第三章相似圖形1．成比例線段一、目標(biāo)導(dǎo)航1．了解兩條線段的比的概念；※1.如果選用同一個(gè)長度單位量得兩條線段AB，CD的長度分別是m、n，則就說這兩條線段的比AB:CD=m:n，或?qū)懗?2．假設(shè)線段，則線段叫做成比例線段(或比例線段)；3．與在指定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，即比例式與等積式可以互相轉(zhuǎn)化．二、根底過關(guān)1．假設(shè)2*－5y=0，則y∶*=________，=________．2．如果，則=________．3．假設(shè)a=，b=3，c=3，則a、b、c的第四比例項(xiàng)d為________．4．假設(shè)，則=________．5．在一地圖上，甲、乙兩地的圖上距離是3cm，而兩地的實(shí)際距離為1500m，則這地圖的比例尺為________．三、能力提升6．假設(shè)，且AB=12，AC=3，AD=5，則AE=________．7．O點(diǎn)是正方形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)，則AO∶AB∶AC=________．8．，則以下式子成立的是()A．3*=2yB．*y=6C．D．9．把a(bǔ)b=cd寫成比例式，不正確的寫法是()A． B．C． D．10．線段*，y滿足(*+y)∶(*－y)=3∶1，則*∶y等于()A．3∶1 B．2∶3C．2∶1 D．3∶211．直角三角形的兩條直角邊長的比為a∶b=1∶2，其斜邊長為4cm，則這個(gè)三角形的面積是()cm2．A．32B．16C．8D．412．等腰梯形ABCD的周長是104cm，AD∥BC，且AD∶AB∶BC=2∶3∶5，則這個(gè)梯形的中位線的長是()cm．A．72．8 B．51C．36．4 D．2813．四條線段a、b、c、d的長度，試判斷它們是否成比例"(1)a=16cmb=8cmc=5cmd=10cm(2)a=8cmb=5cmc=6cmd=10cm四、聚沙成塔在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，假設(shè)AB=15cm，AC=10cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD－DC=2cm，求BC的長．4．1線段的比(2)一、目標(biāo)導(dǎo)航1．合比性質(zhì)：如果，則；2．等比性質(zhì)：如果()，則．二、根底過關(guān)1．假設(shè)=3(b+d≠0)，則=________．2．(b+f≠0)，則=___________．3．，=．三、能力提升4．，則以下式子中正確的選項(xiàng)是()A．a(chǎn)∶b=c2∶d2B．a(chǎn)∶d=c∶bC．a(chǎn)∶b=(a+c)∶(b+d)D．a(chǎn)∶b=(a－d)∶(b－d)5．假設(shè)ac=bd()，則以下各式一定成立的是()A． B．C． D．6．，則的值為()A．B．C．2D．7．假設(shè)，且3a－2b+c=3，則2a+4b－3c的值是()A．14 B．42C．7 D．8．假設(shè)，設(shè)A=，B=，C=，則A，B，C的大小順序?yàn)?)A．A＞B＞C

B．A＜B＜CC．C＞A＞B

D．A＜C＜B9．假設(shè)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段AB的延長線上，AB=10，．求線段PQ的長．10．：==．求：⑴的值；⑵的值．11．：*∶y∶z=2∶3∶4．求：⑴；⑵；⑶．12．假設(shè)，且2a－b+3c=21．試求a∶b∶c．四、聚沙成塔13．實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求的值．2．平行線分線段成比例(1)如圖，任意畫兩條直線l1、l2，再畫三條與l1、l2相交的平行線l3、l4、l5，分別量度l3、l4、l5在l1上截得的兩條線段AB、BC和在l2上截得的兩條線段DE、EF的長度，AB︰BC與DE︰EF相等嗎"任意平移l5，再量度AB、BC、DE、EF的長度，AB︰BC與DE︰EF相等嗎"(2)問題，AB︰AC=DE︰()，BC︰AC=()︰DF．(3)歸納總結(jié)：平行線分線段成比例定理三條_________截兩條直線，所得的________線段的比________。例1如圖，假設(shè)AB=3cm，BC=5cm，EK=_____=______。求FK的長"平行線分線段成比例定理推論思考：1、如果把圖中l(wèi)1、l2兩條直線相交，交點(diǎn)A剛好落到l3上，如圖(1)，所得的對應(yīng)線段的比會相等嗎"2、如果把圖中l(wèi)1、l2兩條直線相交，交點(diǎn)A剛好落到l4上，如圖(2)，所得的對應(yīng)線段的比會相等嗎"3、歸納總結(jié)：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長線)，所得的________線段的比_____。3．相似多邊形圖形的相似例1如圖，下面右邊的四個(gè)圖形中，與左邊的圖形相似的是()例2一桌面的長a=1.25m，寬b=0.75(1)如果a=125cm，b=(2)如果a=1250mm，b=750小結(jié)：上面分別采用m、cm、mm三種不同的長度單位，求得的的值是________的，所以說，兩條線段的比與所采用的長度單位_________，但求比時(shí)兩條線段的長度單位必須________．例3：一地圖的比例尺是1：32000000，量得到的圖上距離大約為3.5cm，求到的實(shí)際距離大約是多少分析：根據(jù)比例尺=，可求出到的實(shí)際距離．【穩(wěn)固練習(xí)】1、如圖，從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似嗎"2．如圖，圖形a～f中，哪些是與圖形(1)或(2)相似的"3、以下說確的是()A．小明上幼兒園時(shí)的照片和初中畢業(yè)時(shí)的照片相似.B．商店新買來的一副三角板是相似的.C．所有的課本都是相似的.D．國旗的五角星都是相似的.【能力提升】1、如圖，請測量出右圖中兩個(gè)形似的長方形的長和寬，(1)(小)長是_______cm，寬是_______cm；(大)長是_______cm，寬是_______cm；(2)(小)；(大)．(3)你由上述的計(jì)算，能得到什么結(jié)論嗎"2、在比例尺是1：8000000的“中國政區(qū)〞地圖上，量得與之間的距離是7.5cm，則與之間的實(shí)際距離是多少"3、AB兩地的實(shí)際距離為2500m，在一平面圖上的距離是5相似多邊形如圖的左邊格點(diǎn)圖中有一個(gè)四邊形，請?jiān)谟疫叺母顸c(diǎn)圖中畫出一個(gè)與該四邊形相似的圖形．問題：對于圖中兩個(gè)相似的四邊形，它們的對應(yīng)角，對應(yīng)邊的比是否相等．【結(jié)論】：(1)相似多邊形的特征：相似多邊形的對應(yīng)角______，對應(yīng)邊的比_______．反之，如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角______，對應(yīng)邊的比_______，則這兩個(gè)多邊形_______．幾何語言：在ABC和A1B1C1中假設(shè)．則ABC和A1B1C1相似(2)相似比：相似多邊形__________的比稱為相似比．問題：相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形有什么關(guān)系"結(jié)論：相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形________．例1以下說確的是()A．所有的平行四邊形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似例2、如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角的大小和EH的長度．【穩(wěn)固練習(xí)】1．在比例尺為1﹕10000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30c2．如下圖的兩個(gè)直角三角形相似嗎"為什么"3．如下圖的兩個(gè)五邊形相似，求未知邊、、、的長度．【能力提升】1．△ABC與△DEF相似，且相似比是，則△DEF與△ABC與的相似比是()．A．B．C．D．2．以下所給的條件中，能確定相似的有()(1)兩個(gè)半徑不相等的圓；(2)所有的正方形；(3)所有的等腰三角形；(4)所有的等邊三角形；(5)所有的等腰梯形；(6)所有的正六邊形．A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)3．四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1相似，四邊形ABCD的最長邊和最短邊的長分別是10cm和4cm，如果四邊形A1B1C1D1的最短邊的長是6cm4．如圖，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，假設(shè)梯形CDEF與梯形EFAB相似，求EF的長．4．探索三角形相似的條件四.相似三角形※1.在相似多邊形中，最為簡簡單的就是相似三角形.※2.對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.※3.全等三角形是相似三角的特例，這時(shí)相似比等于1.注意:證兩個(gè)相似三角形，與證兩個(gè)全等三角形一樣，應(yīng)把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上.※4.相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.※5.相似三角形周長的比等于相似比.※6.相似三角形面積的比等于相似比的平方.五.探索三角形相似的條件※1.相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形根本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線，所截得的三角形與原三角形相似.①兩角對應(yīng)相等；②兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等；③三邊對應(yīng)成比例.①一個(gè)銳角對應(yīng)相等；②兩條邊對應(yīng)成比例:a.兩直角邊對應(yīng)成比例；b.斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例.相似三角形在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形．在△ABC與△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且．我們就說△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′，k就是它們的相似比．反之如果△ABC∽△A′B′C′，則有∠A=_____，∠B=_____，∠C=____，且．問題：如果k=1，這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系"【穩(wěn)固練習(xí)】如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.【能力提升】1．如圖，△ABC∽△AED，其中DE∥BC，找出對應(yīng)角并寫出對應(yīng)邊的比例式．2．如圖，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出對應(yīng)角并寫出對應(yīng)邊的比例式．【反思?xì)w納】“三角形相似的預(yù)備定理〞．這個(gè)定理提醒了有三角形一邊的平行線，必構(gòu)成相似三角形，因此在三角形相似的解題中，常作平行線構(gòu)造三角形與三角形相似．相似比是帶有順序性和對應(yīng)性的：如△ABC∽△A′B′C′的相似比，則△A′B′C′∽△ABC的相似比就是，它們的關(guān)系是互為倒數(shù)．思考：如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E。問題：(1)由“DE∥BC〞的條件可得到哪些線段的比相等"(2)根據(jù)以前學(xué)習(xí)的知識如何把DE移到BC上去"(作輔助線EF∥AB)你能證明AE：AC=DE：BC嗎"(3)寫出△ABC∽△ADE的證明過程。歸納總結(jié)：判定三角形相似的(預(yù)備)定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所成的三角形與原來三角形相似。例1如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4c分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性質(zhì)，有，又由AD=EC可求出AD的長，再根據(jù)求出DE的長．【穩(wěn)固練習(xí)】1．以下各組三角形一定相似的是()A．兩個(gè)直角三角形B．兩個(gè)鈍角三角形C．兩個(gè)等腰三角形D．兩個(gè)等邊三角形2．如圖，DE∥BC，EF∥AB，則圖中相似三角形一共有()A．1對B．2對C．3對D．4對3、如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有對相似三角形，寫出來并說明理由。4．如圖，在ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，求CD的長．【能力提升】1．如圖，DE∥BC，(1)如果AD=2，DB=3，求DE：BC的值；(2)如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的長．2、如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h．(設(shè)網(wǎng)球是直線運(yùn)動)相似三角形一、選擇題1．如下圖，在△ABC中，DE∥BC，假設(shè)AD＝1，DB＝2，則的值為()A． B． C． D．2．如下圖，△ABC中DE∥BC，假設(shè)AD∶DB＝1∶2，則以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是()A． B．C． D．3．如下圖，在△ABC中∠BAC＝90°，D是BC中點(diǎn)，AE⊥AD交CB延長線于E點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC4．如下圖，在△ABC中D為AC邊上一點(diǎn)，假設(shè)∠DBC＝∠A，，AC＝3，則CD長為()A．1 B． C．2 D．5．假設(shè)P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B，C的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線截△ABC，截得的三角形與原△ABC相似，滿足這樣條件的直線共有()A．1條 B．2條 C．3條 D．4條6．如下圖，△ABC中假設(shè)DE∥BC，EF∥AB，則以下比例式正確的選項(xiàng)是()A． B．C． D．8．如下圖，△ABC中，AD⊥BC于D，對于以下中的每一個(gè)條件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有()A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)二、填空題9．如圖9所示，身高1.6m的小華站在距路燈桿5m的C點(diǎn)處，測得她在燈光下的影長CD為2.5m，則路燈的高度AB為______．10．如下圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上一點(diǎn)，且，射線CF交AB于E點(diǎn)，則等于______．11．如下圖，△ABC中，DE∥BC，AE∶EB＝2∶3，假設(shè)△AED的面積是4m2則四邊形DEBC的面積為______．12．假設(shè)兩個(gè)相似多邊形的對應(yīng)邊的比是5∶4，則這兩個(gè)多邊形的周長比是______．三、解答題13．，如圖，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝1．(1)求證：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，請?jiān)賹懗隽硪粋€(gè)與△ABD相似的三角形，并直接寫出DE的長．15．如下圖，在由邊長為1的25個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC，試在這個(gè)網(wǎng)格上畫一個(gè)與△ABC相似，且面積最大的△A1B1C1(A1，B1，C118．：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)(不與B，C點(diǎn)重合)，∠ADE＝45°．(1)求證：△ABD∽△DCE；(2)設(shè)BD＝*，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長．19．：如圖，△ABC中，AB＝4，D是AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)，DE∥BC，連結(jié)DC，設(shè)△ABC的面積為S，△DCE的面積為S′．(1)當(dāng)D為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，求S′∶S的值；(2)假設(shè)設(shè)試求y與*之間的函數(shù)關(guān)系式及*的取值圍．5．相似三角形判定定理的證明6．黃金分割4．2黃金分割一、目標(biāo)導(dǎo)航1．黃金分割定義:點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果AC:AB=BC:AC，則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割．點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比．2．．二、根底過關(guān)1．假設(shè)點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，則線段AP、PB、AB滿足關(guān)系式．2．黃金矩形的寬與長的比大約為________(準(zhǔn)確到0．001)．3．電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺的黃金分割點(diǎn)處最自然得體，假設(shè)舞臺AB長為20m，試計(jì)算主持人應(yīng)走到離A點(diǎn)至少m處"如果他向B點(diǎn)再走m，也處在比擬得體的位置．(結(jié)果準(zhǔn)確到0．1m)三、能力提升4．有以下命題：①如果線段d是線段a，b，c的第四比例項(xiàng)，則有；②如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則AC是AB、BC的比例中項(xiàng)；③如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，則AC是AB與BC的比例中項(xiàng)；④如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC>BC，且AB=2，則AC=－1．其中正確的判斷有()A．1個(gè)