11份的期貨合約，才能對組合進行保護。2094.4互換定價及其風險因子考慮一個2003年9月1日生效的3年期的利率互換，名義本金是1億美元。B公司同意支付給A公司年利率為5％的固定利息，同時A公司同意支付給B公司以LIBOR