第三節直線、平面平行的判定與性質第六章立體幾何考試要求：1．能以立體幾何中的定義、基本事實和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理．2．能運用基本事實、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形中平行關系的簡單命題．必備知識·回顧教材重“四基”01一、教材概念·結論·性質重現1．直線與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與_________的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)因為_________________，所以l∥α此平面內l∥a，a?α，l?α

文字語言圖形語言符號語言性質定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)因為l∥α，l?β，________，所以l∥bα∩β＝b應用判定定理時，要注意“內”“外”“平行”三個條件必須具備，缺一不可．應用性質定理時要體會輔助面的作用.2．平面與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內的兩條_________與另一個平面平行，那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)因為_____________________，___________，所以α∥β相交直線a∥β，b∥β，a∩b＝Pa?α，b?α

文字語言圖形語言符號語言性質定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行因為α∥β，α∩γ＝a，________，所以a∥bβ∩γ＝b判定平面α與平面β平行時，必須具備兩個條件：(1)平面β內兩條相交直線a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.(2)兩條相交直線a，b都與平面β平行，即a∥β，b∥β.3．常用結論(1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面．(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．(3)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．(5)同一條直線與兩個平行平面所成角相等．(6)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．(7)面面平行判定定理的推論：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別對應平行，那么這兩個平面平行．二、基本技能·思想·活動經驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)若直線a與平面α內無數條直線平行，則a∥α. (

)(2)如果一個平面內的兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行． (

)(3)若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線平行于這個平面． (

)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面．

(

)34512×√×√2．平面α∥平面β的一個充分條件是(

)A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD

解析：ABC錯誤，兩個平面可能相交．345123．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的(

)A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．無數條直線不相交D．任意一條直線都不相交D

解析：因為直線a∥平面α，直線a與平面α無公共點，因此直線a和平面α內的任意一條直線都不相交．故選D．345124．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內且過點B的所有直線中(

)A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數條與a平行的直線D．存在唯一的與a平行的直線A

解析：當直線a在平面β內且過點B時，不存在與a平行的直線．故選A．345125．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關系為________．34512平行解析：連接BD，設BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，E為DD1的中點，O為BD的中點，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.關鍵能力·研析考點強“四翼”考點1直線、平面平行的基本問題——基礎性02考點2直線、平面平行的判定與性質——應用性考點3面面平行的判定與性質及平行的綜合問題——綜合性1．(2022·上海二模)設α，β是兩個不重合的平面，l，m是兩條不重合的直線，則“α∥β”的一個充分不必要條件是(

)A．l?α，m?α，且l∥β，m∥βB．l?α，m?β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m考點1直線、平面平行的基本問題——基礎性C

解析：對于A，若l?α，m?α且l∥β，m∥β，若l，m是平行直線，則它們可能都平行于α，β的交線，所以A不正確；對于B，l?α，m?β，且l∥m，可得l，m都平行于α，β的交線，所以B不正確；對于C，l⊥α且l∥m，可得m⊥α，再由m⊥α，m⊥β，得到α∥β，所以l⊥α，m⊥β且l∥m是α∥β的一個充分不必要條件，所以C正確；對于D，由l∥α，m∥β，且l∥m，可能有l，m都平行于α，β的交線，所以D不正確．故選C．2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，給出下面三個結論：①若α∥β，m?α，n?β，則m∥n；②若m，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若m，n是兩條異面直線，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β.其中正確結論的序號為(

)A．①②

B．①③

C．②③

D．③D

解析：由題意，若α∥β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，故①錯誤；若m，n?α，m∥β，n∥β，則α與β可能平行也可能相交，故②錯誤；若m，n是兩條異面直線，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β，故③正確．故正確的結論只有③.故選D．

BC

解析：如圖，對于A，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN.易得AM，CN交于點P，即MN?平面APC，所以A選項錯誤．對于B，由A知M，N在平面APC內，由題易知AN∥C1Q，且AN?平面APC，C1Q?平面APC．所以B選項正確．對于C，由A知，A，P，M三點共線，所以C選項正確．對于D，由A知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以D選項錯誤．關于平行關系的判定，關鍵是理清各類平行及其內在聯系，掌握平行的判定定理和性質定理的條件，結合題意構造圖形，通過圖形分析判定．同時也要注意一些常見結論，如垂直于同一條直線的兩個平面平行等．例1如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過點G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.考點2

直線、平面平行的判定與性質——應用性證明：如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O是AC的中點．又M是PC的中點，所以AP∥OM.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，所以PA∥平面BMD．又因為平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，所以PA∥GH.解決線面平行問題的關鍵點(1)利用判定定理判定直線與平面平行，關鍵是找出平面內與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮作三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線．(2)線面平行的性質定理是空間圖形中產生線線平行的主要途徑，常用于作截面．1．(多選題)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F分別是棱AC，PD的中點，則(

)A．EF∥平面PAB

B．EF∥平面PBCC．CF∥平面PAB D．AF∥平面PBCAB

解析：如圖，連接BD．因為四邊形ABCD是平行四邊形，且E是棱AC的中點，所以E是BD的中點，所以EF∥PB，則EF∥平面PAB，EF∥平面PBC，故A，B正確．因為AD∥BC，所以AD∥平面PBC．假設AF∥平面PBC，又AF∩AD＝A，則平面PAD∥平面PBC．因為平面PAD與平面PBC相交，則假設不成立，即AF∥平面PBC不成立，故D錯誤．同理可得C錯誤．故選AB．2．如圖，已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，E，F分別是PA，BD上的點，且PE∶EA＝BF∶FD．求證：EF∥平面PBC．證明：(方法一)連接AF，并延長交BC于點G，連接PG.

(方法二)過點F作FM∥AD，交AB于點M，連接EM.

考向1面面平行的判定與性質例2

如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點．求證：(1)B，C，H，G四點共面；考點3面面平行的判定與性質及平行的綜合問題——綜合性證明：因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點，所以GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明：因為E，F分別是AB，AC的中點，所以EF∥BC．因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因為A1G∥EB且A1G＝EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB．又因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因為A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D．證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點M.因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點，連接MD．因為D為BC的中點，所以A1B∥DM.因為A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1.又因為DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化．考向2平行關系的綜合問題例3如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；證明：因為四邊形EFGH為平行四邊形，所以EF∥HG.因為HG?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD．又因為EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB．又因為AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.例3如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．

利用線面平行的性質，可以實現與線線平行的轉化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置．對于最值問題，常用函數思想來解決．1．設α，β，γ為三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有(

)A．①② B．②③C．①③ D．①②③C

解析：由面面平行的性質定理可知，①正確；當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確．2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點．(1)證明：平面MNQ∥平面PCD．證明：因為ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點，所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC．又NQ?平面PCD，CD?平面PCD，MQ?平面PCD，PC?平面PCD，所以NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD．因為NQ∩MQ＝Q，且NQ，MQ?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PCD．

03一題N解·深化綜合提“素養”如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3.證明：平面ABF∥平面DCE.[四字程序]讀想算思平面ABF∥平面DCE，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3面面平行的證明方法：線∥面?面∥面，線∥線?面∥面構造平行關系證明平行的有關定理：1．面面平行的判定定理．2．面面平行判定定理的推論思路參考：應用面面平行的判定定理證明．證明：因為DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因為AF?平面DCE，DE?平面DCE，所以AF∥平面DCE.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB∥CD．因為AB?平面DCE，所以AB∥平面DCE