必修一函數的周期性必修一函數的周期性#/5【高中數學專題訓練之___】函數的周期性與對稱性一、基礎知識1、對稱性：函數關于原點對稱即奇函數：f(-x)=-f(x)函數關于y對稱即偶函數：f(-x)=f(x)函數關于直線x二a對稱：f(x+a)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)或f(x+2a)=f(-x)偶函數是軸對稱的特例關于x=a=0對稱。函數關于點(a,b)對稱:f(x+a)+f(a-x)=2b或f(x)+f(2a-x)=2b或f(x+2a)+f(-x)=2b奇函數是中心對稱的特例關于點(0,0)對稱2、周期性：定義：對任意的xeR，都有f(x+T)=f(x)成立，則函數f(x)是周期函數，T是f(x)的周期性質：若T是f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期，所有周期中最小的叫最小正周期，簡稱周期。常見函數的周期:①y=sinx,最小正周期T=2n；②y=cosx,最小正周期T=2n；③y=tanx,最小正周期T=n；④周期函數f(x)最小正周期為T,則f(x)=A(ex+申)+b的最小正周期為二關于周期的幾個常用結論：1＞若對任意對任意的xeR，都有：f(x+m)=-f(x)+b成立，則T=2m證明：由已知得：f(x+m+m)=-f(x+m)+b=-(-f(x)+b)+b=f(x)，故，T=2mb2＞若對任意對任意的xeR，都有：f(x+m)=成立(b豐0)，則T=2mf(x)bb證明：由已知得：f(x+m+m)===f(x)，故T=2mf(x+m)bf(x)3〉f(x+m)=1-f(x)，則f(x)是以T=2m為周期的周期函數.1+f(x)4〉f(x+m)=-1-f(x)，則f(x)是以T二4m為周期的周期函數.1+f(x)5〉f(x+m)=1+f(x)，則f(x)是以T二4m為周期的周期函數.1-f(x)6＞若f(x)是R上的奇函數，且關于直線x二m對稱，則T=4m(仿正弦函數抽象而得)證明：：該函數關于直線x二m對稱:.f(x+2m)=f(-x):該函數是奇函數：f(-x)=-f(x)，則:?f(x+2m)=f(-x)=-f(x)由1＞得，T=4m7＞若f(x)是R上的偶函數，且關于直線x二m對稱，則T=2m(仿余弦函數抽象而得)證明：；該函數關于直線x二m對稱：.f(x+2m)=f(-x):該函數是偶函數：f(-x)=f(x)，則:?f(x+2m)=f(-x)=f(x)故：T=2m8＞若f(x)定義在R上,且關于直線x二m和x二n對稱(m主n)，則T=2(m-n)(仿正余弦而得)證明：：該函數關于直線x二m對稱，?：f(2m-x)=f(x)-■該函數關于直線x二n對稱，：?f(2n-x)=f(x)貝y,f(2(m-n)+x)=f(2m-(2n-x))=f(2n-x)=f(x)故，T=2(m-n)9＞若f(x)定義在R上,且既關于點(a,b)對稱，又關于直線x=m對稱，則T=4(m-a)(仿正余弦)證明：；該函數關于點(a,b)對稱，：?f(x)+f(2a-x)=2b(1)；該函數關于直線x=m對稱，：?f(x)=f(2m-x)，代入(1)式得：f(2m-x)+f(2a-x)=2b，(2)記2a-x=t，貝yx=2a-1代入(2)得：f(2m-2a+1)+f(t)=2b，即：f(2m-2a+1)=-f(t)+2b由結論1＞得：T=2(2m-2a)=4(m-a)10＞若f(x)定義在R上,且既關于點(m,n)對稱，又關于點(k,n)，則T=2(k-m)(仿正余弦而得)證明：；該函數關于點(m,n)對稱，：?f(x)+f(2m-x)=2n(1)■■該函數關于點(k,n)對稱，：?f(x)+f(2k-x)=2n(2)由(1)－(2)得，f(2m-x)-f(2k-x)=0

記2m—x二t，則x二2m—t代入上式得：f(t)—f(2k—2m+1)=0,即:f(t)=f(2k—2m+1)故：T=2(k—m)二、習題精練TOC\o"1-5"\h\z1、f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數，且f(2)=0，則在區間(0,6)內f(x)=0的解的個數的最小值是()A．2；B．3C．4D．52、已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=—f(x),則f(6)的值為()A．—1B．0C．1D．223、設f(x)定義域為R,且對任意實數x,f(x+3)=—恒成立，f(x)在(0,3)內單調遞減，且該f(x)函數的圖象關于直線x=3對稱，則下面正確的結論是()A、f(1.5)<f(3.5)<f(6.5)；B.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)；Cf(6.5)<f(3.5)<f(1.5)；D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)4、設函數f(x)(xeR)是以3為周期的奇函數，且f(1)>1,f(2)=a，貝y()A.增函數B.減函數C.先增后減函數6A.增函數B.減函數C.先增后減函數6、已知函數f(x)是以2為周期的偶函數，且當xe(0,1)時，D.先減后增函數f(x)=2x—1，則f(log210)的值為A.B.8D.5A.a>2B.a<—2C.a>1D.a<—15、定義域在R的函數f(x)既是的偶函數，又關于x=1對稱，若f(x)在［-1,0］上是減函數，那么f(x)在b，3〕上是()7、函數f(x)的定義域為R,且對任意實數x,都有f(1—x)+f(1+x)=2,，f(x)=f(4—x)則在［0,10〕內，方程f(x)=1的解至少有幾個()A.2；B.4C.5D.68、f(x)定義域為R,且對任意xeR都有f(x+1)=理=成立，若f(2)=1-2則f(2009)=1—f(x)9、f(x)是定義域在R上的奇函數，且其圖像關于直線x=2對稱，求值f(1)+f⑵+f(3)+f⑷+f⑸10、設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=l對稱，對任意x,x?w[0怎],都有厶2f(x+x)二f(x)-f(x)且f(1)=a>01212(I)求f(2),f(4)；(II)證明f(x)是周期函數；11、(05廣東)設函數f(x)在(-?+生)上滿足f(2—x)二f(2+x),f(7-x)二f(7+x)，且在閉區間【0,7〕上，只有f(1)=f(3)二0.試判斷函數y二f(x)的奇偶性；試求方程f(x)二0在閉區間［-2005,2005］上的根的個數，并證明你的結論11、已知函數于(x)11、已知函數于(x)的定義域為{xl