銳角三角函數一．知識框架知識概念1、正弦，余弦，正切的概念如圖，在中，〔1〕sinA＝，〔2〕cosA＝，〔3〕tanA＝。asinacosatana30°EQ\f(1,2)EQ\f(\r(3),2)EQ\f(\r(3),3)45°EQ\f(\r(2),2)EQ\f(\r(2),2)160°EQ\f(\r(3),2)EQ\f(1,2)EQ\r(3)2、2.坡度〔坡比〕的概念及表示形式如下圖，我們通常把坡面的鉛直高度和水平寬度l的比叫做坡度〔或坡比〕，坡度常用字母i表示．斜坡的坡度陽坡角的正切值有如下關系：，即坡度是坡角的正切值．1．正切與梯子的傾斜程度的關系：的值越大，梯子越陡．注意：梯子的傾斜程度與梯子和地面的夾角的大小有關，夾角越大說明梯子越傾斜．2．正弦、余弦與梯子的傾斜程度的關系：的值越大，梯子越陡；的值越小，梯子越陡．3.解直角三角形：銳角的正弦，余弦和正切都是∠的三角函數，直角三角形中，除直角外，共5個元素：3條邊和2個角．除直角外只要知道其中2個元素〔至少有1個是邊〕，就可利用以上關系求出另外3個元素．4.仰角，俯角當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角，如下圖，為仰角，俯角：當從高處觀測低處的目標時，仰角：視線與水平線所成的銳角，如下圖，為俯角，例題：題型一：三角函數的定義例1、〔2015?崇左〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，則以下三角函數表示正確的選項是〔A〕A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．tanB=例2、〔2015?慶陽〕在△ABC中，假設角A，B滿足|cosA﹣|+〔1﹣tanB〕2=0，則∠C的大小是〔D〕A．45° B．60° C．75° D．105°例3、〔2015?**〕在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，則BC邊長為〔D〕A．7 B．8 C．8或17 D．7或17【解答】解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，當△ABC為鈍角三角形時，如圖1，∵AB=12，∠B=45°，∴AD=BD=12，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；當△ABC為銳角三角形時，如圖2，BC=BD+CD=12+5=17，應選D．題型分析：〔1〕對于利用三角函數求線段長度的問題，一般要把這條線段放在一個直角三角形中來解決，因此必須先構造出以該條線段為邊的直角三角形。〔2〕在構造直角三角形時，要善于聯系，使題目中的條件能盡量轉化到同一直角三角形中。并且盡量構造出含特殊角的直角三角形。另外還需注意根本的幾何模型，補全根本的幾何模型，也是我們作輔助線的一個常用策略。〔3〕對于一個直角三角形，如果知道除直角的另外兩個元素(至少含一邊)，則可以求出其他三個元素。題型二：坡度的實際應用例1、〔2014?**〕如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為〔B〕A．4米B．6米C．12米D．24米例2、〔2015?巴彥淖爾〕如圖，一漁船由西往東航行，在A點測得海島C位于北偏東60°的方向，前進40海里到達B點，此時，測得海島C位于北偏東30°的方向，則海里C到航線AB的距離CD是〔C〕A．20海里B．40海里C．20海里D．40海里【解答】解：根據題意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=40海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，∴sin60°=，∴CD=40×sin60°=40×=20〔海里〕．應選：C．題型三：利用三角函數求高例1、如圖，小山崗的斜坡的坡度是，在與山腳距離的點處測得山頂的仰角為，求小山崗的高〔結果取整數；參考數據：)．分析：設小山崗的高為．則，又在中，而，所以可得關于的方程，解之即可求得解：設小山崗的高為在中，在中，而tan26.6°=0.50，解得答：小山崗的高為點撥：在直角三角形中根據的邊、角求未知的邊、角時，一般要借助銳角三角函數，此題中正確理解坡度，仰角的概念是關鍵．課堂小測1．〔2015?余姚市模擬〕如圖，△ABC的頂點都是正方形網格中的格點，則cos∠ABC等于〔〕A．B．C．D．2．〔2015?**模擬〕如圖，延長RT△ABC斜邊AB到點D，使BD=AB，連接CD，假設tan∠BCD=，則tanA=〔〕A．B．1 C．D．【解答】解：過B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵tan∠BCD=，設BE=*，則AC=2*，∴tanA===，應選A．3、〔2015?濱海縣一模〕如圖，在平面直角坐標系中，P是∠1的邊OA上一點，點P的坐標為〔3，4〕，則sin∠1的值為〔C〕A．B．C．D．4．〔2015?貴港一模〕假設一個三角形三個內角度數的比為1：2：3，則這個三角形最小角的正切值為〔C〕A．B．C．D．5．〔2015?**〕如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為邊AC的中點，DE⊥BC于點E，連接BD，則tan∠DBC的值為〔〕A．B．﹣1 C．2﹣D．【考點】解直角三角形；等腰直角三角形．【分析】利用等腰直角三角形的判定與性質推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通過解直角△DBE來求tan∠DBC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．又∵點D為邊AC的中點，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于點E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．∴tan∠DBC===．應選：A．【點評】此題考察了解直角三角形的應用、等腰直角三角形的性質．通過解直角三角形，可求出相關的邊長或角的度數或三角函數值．6.〔2014?**〕如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，則壩底AD的長度為〔D〕A．26米B．28米C．30米D．46米7．〔2015?**〕如圖，為了測得電視塔的高度AB，在D處用高為1米的測角儀CD，測得電視塔頂端A的仰角為30°，再向電視塔方向前進100米到達F處，又測得電視塔頂端A的仰角為60°，則這個電視塔的高度AB〔單位：米〕為〔〕A．50B．51 C．50+1 D．101【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題．【專題】壓軸題．【分析】設AG=*，分別在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的長度，然后根據DF=100m，求出*的值，繼而可求出電視塔的高度AH．【解答】解：設AG=*，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG=，∴EG==*，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==*，∴*﹣*=100，解得：*=50．則AB=50+1〔米〕．應選C．【點評】此題考察了解直角三角形的應用，關鍵是根據仰角構造直角三角形，利用三角函數求解，注意利用兩個直角三角形的公共邊求解是解答此類題型的常用方法．8．〔2016?寶山區一模〕計算：﹣．【考點】特殊角的三角函數值．【分析】將特殊角的三角函數值代入求解．【解答】解：原式=﹣=﹣=+﹣=+．【點評】此題考察了特殊角的三角函數值，解答此題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數值．9．〔2016?**模擬〕如圖，在銳角三角形ABC中，AB=10，AC=2，sinB=．〔1〕求tanC；〔2〕求線段BC的長．【考點】解直角三角形；勾股定理．【分析】〔1〕過點A作AD⊥BC于D，根據條件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，進而得出tanC；〔2〕在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD=8，結合CD的長度，即可得出BC的長．【解答】解：〔1〕如圖，過點A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB=10，sinB==，∴=，∴AD=6，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2，∴CD2=〔2〕2﹣62=16，∴CD=4，∴tanC===；〔2〕在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，∴由勾股定理得BD=8，由〔1〕得CD=4，∴BC=BD+CD=12．【點評】此題考察了解直角三角形以及勾股定理，要熟練掌握好邊角之間的關系．課后小測1．〔2014?**模擬〕如圖，將寬為1cm的紙條沿BC折疊，使∠CAB=45°，則折疊后重疊局部的面積為〔〕A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【解答】解：如圖，由題可知△ABC是一個頂角為45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB．作CD⊥AB，垂足為D，則CD=1．∵sin∠A=，∴==AB，∴S△ABC=×AB×CD=，∴折疊后重疊局部的面積為cm2．應選D．2．〔2016?徐匯區一模〕計算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【解答】解：原式=4×﹣2××+=2﹣1+2=2+1．3．〔2016?奉賢區一模〕計算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．【考點】特殊角的三角函數值．【分析】先把各特殊角的三角函數值代入，再根據二次根式混合運算的法則進展計算即可．【解答】解：原式=?+〔〕2﹣+2×=+﹣+=1+．【點評】此題考察的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角度的三角函數值是解答此題的關鍵．4.〔2015?**〕如圖，AD是△ABC的中線，tanB=，cosC=，AC=．求：〔1〕BC的長；〔2〕sin∠ADC的值．【考點】解直角三角形．【分析】〔1〕過點A作AE⊥BC于點E，根據cosC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根據tanB=，求出BE的長即可；〔2〕根據AD是△ABC的中線，求出BD的長，得到DE的長，得到答案．【解答】解：過點A作AE⊥BC于點E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC?cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；〔2〕∵AD是△ABC的中線，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【點評】此題考察的是解直角三角形的知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵，注意銳角三角函數的概念的正確應用．5.〔中考題〕如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2，且l1，l2，l3分別經過點A，B，C，則邊AC的長為．【考點】相似三角形的判定與性質；平行線之間的距離；勾股定理．菁優網所有【專題】壓軸題．【分析】過點B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，在Rt△ABC中運用三角函數可得=，易證△AEB∽△BFC，運用相似三角形的性質可求出FC，然后在Rt△BFC中運用勾股定理可求出BC，再在Rt△ABC中運用三角函數就可求出AC的值．【解答】解：如圖，過點B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如圖．∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴tan∠BAC==．∵直線l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴==．∵EB=1，∴FC=．在Rt△BFC中，BC===．在Rt△ABC中，sin∠BAC==，AC===．故答案為．戰術指導戰術指導解題方法〔1〕求三角函數時先確定適宜的直角三角形，然后再根據三角函數求對應邊的比。〔2〕數形結合思想。銳角的一個三角函數值求其它三角函數值，一般要畫出圖形，設未知數，再根據定義求解。當中沒有直角三角形時，一般通過做輔助線將斜三角形轉化為直角三角形，再求三角函數。〔3〕用三角函數解題時，假設題中沒有直角三角形，則要先構造直角三角形。〔4〕比擬同名三角函數值的大小時，可以利用三角函數的增減性來比擬。〔當為銳角時，隨的增大而增大，隨的增大而增大，隨的增大而減小。〕總結：1．〔2015?日照〕如圖，在直角△BAD中，延長斜邊BD到點C，使DC=BD，連接AC，假設tanB=，則tan∠CAD的值〔〕A．B．C．D．【考點】解直角三角形．【分析】延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，由tanB=，即=，設AD=5*，則AB=3*，然后可證明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的對應邊成比例可得：，進而可得CE=*，DE=，從而可求tan∠CAD==．【解答】解：如圖，延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，∵tanB=，即=，∴設AD=5*，則AB=3*，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=*，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．應選D．【點評】此題考察了銳角三角函數的定義，相似三角形的判定和性質以及直角三角形的性質，是根底知識要熟練掌握，解題的關鍵是：正確添加輔助線，將∠CAD放在直角三角形中．2．〔2015?**〕如圖，斜面AC的坡度〔CD與AD的比〕為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連．假設AB=10米，則旗桿BC的高度為〔〕A．5米B．6米C．8米D．〔3+〕米【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題．【分析】設CD=*，則AD=2*，根據勾股定理求出AC的長，從而求出CD、AC的長，然后根據勾股定理求出BD的長，即可求出BC的長．【解答】解：設CD=*，則AD=2*，由勾股定理可得，AC==*，∵AC=3米，∴*=3，∴*=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，BD==8米，∴BC=8﹣3=5米．應選A．【點評】此題考察了解直角三角形的應用﹣﹣坡度坡角問題，找到適宜的直角三角形，熟練運用勾股定理是解題的關鍵．3．〔2014?**〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E為AB上一點且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，連接FB，則tan∠CFB的值等于〔〕A．B．C．D．【考點】銳角三角函數的定義．【分析】tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC與CF的比值，設BC=*，則BC與CF就可以用*表示出來．就可以求解．【解答】解：根據題意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，設AB=2*，則BC=*，AC=*．∴在Rt△CFB中有CF=*，BC=*．則tan∠CFB==．應選：C．【點評】此題考察銳角三角函數的概念：在直角三角形中，正弦等于比照斜；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊．4．〔2014?**〕小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，此時小明看山頂的角度為60°，求山高〔〕A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題；解直角三角形的應用-坡度坡角問題．【專題】幾何圖形問題．【分析】構造兩個直角三角形△ABE與△BDF，分別求解可得DF與EB的值，再利用圖形關系，進而可求出答案．【解答】解：∵BE：AE=5：12，=13，∴BE：AE：AB=5：12：13，∵AB=1300米，∴AE=1200米，BE=500米，設EC=*米，∵∠DBF=60°，∴DF=*米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．即：1200+*=〔500+*〕，解得*=600﹣250．∴DF=*=600﹣750，∴CD=DF+CF=600﹣250〔米〕．答：山高CD為〔600﹣250〕米．應選：B．【點評】此題考察俯角、仰角的定義，要求學生能借助坡比、仰角構造直角三角形并結合圖形利用三角函數解直角三角形．5．〔2014?**〕如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為〔〕A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里【考點】解直角三角形的應用-方向角問題．【專題】幾何圖形問題．【分析】過點P作垂直于AB的輔助線PC，利三角函數解三角形，即可得出答案．【解答】解：過點P作PC⊥AB于點C，由題意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40〔海里〕，則PB==40〔海里〕．應選：A．【點評】此題主要考察了方向角問題以及銳角三角函數關系等知識，得出各角度數是解題關鍵．6．〔2013?德陽〕如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為60°，熱氣球A與高樓的水平距離為120m，這棟高樓BC的高度為〔〕A．B．C．D．【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題．【分析】過A作AD⊥BC，垂足為D，在直角△ABD與直角△ACD中，根據三角函數的定義求得BD和CD，再根據BC=BD+CD即可求解．【解答】解：過A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD?tan30°=120×=40m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD?tan60°=120×=120m，∴BC=BD+CD=40+120=160m．應選D．【點評】此題主要考察了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，難度適中．對于一般三角形的計算，常用的方法是利用作高線轉化為直角三角形的計算．7．〔2013?聊城〕河堤橫斷面如下圖，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比為1：，則AB的長為〔〕A．12米B．4米C．5米D．6米【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題．【分析】根據迎水坡AB的坡比為1：，可得=1：，即可求得AC的長度，然后根據勾股定理求得AB的長度．【解答】解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，