層次分析法建模8.1預備知識8.2層次分析法建模的根本步驟8.3層次分析法建模的應用實例y層次分析模型背景

日常工作、生活中的許多決策問題作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化

Saaty于20世紀70年代末提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)

AHP——一種定性與定量相結合的、系統化、層次化的分析方法8.1預備知識

1、正互反矩陣：設,假設元素滿足那么稱為正互反矩陣。例如2、一致陣：假設陣，且滿足那么稱為一致陣。例如為一個正互反矩

3、一致陣的性質：對應的特征向量為那么，其余特；假設〔1〕的各行〔列〕的元素對應成比例，從而〔2〕〔3〕的最大特征值為。征值均為零；注：1〕假設為一致陣，那么可表示為：2〕假設為一致陣，那么的任一列向量均為的特征向量。即也是特征向量。

4、定理：階正互反矩陣，那么為最大特征值，設當時，為一致陣。注：階正互反陣為一致陣最大特征值5、正互反矩陣的最大特征值與特征向量的求法：〔1〕冪法：1〕任取歸一化初始向量w(0),k:=0，設置精度2)計算3）歸一化4〕假設5)計算歸一化：分量之和為1，停止；否那么轉2〔2〕和法：列向量歸一化按行求和精確結果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010例：歸一化8.2層次分析法的根本步驟例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住、飲食和旅途條件等因素選擇.步驟：1、建立層次結構模型：將決策問題分為3個層次：目標層O，準那么層C，方案層P；每層有假設干元素，各層元素間的關系用相連的直線表示。目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準那么層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途2.通過相互比較構造判斷矩陣，確定各準那么對目標的權重，及各方案對每一準那么的權重。3.將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的權重。層次分析法將定性分析與定量分析結合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結果。〔一〕成比照較矩陣和權向量1、成比照較矩陣：因素之間兩兩比照，用個因素

C1,C2,…,Cn對上層一個因假設要比較某一層素O的影響，表示和對O的影響之比。全部比較結果可用成比照較矩陣來表示。成比照較矩陣A為正互反矩陣。關于選擇旅游地設要比較各準那么C1,C2,…,C5對目標O的重要性A~成比照較陣A是正互反陣選擇旅游地表示C1與C2對選擇旅游地這個目標O的重要性之比為1：2；

表示C1與C3之比為4：1要由A確定C1,…,C5對O的權重2、比較尺度〔1－9尺度〕尺度13579相同稍強強明顯強絕對強2468Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數1,1/2,…,1/9心理學家認為成比照較的因素不宜超過9個用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對假設干實例構造成比照較陣，算出權向量，與實際比照發現，1~9尺度較優。3、一致性與權向量：一致比較不一致允許不一致，但要求不一致的程度在允許的范圍內先考察完全一致的情況：即成比照較是不一致〔由于各種因素及主觀傾向的干擾〕。將一塊大石頭O砸成n塊小石頭

C1,C2,…,Cn，它們的重量為。作成比照較矩陣，令那么為一致陣。設，那么n塊小石頭對大石頭的權重〔即在大石頭中占的比重〕為而為的特征向量。注：當成比照較矩陣A為一致陣時，A的特征值的歸一化的特征向量w為權向量。即權向量滿足：且〔二〕一致性檢驗：成比照較矩陣通常不是一致陣，不一致的程度要求在一定的范圍內。設稱為一致性指標。當時，A為一致陣，大，A的不一致程度越嚴重。越設RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110注：Saaty的結果如下〔100～500樣本〕稱為一致性比率，其中RI

為隨機一致性指標，取值見下表：當時，認為A的不一致程度在容許范圍內。這時，用成比照較矩陣A的歸一化的特征向量作為權向量〔層次排序權值〕。“選擇旅游地〞中準那么層對目標的權向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根

=5.073權向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗〔三〕層次總排序及其一致性檢驗：1、層次總排序計算某一層次所有因素對于總目標相對重要性的排序權值的過程稱為層次總排序〔從高到低計算〕。

設上一層A

包含m個因素A1,A2,…,Am，其層次總權值為，下一層B

包含n個因素B1,B2,…,Bn，它們對于的層次排序權值分別為，B層總排序權值〔對于總目標〕為：

層次層次ABB層次總排序權值2、層次總排序的一致性檢驗B層次總排序的一致性比率為：要求。目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準那么層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途“選擇旅游地〞中方案層〔第3層〕對準那么層〔第2層〕的權向量及一致性檢驗方案層對C1(景色)、C2(費用)、C3(居住)、C4(飲食)、C5(旅途)的成比照較陣分別為層次P的權向量與一致性比率分別為:所有的均可通過一致性檢驗RI=0.58(n=3)

層次層次CP

C1C2C3C4C5P1P2

P30.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.668

CI0.0030.00100.0050

CR0.0050.00200.0090

層次層次CPC1C2C3C4C5層次P總排序權值0.2630.4750.0550.0900.110P1P2

P30.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6680.3000.2460.456

CI0.0030.00100.0050

“選擇旅游地〞中方案層〔第3層〕對總目標〔第1層〕的總排序的權向量與一致性檢驗方案P1對目標的權重為0.5950.263+0.0820.475…=0.300方案層對目標的總排序的權向量為(0.300,0.246,0.456)TRI=0.58(n=3)方案層總排序的一致性比率為：

層次層次CPC1C2C3C4C5層次P總排序權值0.2630.4750.0550.0900.110P1P2

P30.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6680.3000.2460.456

CI0.0030.00100.0050

例1資金的合理利用某工廠有一筆企業留成利潤要由廠領導決定如何使用。可供選擇的方案有：給職工發獎金、擴建企業的福利設施〔改善企業環境、改善食堂等〕和引進新技術新設備。如何分配這筆資金？10、建立層次結構模型〔如圖〕8.3層次分析法建模的應用實例合理利用企業利潤調動職工積極性C1提高企業技術水平C2改善職工生活條件C3擴建福利事業P2引進新技術新設備P3發獎金P1目標層Z準則層C措施層P20、求解〔1〕構造判斷矩陣〔成比照較矩陣〕Z–CZC1C2C3wC1C2C311/51/351331/310.1050.6370.258Z–C的最大特征值為w=(0.105,0.637,0.258)TRI=0.58〔2〕構造判斷矩陣C1–P、C2–P、C3–PC1P1P2wP1P2131/310.750.25權向量依次為w1=(0.75,0.25)TC2P2P3wP2P311/5510.1670.833C3P1P2wP1P2121/210.6670.333上述三個矩陣均為一致陣，，故。w2

=(0.167,0.833)Tw3

=(0.667,0.333)T〔3〕方案層的總排序的權值表為

層次層次CPC1C2C3層次P總排序權值0.1050.6370.258P1P2

P30.7500.6670.250.1670.33300.83300.2510.2180.531

CI00030、檢驗：總排序的一致性檢驗從而40、結論：從30知層次總排序結果具有滿意的一致性利潤分配方案為：P1占25.1％，P2占21.8％，P3占53.1％。例2科研工程的選擇某科研單位現有三個科研工程，限于人力及物力的條件，只能選擇其中一個工程，主要考慮以下三個因素：〔1〕成果奉獻的大小；〔2〕工程的可行性；〔3〕對人才的培養，試作出合理的選擇。1．建立層次結構模型將決策問題分解成三個層次，最上層為目標層，即選擇科研工程；最下層為方案層，即三個工程P1，P2，P3；中間層為準那么層，包含成果奉獻C1、工程的可行性C2及對人才的培養C3等三個因素〔如圖8.1〕。選擇科研項目可行性C2項目P2人才培養C3成果貢獻C1

項目P3項目P1目標層O

準則層C

方案層P

2．模型求解1〕構造判斷矩陣O－C：將準那么層中三個因素C1,C2,C3兩兩比較，得成比照較矩陣易得,且權向量為由公式得CI=0.005，于是通過了一致性檢驗。2〕構造判斷矩陣C1－P,C2－P,C3－P