§4二項式定理4.1二項式定理的推導4.2二項式系數的性質學習目標1.通過利用計數原理證明二項式定理,培養學生的邏輯推理能力.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式,會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題,提升數學抽象、數學運算素養.3.了解楊輝三角,會用楊輝三角求二項式乘方次數較小時的各項的二項式系數,通過二項式系數的性質和“賦值法”的靈活運用,提升邏輯推理、數學運算素養.知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究問題:在初中,我們用多項式乘法法則得到了(a+b)2的展開式(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法計數原理解釋上述展開過程?你能根據上述分析,寫出(a+b)3的展開式嗎?1.二項式定理二項展開式(n+1)通項思考:二項式定理中,項的系數與二項式系數相同嗎,為什么?2.二項式系數的性質(1)在二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項的

相等.(2)如果二項式的冪指數是偶數,

的二項式系數最大;如果二項式的冪指數是奇數,

的二項式系數相等并且最大.二項式系數中間一項中間兩項(3)二項式系數的和等于

,即

.2n(4)二項展開式中,偶數項的二項式系數和

奇數項的二項式系數和,即

.等于師生互動·合作探究探究點一二項式定理①求n的值;②求含x2項的系數;③求展開式中所有的有理項.方法總結(1)運用二項式定理展開二項式,要記準展開式的結構特征,對于較復雜的二項式,化簡后再展開會更簡捷.(2)逆用二項式定理可將多項式化簡,對于這類問題的求解,要熟悉公式的特點、項數、各項冪指數的規律以及各項的系數.有時需要先對化簡式進行恒等變形,使之符合二項展開式的結構特征,再進行化簡.(3)求二項展開式的特定項的關鍵是抓住二項式通項.在求解時,需要把系數和字母分離出來(應注意符號),根據題目指定的字母的指數所具有的特征,列出方程或不等式.在這里首先應熟悉幾個名詞:①常數項,即字母的指數為零的項;②有理項;③第m項,此時k+1=m.(1)求n的值;探究點二二項式系數的性質角度1二項式系數的最大問題(1)求展開式中二項式系數最大的項;(2)求展開式中系數最大的項.方法總結求二項式系數的最大項,根據二項式系數的性質對(a+b)n中的n進行討論.(1)當n為奇數時,中間兩項的二項式系數最大;(2)當n為偶數時,中間一項的二項式系數最大.[針對訓練](2021·福建三明高二期末)在①若展開式倒數三項的二項式系數之和等于46,②若展開式所有項的系數的和為512,③若展開式中第3項與第4項的系數之比為3∶7這三個條件中任選一個,補充在下面的橫線上,并且回答下列問題.(1)求展開式中二項式系數最大的項;[針對訓練](2021·福建三明高二期末)在①若展開式倒數三項的二項式系數之和等于46,②若展開式所有項的系數的和為512,③若展開式中第3項與第4項的系數之比為3∶7這三個條件中任選一個,補充在下面的橫線上,并且回答下列問題.(2)求展開式中的常數項.角度2二項式系數的和與系數的和的問題(1)求展開式中二項式系數最大的項;(2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值.解:(2)由(1)知n=10,則(2x-1)10=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10,令x=0,得a0=1,令x=-1,則310=a0-a1+a2-a3+…+a10=1+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=310-1.方法總結求展開式的各項系數之和常用賦值法“賦值法”是求二項式各項系數常用的方法,根據題目要求,靈活賦給字母不同的值.一般地,要使展開式中項的關系變為系數的關系,令x=0可得常數項,令x=1可得所有項系數之和,令x=-1可得偶次項系數之和與奇次項系數之和的差,而當二項展開式中含負值項時,令x=-1則可得各項系數絕對值之和.當堂檢測C1.(2021·上海浦東新區一模)(x-1)10的二項展開式中第4項是(

)2.(2021·廣東廣州期末)已知(1+2x)n的展開式中第4項與第6項的二項式系數相等,則(1+2x)n的展開式的各項系數之和為(

)A.38 B.310 C.28 D.210ABDA.常數項是20B.第4項的二項式系數最大C.第3項是15x2D.所有項的系數的和為04.(2021·江蘇沭陽高二期末)在下列三個條件中任選一個條件,補充在后面問題中的橫線上,并完成解答.條件①,展開式中前三項的二項式系數之和為22;條件②,展開式中所有項的二項式系數之和減去展開式中所有項的系數之和為64;條件③,展開式中常數項為第三項.(1)展開式中二項式系數最大的項;4.(2021·江蘇沭陽高二期末)在下列三個條件中任選一個條件,補充在后面問題中的橫線上,并完成解答.條件①,展開式中前三項的二項式系數之和為22;條件②,展開式中所有項的二項式系數之和減去展開式中所有項的系數之和為64;條件③,展開式中常數項為第三項.(2)展開式中所有的有理項.備用例題