第四章系統可靠性分析可靠性概念的引入第二次世界大戰后期，德國火箭專家R．Lusser首先提出用概率乘積法則，算得V—Ⅱ型火箭誘導裝置的可靠度為75％，首次定量地表達了產品的可靠性。50年代初期開始，定量的可靠性才得到廣泛應用，可靠性問題成為一門新的學科。60年代以后，對可靠性的研究，已經由電子、航空、宇航、核能等尖端工業部門擴展到電機與電力系統、機械、動力、土木等一般產業部門，擴展到工業產品的各個領域。美國可靠性研究美國對可靠性的研究始于第二次世界大戰。當時雷達系統發展很快而電子元件卻屢出故障。1942年，美國麻省理工學院，開始真空管的可靠性問題研究。1952年，美國軍事工業部門和有關部門成立AGREE（AdvisoryGrouponReliabilityofElectronicEquipment，國防部電子設備可靠性顧問團）。60年代后期，美國約40%的大學設置了可靠性工程課程。可靠性研究工作從電子產品擴展到機械產品，從軍工產品擴展到民用產品。可靠性研究發展英國航空委員會1939年發表《適航性統計學注釋》。英國于1962年出版了《可靠性與微電子學》雜志。日本于1956年由美國引進可靠性技術。法國國立通訊研究所于1962年成立了“可靠性中心”，并于1963年出版了《可靠性》雜志。前蘇聯在50年代就開始了對可靠性理論及應用的研究。1964年，當時的蘇聯及東歐各國在匈牙利召開了第一屆可靠性學術會議。中國可靠性研究發展70年代初，航天部門提出了電子元器件必須經過嚴格篩選。70年代中期，由于中日海底電纜工程的需要，提出高可靠性元器件驗證試驗的研究。1985年10月國防科工委頒發的《航空技術裝備壽命與可靠性工作暫行規定》。1987年5月，國務院、中央軍委頒發《軍工產品質量管理條例》。1987年12月和1988年3月先后頒發了國家軍用標準GJB368—87和GJB450—88。可靠性機構國際電子技術委員會(1EC)于1965年設立了可靠性技術委員會，1977年改名為可靠性與可維修性技術委員會。中國賽寶實驗室（信息產業部電子第五研究所,CEPREI）可靠性研究分析中心（RAC）是目前國內最具實力的可靠性物理研究與相關應用技術開發基地。可靠性工程的重要性現代科技迅速發展導致各個領域里的各種設備和產品不斷朝著高性能、高可靠性方向發展，各種先進的設備和產品廣泛應用于工農業、交通運輸、科研、文教衛生等各個行業，設備的可靠性直接關系到人民群眾的生活和國民經濟建設，所以，深入研究產品可靠性的意義是非常重大的。產品或設備的故障都會影響生產和造成巨大經濟損失。特別是大型流程企業，有時因一臺關鍵設備的故障導致工廠停產，其損失都是每天幾十萬元甚至幾百萬元。因此，從經濟效益的來看，研究可靠性是很有意義的。可靠性工程的重要性研究與提高產品的可靠性是要付出一定代價的。從生產角度看，要增加產品的研制和生產的成本。但是，從使用角度看，由于產品可靠性提高了，就大大減少了使用費和維修費，同時還減少了產品壽命周期的成本。所以，從總體上看，研究可靠性是有經濟效益的。從政治方面考慮，無論哪個國家，產品的先進性和可靠性對提高這個國家的國際地位、國際聲譽及促進國際貿易發展都起很大的作用。可靠性的基本概念可靠性作為判斷、評價系統的一個重要指標，表明系統、設備、元件等在規定的條件下和預訂的時間內完成規定的功能的性能。通常用概率來定量地描述，則系統、設備、元件等在規定的條件下和預訂的時間內完成規定功能的概率，叫做可靠度。設備故障率浴盆曲線浴盆曲線在戰略中的應用企業戰略在實施的過程中，有時與人們的期望并不一致，當出現非理想狀態時，在戰略學上稱之為戰略失效。戰略失效按時間來劃分有早期失效、偶然失效和晚期失效三種類型。設備故障曲線-民用飛機λ4%2%5%7%14%68%可靠性指標可靠度R

(t)不可靠度(或稱故障概率)F

(t)故障密度函數f(t)故障率λ(t)可靠度R

(t)把產品在規定的條件下和規定的時間內，完成規定功能的概率定義為產品的“可靠度”。用R

(t)表示：R

(t)=P(T＞t)其中P

(T＞t)就是產品使用時間T大于規定時間t的概率。可靠度R

(t)若受試驗的樣品數是N0個，到t時刻未失效的有Ns(t)個；失效的有Nf(t)個。則沒有失效的概率估計值，即可靠度的估計值為：可靠度R

(t)可靠度R

(t)不可靠度F

(t)如果仍假定t為規定的工作時間，T為產品故障前的時間，則產品在規定的條件下，在規定的時間內喪失規定的功能(即發生故障)的概率定義為不可靠度(或稱為故障概率)，用F(t)表示：

F

(t)=P(T≤t

)不可靠度F

(t)不可靠度的估計值為：不可靠度F

(t)不可靠度F

(t)可靠度函數R

(t)由于故障和不故障這兩個事件是對立的，所以

R

(t)+F

(t)=1當N0足夠大時，就可以把頻率作為概率的近似值。同時可見可靠度是時間t的函數。因此R

(t)亦稱為可靠度函數。0≤R

(t)≤1故障密度函數f(t)如果N0是產品試驗總數，△Nf是時刻t→t+△t時間間隔內產生的故障產品數，△Nf

(t)／(N0△t)稱為t→t+△t時間間隔內的平均失效(故障)密度，表示這段時間內平均單位時間的故障頻率，若N0→∞，△t→0，則頻率→概率。故障密度函數f(t)也可根據F(t)的定義，得到f(t)，即

故障密度函數f(t)故障密度函數f(t)故障率λ(t)故障率λ(t)是衡量可靠性的一個重要指標，其含義是產品工作到t時刻后的單位時間內發生故障的概率，即產品工作到t時刻后，在單位時間內發生故障的產品數與在時刻t時仍在正常工作的產品數之比。λ(t)可由下式表示：

式中dNf(t)為dt時間內的故障產品數。故障率λ(t)故障率λ(t)故障率、故障密度及可靠度之間的關系當N0→∞時根據R

(t)，F

(t)，f(t),λ(t)的定義，可以推導出：平均壽命對于不維修產品，稱為失效前平均時間MTTF(Meantimetofailure)對于可維修產品，稱為平均故障間隔時間MTBF(Meantimebetweenfailures)根據數學期望的定義，可得：常用壽命分布函數指數分布威布爾分布指數分布指數分布在可靠性領域里應用最多，由于它的特殊性，以及在數學上易處理成較直觀的曲線，故在許多領域中首先把指數分布討論清楚。若產品的壽命或某一特征值t的故障密度為：

(λ＞0，t≥0)

則稱t服從參數λ的指數分布。f(t)tR(t)tλ(t)t指數分布指數分布則有：不可靠度(t≥0)

可靠度(t≥0)

故障率

平均壽命

指數分布例題一元件壽命服從指數分布，其平均壽命(θ)為2000小時，求故障率λ及求可靠度R

(100)=?R(1000)=?

解：

此元件在100小時時的可靠度為0.95，而在1000小時時的可靠度為0.60。指數分布例題某設備運轉7000h共發生了10次故障。若故障間隔時間服從指數分布，試計算該設備的平均故障間隔時間及從開機運轉到工作1000h后的可靠度。

解：平均故障間隔時間為：

工作1000h后的可靠度為：威布爾分布瑞典工程師威布爾從30年代開始研究軸承壽命，他采用了“鏈式”模型來解釋結構強度和壽命問題。威布爾分布可以描述不同類型的故障，在可靠性工程中得到了廣泛的應用。雙參數的威布爾分布目前在壽命數據分析中廣泛應用。故障時間的威布爾分布函數為：

威布爾分布則有：不可靠度可靠度故障時間密度故障率平均壽命不同η值的威布爾分布（m=2）η=2

η=3η=1/2η=1f(t)t威布爾分布不同m值的威布爾分布（η=1）m=3m=1/2m=2m=1f(t)t威布爾分布威布爾分布特點當m不變，威布爾分布曲線的形狀不變。隨著η的增加，曲線由同一原點向右擴展，最大值減小。當η不變，m變化時，曲線形狀隨m而變化。當m值約為3.5時，威布爾分布接近正態分布。威布爾分布其它一些特點，m＞1時，表示磨損失效；m=1時，表示恒定的隨機失效，這時λ為常數；m＜1時，表示早期失效。當m=1時，，為指數分布，式中η為平均壽命。失效分類及斜率對應的可能原因威布爾分布概率紙威布爾分布的不可靠度為：將該式兩端取倒數，然后再取兩次對數，得到直線方程為：威布爾分布概率紙故障時間分布函數具有下列性質的統計分布函數都可以直接用作故障時間分布函數：1）2）3）若，則4）故障次數分布-泊松分布故障次數分布-泊松分布故障次數分布-泊松分布一定時間間隔內故障發生次數某段高速公路上一年內的交通事故數某市場一天中到達的顧客次數某辦公室一天中收到電話數某大學一天中上課遲到的總人數故障次數分布-泊松分布當故障時間分布服從指數分布，即故障發生率為常數時，一定時間間隔內故障發生次數服從泊松（Poisson）分布。當事故時間分布服從指數分布，即事故發生率為常數時，一定時間間隔內事故發生次數服從泊松（Poisson）分布。其可表示為：泊松分布例題某單位平均每年發生傷亡事故15次，求一個月內傷亡事故次數超過2次的概率。 解：每月平均發生事故次數

λ=15/12=1.25

根據泊松分布發生超過n=2次的概率：泊松分布例題某單位5年來各年發生傷亡事故次數分別為16,12,10,13,9次。設單位時間內傷亡事故發生次數服從泊松分布。

1）求一個月內發生2次以上傷亡事故的概率；

2）根據前5年事故情況確定安全管理目標，求控制上限。解：安全管理目標： 根據泊松分布一個月內發生2次以上傷亡事故的概率： 控制上限：可靠性試驗完整試驗：進行到全部試件故障為止。截尾試驗：進行到若干試件故障為止。定時截尾試驗：進行到規定的試驗時間停止試驗。定數截尾試驗：進行到規定數目的試件發生故障時停止 試驗。統計分布的參數估計點估計：推斷出分布函數中的參數值。區間估計：考察該參數值的準確程度，即其真值所在的區 間范圍。指數分布的參數估計完整試驗的點估計平均故障時間的估計值：截尾試驗的點估計平均故障時間的估計值：例題用9個試件對某產品進行定數截尾試驗，截尾試驗數r=7，觀測到的故障時間分別為150，450，500，590，600，650，700h，估計平均故障時間。解：威布爾分布的參數估計用某種元件的15個試件做故障試驗，試驗過程中10個試件發生了故障，其故障時間分別為190，360，610，800，850，1100，1340，1570，1790和2240h，其故障時間服從威布爾分布，試求其分布參數、的估計值。威布爾分布的參數估計某時刻的可靠度按下式計算：在試件總數小于20的場合，通常按下式計算：威布爾分布的參數估計威布爾分布的參數估計非參數估計 非參數估計又稱可靠度估計。當故障時間分布函數形式未知時，直接由故障數據推斷可靠度或故障發生概率。可靠度的點估計可靠度的區間估計

定數截尾試驗的場合，可靠度的置信上限和置信下限分別為：系統的分類簡單系統和復雜系統串聯系統和冗余系統系統中任何一個元素故障都會導致系統故障的系統，稱之為基本系統或串聯系統。某元素或某些元素的故障不一定能夠造成系統故障的系統，稱之為冗余系統。冗余系統

冗余（Redundancy）是把若干元素或手段付加于系統的元素或組成部分上，從而使得即使系統元素或組成部分發生故障也不至造成系統故障的方法。并聯冗余方式 并聯冗余時付加的元素與原來的元素同時工作。備用冗余方式 備用冗余時冗余元素通常處于備用狀態，只有當原來的元素發生故障時才投入工作。按備用的冗余元素所處的狀態把備用冗余分成兩種：冷備用溫備用表決冗余方式 表決冗余方式又稱n中取r冗余方式，組成系統的n個元素中至少有r個正常就能保證系統正常工作。系統可靠性模型—串聯模型組成系統的所有單元中任一單元的故障就會導致整個系統故障的系統稱串聯系統。它屬于非貯備可靠性模型，其邏輯框圖如圖所示。123n……系統可靠性模型(串聯模型)根據串聯系統的定義及邏輯框圖，其數學模型為：

式中Rs

(t)——系統的可靠度；

Ri

(t)——第i個單元的可靠度。若各單元的壽命分布均為指數分布，即

式中λs——系統的故障率；

λi——各單元的故障率。系統可靠性模型(串聯模型)系統的平均故障間隔時間為

串聯系統中各單元的壽命為指數分布時，系統的壽命也為指數分布。由于Ri(t)是個小于1的數值，它的連乘積就更小，所以串聯的單元越多，系統可靠度越低。串聯單元越多，MTBFs也越小。系統可靠性模型(串聯模型)組成系統的所有單元都故障時，系統才故障的系統叫并聯系統，它屬于工作貯備模型。其邏輯框圖如圖所示。12n系統可靠性模型—并聯模型系統可靠性模型(并聯模型)根據并聯系統定義邏輯框圖，其數學模型為

式中Fs(t)——系統的不可靠度；

Fi(t)——第i個單元的不可靠度。系統可靠性模型(并聯模型)并聯系統的故障率與元素故障率之間呈現復雜的關系，很難用簡單明晰的一般表達式來描述，只能根據具體的系統來求解。例如，由故障時間分布服從指數分布的二元素組成的并聯系統，系統故障率與元素故障率之間的關系可表達為：系統可靠性模型(并聯模型)當二元素不是相同元素時，隨著時間的增加，系統故障率首先增加，然后減少。系統故障率小于其中元素故障率較大者；隨著時間的無限增加，系統故障率趨近于其中元素故障率較小者。當二元素是相同元素時，系統故障率為非減的。

組成系統的n個單元中，不故障的單元數不少于r

(r為介于1和n之間的某個數)系統就不會故障，這樣的系統稱為r/n系統。它屬于工作貯備模型。如四臺發動機的飛機，必須有二臺或二臺以上發動機正常工作，飛機才能安全飛行，這就是4中取2系統。系統可靠性模型—n中取r模型(r/n)系統可靠性模型—n中取r模型(r/n)當n個單元都相同時，其可靠度可按二項展開式計算：

式中n——系統的單元數；

r——系統正常工作所必須的最少單元數。式中第一項R

n(t)是n個單元都正常工作的概率。第二項是(n-1)個單元正常工作，一個單元故障的概率，……前r+1項是r個單元正常工作，(n-

r)個單元故障的概率。上式可看出，當r=1時即為并聯模型，當r=n時即為串聯模型。系統可靠性模型—n中取r模型(r/n)系統可靠度為：系統故障概率為：系統故障率為：系統可靠性模型—3中取2系統系統可靠性模型—3中取2系統系統可靠性模型—n中取r模型(r/n)備用系統可靠性冷備用系統

系統可靠度：平均故障時間：備用系統可靠性溫備用系統

系統可靠度：平均故障時間：可維修系統可靠性系統發生故障后，尋找故障的部位并進行修理，直到最后驗證系統確實已經恢復到了正常狀態等一系列工作，稱為維修。維修度是可維修系統在規定的條件下維修時，在規定的時間內完成維修的概率。可維修系統可靠性維修度：維修度概率密度：平均維修時間：可用度瞬時可用度：穩態可用度：馬爾可夫過程對事件的全面預測，不僅要能夠指出事件發生的各種可能結果，而且還必須給出每一種結果出現的概率。馬爾可夫（Markov）預測法，就是一種預測事件發生的概率的方法。它是基于馬爾可夫鏈，根據事件的目前狀況預測其將來各個時刻（或時期）變動狀況的一種預測方法。馬爾可夫預測法是對地理事件進行預測的基本方法，它是地理預測中常用的重要方法之一。馬爾可夫過程狀態指某一事件在某個時刻（或時期）出現的某種結果。狀態轉移過程事件的發展，從一種狀態轉變為另一種狀態，稱為狀態轉移。馬爾可夫過程在事件的發展過程中，若每次狀態的轉移都僅與前一時刻的狀態有關，而與過去的狀態無關，或者說狀態轉移過程是無后效性的，則這樣的狀態轉移過程就稱為馬爾可夫過程。狀態轉移概率。在事件的發展變化過程中，從某一種狀態出發，下一時刻轉移到其它狀態的可能性，稱為狀態轉移概率。由狀態Ei轉為狀態Ej的狀態轉移概率是馬爾可夫過程狀態轉移概率矩陣。假定某一個事件的發展過程有n個可能的狀態，即E1，E2，…，En。馬爾可夫過程稱為狀態轉移概率矩陣。

概率矩陣一般地，將滿足上式條件的任何矩陣都稱為隨機矩陣，或概率矩陣。馬爾可夫過程標準概率矩陣、平衡向量。如果P為概率矩陣，而且存在整數m>0，使得概率矩陣中諸元素皆非零，則稱P為標準概率矩陣。可以證明，如果P為標準概率矩陣，則存在非零向量，而且滿足：

使得：

這樣的向量α稱為平衡向量，或終極向量。也就是說，標準概率矩陣一定存在平衡向量。馬爾可夫過程狀態轉移概率矩陣的計算。計算狀態轉移概率矩陣P，就是求從每個狀態轉移到其它任何一個狀態的狀態轉移概率。 一般采用頻率近似概率的思想進行計算。馬爾可夫過程例題1：考慮某地區農業收成變化的三個狀態，即“豐收”、“平收”和“欠收”。記E1為“豐收”狀態，E2為“平收”狀態，E3為“欠收”狀態。表1給出了該地區1960～1999年期間農業收成的狀態變化情況。試計算該地區農業收成變化的狀態轉移概率矩陣。馬爾可夫過程表1某地區農業收成變化的狀態轉移情況年份1960196119621963196419651966196719681969序號狀態年份序號狀態年份序號狀態年份序號狀態1E1197011E3198021E3199031E12E1197112E1198122E3199132E33E2197213E2198223E2199233E24E3197314E3198324E1199334E15E2197415E1198425E1199435E16E1197516E2198526E3199536E27E3197617E1198627E2199637E28E2197718E3198728E2199738E39E1197819E3198829E1199839E110E2197920E1198930E2199940E2例題1從表1中可以知道，在15個從E1出發（轉移出去）的狀態中，(1)有3個是從E1轉移到E1的（即1→2，24→25，34→35）(2)有7個是從E1轉移到E2的（即2→3，9→10，12→13，15→16，29→30，

35→36，39→40）(3)有5個是從E1轉移到E3的（即6→7，17→18，20→21，25→26，31→32）①計算：例題1所以例題1同理可得：例題1②結論：該地區農業收成變化的狀態轉移概率矩陣為：例題1狀態概率：表示事件在初始（k＝0）狀態為已知的條件下，經過k次狀態轉移后，在第k個時刻（時期）處于狀態的概率。且：根據馬爾可夫過程的無后效性及Bayes條件概率公式，有：馬爾可夫過程記行向量，由上式可以得到逐次計算狀態概率的遞推公式：（1）

式中，為初始狀態概率向量。馬爾可夫過程第k個時刻（時期）的狀態概率預測

如果某一事件在第0個時刻（或時期）的初始狀態已知，即已知，則利用遞推公式(1)式，就可以求得它經過k次狀態轉移后，在第k個時刻（時期）處于各種可能的狀態的概率，即，從而就得到該事件在第k個時刻（時期）的狀態概率預測。馬爾可夫過程將例題1中1999年的農業收成狀態記為=[0,1,0]，將狀態轉移概率矩陣及代入遞推公式，可求得2000—2010年可能出現的各種狀態的概率（見表2）。例題2：表2某地區1990—2000年農業收成狀態概率預測值年份200020012002

2003狀態概率E10.5385E20.1528E30.3077E10.3024E20.414E30.2837E10.3867E20.3334E30.2799E10.3587E20.3589E30.2779年份2004200520062007狀態概率

E10.3677E20.3509E30.2799E10.3647E20.3532E30.2799E10.3656E20.3524E30.2799E10.3653E20.3526E30.2799年份20082009

2010狀態概率E10.3653E20.3525E30.2799E10.3653E20.3525E30.2799E10.3653E20.3525E30.2799例題2：終極狀態概率預測定義：經過無窮多次狀態轉移后所得到的狀態概率稱為終極狀態概率，即：終極狀態概率應滿足的條件：馬爾可夫過程在例1中，設終極狀態的狀態概率為則馬爾可夫過程即：求解該方程組得：＝0.3653，＝0.3525，＝0.2799。

這說明，該地區農業收成的變化過程，在無窮多次狀態轉移后，“豐收”和“平收”狀態出現的概率都將大于“欠收”狀態出現的概率。馬爾可夫過程

馬爾可夫過程-維修系統可用度系統只有正常狀態（非故障狀態）S和故障狀態F兩種狀態，如果系統故障時間和維修時間分布均為指數分布，系統在瞬間發生故障的概率為,完成維修的概率為，則：設系統處于狀態的概率為，處于狀態下的概率為，則：

馬爾可夫過程-維修系統可用度解方程組：則系統處于狀態S的概率，即系統可用度為：

馬爾可夫過程-維修系統可用度在由兩相同元素組成的熱備用系統的場合，如果元素的故障時間分布和維修時間分布服從指數分布，瞬間發生故障的概率為，完成維修的概率為，則系統可能處于三種狀態：兩元素都正常的狀態，一個元素正常的狀態和兩元素都故障的狀態。這時的轉移矩陣為：

馬爾可夫過程-維修系統可用度設系統處于狀態的概率為，處于狀態的概率為，處于狀態的概率為，則：解方程組：得到系統可用度為：復雜系統可靠性確定系統究竟是簡單系統還是復雜系統主要取決于元素之間的功能關系。例如，由許多鐵環連串聯結成的鐵鏈，無論鐵環的數目有多少都是簡單系統；橋聯系統雖然只有五個元素，卻屬于復雜系統。復雜系統可靠性-概率分解法對于有交叉連結的系統，由于交叉連結的存在，使得本來簡單的系統變得復雜，不能按簡單系統來處理。概率分解法（Partialpivotaldecomposition）是計算有交叉連結系統可靠度的一種方法。利用概率分解法計算有交叉連接系統可靠度時，首先選定交叉連接的一個元素，計算該元素可靠和故障兩種情況下系統可靠的條件概率的和。如果系統有多處交叉連接，則依次進行這樣的處理，直到被計算的條件概率為簡單系統可靠度為止。復雜系統可靠性-概率分解法如下二極網絡系統，有交叉連接L：選定交叉連接元素進行概率分解，則系統的可靠度為：復雜系統可靠性-概率分解法設各元素為相同元素，且故障時間分布服從指數分布：則系統可靠度為：最后得：系統平均故障時間為：復雜系統可靠性-最小徑集合與最小割集合從物理意義上講，只要其中的元素正常就能使系統正常發揮功能的元素的集合為徑集合。如果徑集合中所有的元素正常，對系統正常發揮功能是充分而且必要的，則該徑集合為最小徑集合。從物理意義上講，只要其中的元素都發生故障就能使系統發生故障的元素的集合為割集合。如果割集合中所有元素都發生故障對系統發生故障是充分而且必要的，則該割集合為最小割集合。復雜系統可靠性-最小徑集合與最小割集合集合(x1,x3),(x1,x4),(x1,x3,x4),(x2,x5),(x2,x3),(x2,x4),(x2,x3,x4),(x2,x3,x4,x5),(x1,x2,x3,x4,x5)為徑集合。集合(x1,x3),(x1,x4),(x2,x5),(x2,x3),(x2,x4)為最小徑集合。復雜系統可靠性-最小徑集合與最小割集合集合(x1,x2),(x3,x4,x5),(x2,x3,x4),(x1,x3,x4,x5),(x2,x3,x4,x5),(x1,x2,x3,x4,x5)為割集合。集合(x1,x2),(x3,x4,x5),(x2,x3,x4)為最小割集合。復雜系統可靠性-最小徑集合與最小割集合從系統正常發揮功能的角度，最小徑集合中的元素相當于串聯連接；系統是由最小徑集合并聯構成的。當構成系統的不同最小徑集合中沒有相同元素時，系統可靠度可以按下式計算：在同一元素在不同的最小徑集合中出現時，可以利用容斥公式來計算系統可靠度：復雜系統可靠性-最小徑集合與最小割集合集合(x1,x3),(x1,x4),(x2,x5),(x2,x3),(x2,x4)為最小徑集合。利用容斥公式，系統可靠度為：復雜系統可靠性-最小徑集合與最小割集合從系統故障的角度，最小割集合中的元素相當于并聯連接；系統是由最小割集合串聯構成的。當構成系統的不同最小割集合中沒有相同元素時，系統可靠度可以按下式計算：在同一元素在不同的最小割集合中出現時，可以利用容斥公式來計算系統可靠度：復雜系統可靠性-最小徑集合與最小割集合集合(x1,x2),(x3,x4,x5),(x2,x3,x4)為最小割集合。利用容斥公式，系統可靠度為：提高可靠性設計安全系數、降低許用值、冗余設計、故障-安全設計、耐故障設計、選用高質量的材料、元件和部件。維修預防性維修、修復性維修。安全監控系統提高可靠性-設計安全系數采用安全系數的基本思想是，把結構、部件的強度設計得超出其可能承受的應力的若干倍，這樣就可以減少因設計計算誤差、制造缺陷、老化及未知因素等造成的破壞或故障。降低許用值選用較要求的功率大得多的設備或元件，或者采取冷卻措施提高設備或元件的承載能力。冗余設計在各種冗余方式中，并聯冗余和備用冗余最常用。故障－安全設計故障－正常方案、故障－消極方案、故障－積極方案（故障－緩和）選用高質量的材料、元件、部件一些重要的元件、部件要經過嚴格篩選后才能使用。提高可靠性-維修 為了維持或恢復系統、設備、結構正常狀態而進行的一系列活動，如保養、檢查、故障識別、更換或修理等。 從安全的目的出發，為了防止可能導致事故的故障發生，維修工作應該以預防性維修為主，修復性維修為輔。預防性維修根據平均故障時間等可靠性參數確定維修周期，按預先規定的維修內容有計劃地進行維修。定時維修、按需維修、監測維修修復性維修系統、設備、結構發生故障后，查找故障部位，隔離故障（限制故障影響），更換、修理故障元素，以及校準、校驗等，使之盡快恢復到正常狀態。提高可靠性-安全監控系統

檢知部分主要由傳感元件構成，用以感知特定物理量的變化。判斷部分把檢知部分感知的參數值與規定的參數值相比較，判斷被監控對象的狀態是否正常。驅動部分的功能在于判斷部分已經判明存在故障、異常，有可能出現危險時，實施恰當的安全措施。提高可靠性-安全監控系統

安全監控系統可靠性漏報在監控對象出現故障或異常時，安全監控系統沒有做出恰當的反應（例如報警或緊急停車等）。漏報型故障使安全監控系統喪失其安全功能，不能阻止事故的發生，其結果可能帶來巨大損失。因此，漏報屬于“危險故障”型故障。為了防止漏報型故障，應該選用高靈敏度的傳感元件，規定較低的規定參數值，以及保證驅動機構動作可靠等。誤報在監控對象沒有出現故障或異常的情況下，安全監控系統誤動作（例如誤報警或誤停車等）。誤報不會導致事故發生，故屬于“安全故障”型故障。為了防止誤報型故障，安全監控系統應該有較強的抗干擾能力。人失誤概率預測（人可靠性分析HRA）人的可靠性：人對于系統的可靠性所必須完成的活動的成功概率。人因可靠性，人為可靠性，人員可靠性人失誤(humanerror)：人未能精確地、恰當地、充分地、可接受地完成所規定的績效標準范圍內的任務。人因失誤，人為錯誤，人誤人可靠性分析（HRA：HumanReliabilityAnalysis):以人因工程、系統分析、認知科學、概率統計、行為科學等學科為理論基礎，以對人的可靠性進行定性與定量分析和評價為中心內容，以分析、預測、減少與預防人的失誤為研究目標。人失誤概率——失誤率函數——糾錯率函數定量地描述人員從事某項活動時發生人失誤的難易程度。人發生失誤后可能自己發現失誤并改正失誤，具有糾錯能力。人失誤各類原因人失誤概率影響因素行為的復雜性；時間的充裕性；人、機、環境匹配情況；操作者的緊張度；操作者的經驗和訓練情況。HRA的三個基本目標辨識什么失誤可能發生這些失誤發生的概率如何減少失誤和/或減輕其影響完整的HRA過程任務分析：描述運行人員在事故過程中應當做什么；失誤分析：確定什么可能會出錯；表現形式：以一個邏輯的和量化的結構，確定人與其它硬件、軟件和環境事件共同卷入的事件的后果影響；量化：采用適當的模型推算失誤的可能性；失誤減少：減少人誤對風險的影響；質量保證和資料編制：確保該評價是有效的，且能夠作為將來設計/運行的一個信息資源。人失誤估計人失誤概率一般在10-5～1之間；進行中等難度的操作時約為10-3

。人失誤概率與操作行為的復雜程度有關。漢納曼建議各種層次行為的人失誤概率為：反射層次行為5×10-5～5×10-3

規則層次行為5×10-4～5×10-2

知識層次行為5×10-3～5×10-1

人失誤概率與時間充裕度密切相關。警覺的簡單反應性操作復雜的診斷性操作人員緊張使人失誤概率增加，羅南（W.W.Ronan）發現在緊張的情況下人失誤概率高達0.15。人失誤定量模型-井口模型——接受信息可靠度——判斷可靠度——執行操作可靠度人失誤定量模型-井口模型人員操作基本可靠度——作業時間系數——操作頻率系數——危險程度系數——生理、心理條件系數——環境條件系數人失誤定量模型-井口模型人失誤定量模型-井口模型人員操作可靠度修正系數人的認知可靠性模型（HCR）美國電力研究院（EPRI）開發了人認知可靠性模型HCR（HumanCognitiveReliability），用于預測操作者對異常狀態反應失誤的概率。該模型主要考慮了在出現異常的緊急情況下，時間充裕度對人失誤概率的影響。人的認知可靠性模型（HCR）HCR方法的兩個假定：所有人員行為類型可分為三類：反射型、規則型、知識型；失誤概率僅與允許時間t和執行時間T0.5的比值有關，且遵從三參數的威布爾分布：t-可供選擇、執行恰當行為的時間；T0.5-選擇、執行恰當行為必要時間的平均值；A,B,C-與人員行為層次有關