第一章觀測誤差及其傳播權的定義？1-5權與定權的常用方法？如圖所示，在水準測量中，A、B、C為三個已知點，P為待定點，由3個已知點分別向待定點做水準測量，假設每公里的觀測精度相同，而三條水準路線的長度不同，分別為S1、S2、S3，最終P點高程如何計算？取三次測量的平均值可以嗎？設三條水準路線求得的P點高程分別為：則：權的原始語義之一，就是秤錘的意思?！稄V雅·釋器》曰：“錘，謂之權”。權的定義1-5權與定權的常用方法一、權的定義表示各觀測值方差之間按比例關系的數字特征——權數學描述：設有觀測值他們的方差為如選定任一常數則定義的權。為觀測值稱權之間的比例關系:權之比=相應方差倒數之比權的定義1-5權與定權的常用方法例：已知水準網所有水準路線等精度，且各條路線的距離為假定每公里觀測高差的中誤差為得權各線路觀測高差的中誤差：若若得權權之間比例：權的定義3.權是用來比較各觀測值間精度高低的，是相對精度指標，權的意義不在于其本身數值大小，重要是其之間的比例關系.對于單個觀測值而言，權無意義。1-5權與定權的常用方法權的性質：1.選定一個值，即有一組對應的權。反之亦成立。4.為了使權能起到比較精度高低的作用，同一問題只能選定一個值。2.一組觀測值的權，其大小隨著的不同而異，但不論選用何值，權之間的比例關系不變。6.事先給出一定的條件，就可以確定出觀測值的權的數值。5.權與中誤差的平方成反比，中誤差越小，權越大，表明觀測值越可靠。權的定義1-5權與定權的常用方法二、單位權中誤差權等于1的觀測值稱為單位權觀測值權等于1的觀測值的方差稱為單位權方差，也稱為方差因子權等于1的觀測值的中誤差稱為單位權中誤差權的單位基礎概念同類觀測值：權是無量綱，無單位不同類觀測值：權有單位例：邊角網中設測角中誤差單位為“秒”，測邊中誤差單位為“mm”若單位取“秒”，則角度的權無單位，邊長的權的單位為若單位取“mm”，則邊長的權無單位，角度的權的單位是權的定義1.設單位長度（例如一公里）的距離觀測值的方差為，則全長為S公里的距離觀測值的方差為取長度為C公里的距離觀測值方差為單位權方差，即：則距離觀測值的權為：1-5權與定權的常用方法三、定權常用方法1.距離觀測值的權2.設長度為S公里的距離觀測值的方差為，和分別為測距固定誤差和比例誤差。取單位權方差則距離觀測值的權為：1.設單位長度（例如一公里）的距離觀測值的方差為，則全長為S公里的距離觀測值的方差為取長度為C公里的距離觀測值方差為單位權方差，即：則距離觀測值的權為：權的定義1-5權與定權的常用方法設每站觀測高差精度相同，其中誤差均為如圖所示，在水準網中，有n=7條水準路線，現沿每一條路線測定兩點間的高差，得各路線的觀測高差為，各路線的測站數分別為由協方差傳播律得，各觀測高差的中誤差為設單位權中誤差為：由權定義得：且有關系：權的定義1-5權與定權的常用方法2.水準測量的權1.若每一測站觀測高差的精度相同，其方差均為；第i條水準線路的觀測高差為，測站數為,則第i條水準線路（觀測高差）的方差為：取測站數為C的高差觀測值為單位權方差：則第i條水準線路（觀測高差）的權為：若某段高差的測站數，則他的權為當時，有C的兩個意義：（1）C是1測站的觀測高差的權；（2）C是單位權觀測高差的測站數各測站觀測高差同精度時，各路線的權與測站數成反比權的定義1-5權與定權的常用方法由協方差傳播律得，各觀測高差的中誤差為設單位權中誤差為：由權定義得：且有關系：在水準測量中，若已知每一公里的觀測高差的中誤差均相等，設為已知各路線的觀測距離為權的定義1-5權與定權的常用方法2.水準測量的權則第i條水準線路（觀測高差）的方差為：2.設每公里的觀測高差的方差均相等，均為；第i條水準線路的觀測高差為，長度為公里，則線路長度為公里的觀測高差的權為：取線路長度為C公里的觀測高差的方差為單位權方差：若某段高差的測站數，則他的權為當時，有C的兩個意義：（1）C是1公里的觀測高差的權；（2）C是單位權觀測高差的公里數每公里觀測高差同精度時，各路線的權與距離數成反比權的定義1-5權與定權的常用方法在水準測量中，究竟是用水準路線的距離S定權，還是用測站數定權，要是具體情況而定。一般來說，起伏不大的地區，每公里的測站數大致相同，可按水準路線的距離定權；而起伏較大的地區，每公里測站數相差較大，則按測站數定權。權的定義設有，它們分別是次同精度觀測值的平均值，若每次觀測的方差均為，則的方差為

則算術平均值的權為：1-5權與定權的常用方法3.同精度觀測值的算術平均值的權?。喝袅睿瑒t他的權為當時，有C的兩個意義：（1）C是1次的觀測的權倒數；（2）C是單位權觀測值的觀測次數權的定義邊長觀測值的權：則方向觀測值的權：（無單位）。邊長觀測值的方差為（、或）1-5權與定權的常用方法4．邊角網中方向觀測值和邊長觀測值的權邊角網中有兩類不同量綱的觀測值：方向（或角度）和邊長。?。涸O方向觀測值的方差為（），權的定義1-5權與定權的常用方法注意：在測量工作中，一般是先根據事先給定的條件，按上述方法確定觀測值權，然后進行平差，再根據權的定義式的變形公式，來求觀測值或其他函數的中誤差。權變形公式適用范圍：該公式不僅適合于觀測值，同時也適合于觀測值的函數。權的定義今天你會定權了嗎？權的定義1-6協因數與協因數傳播律一、協因數與協因數陣為的協因數為的協因數為關于的協因數或相關權倒數權的定義1-6協因數與協因數傳播律由此可得：協因數陣協因數陣的特點：1.主對角元素是隨機變量的協因數，即權倒數。2.非主對角元素是隨機變量關于隨機變量的互協因數，且有，因此協因數陣也為對稱陣。3.表明隨機變量與隨機變量獨立，不相關。權的定義1-6協因數與協因數傳播律二、互協因數陣設有觀測向量和，它們的方差陣分別為和，關于的互協方差陣為，令為的協因數陣為的協因數陣為關于的互協因數陣權的定義1-6協因數與協因數傳播律說明：中的對角元素是各個的權倒數，非對角元素是關于的相關權倒數。2.中的元素就是關于的相關權倒數。

和為和的權逆陣；為關于的相關權逆陣。二、互協因數陣4.因，所以。

和是相互獨立的觀測向量。5.權的定義1-6協因數與協因數傳播律三、權陣設有獨立觀測值，其方差為，權為，單位權方差為。X的協因數陣為：則有：1.是由獨立觀測值的權構成的對角陣。

與權逆陣（協因數陣）互為逆陣，通常稱為的權陣權的定義1-6協因數與協因數傳播律1.獨立觀測值的協因數陣、權陣是對角陣，主對角元素就是相應觀測值的權。2.當觀測值相關，其協因數陣是非對角陣，權陣的主對角元素不再是相應觀測值的權。三、權陣權陣說明：則，稱為的權陣。對于相關的觀測向量，我們令權的定義1-6協因數與協因數傳播律例：已知觀測值向量的權陣為，試求觀測值的權解：觀測值向量的協因數陣由協因數的定義可知：說明：當觀測值相關，其協因數陣是非對角陣，權陣的主對角元素不再是相應觀測值的權。權的定義1-6協因數與協因數傳播律四、協因數傳播律設有觀測值向量和的線性函數根據協方差傳播律：顧及協方差陣與協因數陣的關系：化簡得：協因數傳播律廣義傳播律1.線性函數權的定義1-6協因數與協因數傳播律如果Z和W的各個分量是X和Y的非線性函數2.非線性函數求微分法，線性化協因數傳播律權的定義1-6協因數與協因數傳播律3.獨立觀測值對于獨立觀測值，假定各的權為則的權陣、協因數陣均為對角陣若有函數權倒數傳播律權的定義1-6協因數與協因數傳播律例：設獨立觀測值的權均為，試求算術平均值的權解：由此知：算術平均值之權等于觀測值之權的n倍權的定義1-6協因數與協因數傳播律例：設獨立觀測值的權均為，試求的權解：此時x為帶權平均值，帶權平均值的權等于各觀測值權之和應用權倒數傳播律：權的定義1-6協因數與協因數傳播律例：設有函數：X的協因數，Y的協因數，X關于Y的互協因數陣為（），又為常系數陣。求解：權的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應用

一、用不同精度的真誤差計算單位權中誤差的基本公式設有一組同精度獨立觀測值，且其數學期望為，真誤差為，，，有觀測值的中誤差為當為有限值時得到中誤差的估值為同精度獨立的真誤差計算中誤差式（2）式（1）權的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應用

若為一組不同精度的獨立觀測值，的數學期望、方差和權分別為和，由權的定義得：單位權中誤差若單位權中誤差已知，則可求得各觀測值的中誤差問題：如何利用一組不同精度的真誤差來求得單位權中誤差現設是一組同精度，且權的獨立真誤差：？通過前面介紹我們知道，為了單位權中誤差，應需要得到一組精度相同且權為1的獨立的真誤差，得到此組真誤差后就可按照式（1）或（2）求解設：權倒數傳播律：式（3）權的定義由式（2）知由此可知通過式（3）求得的是一組同精度且權為1的真誤差，由于是獨立真誤差，故也是一組獨立真誤差，即有1-7由真誤差計算中誤差及其實際應用

理論值估值不同精度獨立的真誤差計算單位權中誤差權的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應用

二、由真誤差計算中誤差的實際應用一般情況：觀測量真值（或數學期望）不知，因此真誤差不知，因此不能直接利用公式求解中誤差或方差。然而，某些情況下，由若干個觀測量組成的函數，其真值已知，故真誤差可知。如，一個三角形內角和為180°，三角形閉合差就是三角形內角觀測值之和的真誤差。（一）由三角形閉合差求測角中誤差設在一個三角網中，以同精度獨立觀測了各三角形之內角，由各觀測角值計算而得的三角形閉合差分別為，他們為真誤差，由公式得三角形內角和中誤差為：由于設測角方差均為菲列羅公式權的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應用

二、由真誤差計算中誤差的實際應用（二）由雙觀測值之差求中誤差在測量工作中，常常對一系列被觀測量分別進行成對觀測，這種成對觀測稱為雙觀測。設對量，分別觀測兩次，得獨立觀測值和權：第一次：第二次：權：觀測值和是對同一量的兩次觀測的結果，稱為一個觀測對，這種成對的觀測，稱為雙觀測。設對內精度相同，對間精度不同。兩次觀測值的差數：差數的真誤差就是差數本身：權的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應用

由權倒數傳播律得：由雙觀測值之差求得的單位權方差觀測值和的方差第i對觀測值平均值的方差權的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應用

例：設分5段測定A、B兩水準點間的高差，每段各測兩次，其結果列于下表中，試求：（1）每公里觀測高差的中誤差；（2）第二段觀測高差的中誤差；（3）第二段高差的平均值的中誤差；（4）全長一次（往測或返測）觀測高差的中誤差及全長平均值的中誤差段號高差（m）距離S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.7044.03.22.02.63.4權的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應用

解：（1）單位權中誤差（每公里觀測高差的中誤差）為段號高差（m）距離S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.704+8-8+7-8+564644964254.03.22.02.63.416.020.024.524.67.4[]15.292.5權的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應用

段號高差（m）距離S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.36