IntroductiontoComprehensiveSensingGuotaiWang2013-5-3contentsBackground&Problem1TheCompressiveSensing2Application3contentsBackground&Problem1TheCompressiveSensing2Application31.1信號采樣信息技術飛速發展信息需求量劇增Nyquist采樣定理：采樣速率需達到信號帶寬的兩倍以上才能精確重構信號。帶寬增加采樣速率和處理速率增加弊端采樣硬件成本昂貴獲取效率低下對寬帶信號處理的困難日益加劇1.2信號的壓縮和傳輸傳統壓縮方法為了降低成本將采樣的數經壓縮后以較少的比特數表示信號很多非重要的數據被拋棄缺點這種高速采樣再壓縮的方式浪費了大量的采樣資源一旦壓縮數據中的某個或某幾個丟失，可能將造成信號恢復的錯誤1.3亟待解決的問題1.4壓縮感知的理論框架壓縮感知的核心思想壓縮和采樣合并進行，遠小于傳統采樣方法的數據量突破了Nyquist采樣定理的瓶頸使高分辨率的信號采集成為可能名詞解釋：壓縮感知—直接感知壓縮后的信息基本方法：信號在某一個正交空間具有稀疏性（即可壓縮性），就能以較低的頻率（遠低于奈奎斯特采樣頻率）采樣該信號，并可能以高概率重建該信號。contentsBackground&Problem1TheCompressiveSensing2Application3研究現狀2006《RobustUncertaintyPrinciples：ExactSignalReconstructionfromHighlyIncompleteFrequencyInformation》TerenceTao、EmmanuelCandès2006《CompressedSensing》DavidDonoho2007《CompressiveSensing》RichardBaraniuk2.1壓縮感知的前提稀疏性的定義：一個實值有限長的N維離散信號，由信號理論可知，它可以用一個標準正交基的線性組合來表示，假定這些基是規范正交的，那么有其中，若在基上僅有個非零系數時，稱為信號的稀疏基，是稀疏(K-Sparsity)的。2.2壓縮感知流程介紹長度為N的信號在正交基上的變換系數是稀疏的；用一個與基不相關的觀測基對系數向量進行線性變換，并得到觀測向量利用優化求解的方法從觀測集合中精確或高概率地重構原始信號。2.2壓縮感知流程介紹長度為N的信號在正交基上的變換系數是稀疏的；用一個與基不相關的觀測基對系數向量進行線性變換，并得到觀測向量利用優化求解的方法從觀測集合中精確或高概率地重構原始信號。2.2壓縮感知流程介紹長度為N的信號在正交基上的變換系數是稀疏的；用一個與基不相關的觀測基對系數向量進行線性變換，并得到觀測向量利用優化求解的方法從觀測集合中精確或高概率地重構原始信號。第一步：信號的稀疏表示如圖是一個稀疏度為3的稀疏變換，,在時域

基本都是非零值，但將其變換到域時，非零值就只有3個了，數目遠小于原來的非零數目，實現了信號的稀疏表示。2.2壓縮感知流程介紹如何找到信號的最佳稀疏域呢？1、基函數字典下的稀疏表示：尋找一個正交基使得信號表示的稀疏系數盡可能的少。比較常用的稀疏基有：高斯矩陣、小波基、正（余）弦基、Curvelet基等。2、超完備庫下的稀疏表示：用超完備的冗余函數庫來取代基函數目的是從冗余字典中找到具有最佳線性組合的K項原子來逼近表示一個信號稱作信號的稀疏逼近或高度非線性逼近。2.2壓縮感知流程介紹第二步：觀測矩陣的設計觀測器的目的是采樣得到個觀測值，并保證從中能夠重構出原來長度為的信號或者稀疏基下的系數向量。觀測過程就是利用觀測矩陣的個行向量對稀疏系數向量進行投影，得到個觀測值，即觀測矩陣需要滿足的條件2.2壓縮感知流程介紹第三步：信號重構

首先介紹下范數的概念。向量的p-范數為：

當p=0時得到0-范數，它表示上式中非零項的個數。由于觀測數量，不能直接求解，在信號可壓縮的前提下，求解病態方程組的問題轉化為最小0-范數問題：2.2壓縮感知流程介紹對于0-范數問題的求解是個NP問題，需要列出所有非零項位置的種組合的線性組合才能得到最優解，在多項式時間內難以求解，而且也無法驗證其可靠性。Chen，Donoho和Saunders指出求解一個優化問題會產生同等的解。于是問題轉化為：Candes等指出，要精確重構k稀疏信號x，測量次數M（必須滿足M=O(k·logN)，并且矩陣Φ必須滿足約束等距性條件(RestrictedIsometryPrinciple)。求解該最優化問題，得到稀疏域的系數，然后反變換即可以得到時域信號。2.2壓縮感知流程介紹重構算法（1）匹配追蹤系列：匹配追蹤（MatchingPursuit,MP）正交匹配追蹤(OrthogonalMatchingPursuit,OMP)稀疏自適應匹配追蹤(SparseAdaptiveMP,SAMP)正則化正交匹配追蹤(RegularizedOMP,ROMP)等（2）方向追蹤系列：梯度追蹤(GradientPursuit,GP)

共軛梯度追蹤(ConjugateGP,CGP)近似的共軛梯度追蹤(ApproximationCGP,ACGP)貪婪算法凸優化算法（1）基追蹤法(BasisPursuit,BP)（2）最小角度回歸法(LeastAngleRegression,LARS)（3）梯度投影法(GradientProjectionforSparseReconstruction,GPSR)另類算法（1）Bayesian類的統計優化算法2.2壓縮感知流程介紹contentsBackground&Problem1TheCompressiveSensing2Application33.1單像素相機

壓縮感知理論帶來了信號采樣理論的變革，具有廣闊的應用前景，包括壓縮成像、模擬信息轉換、生物傳感等。壓縮感知應用于光學成像的首個實際系統是Rice大學的“單像素相機”

入射光線經過第一個透鏡之后進入成像系統，照射在放置于像平面的數字微鏡設備(DMD)陣列上。DMD陣列由數百萬個尺寸為μm量級的微小反射鏡組成，每個反射鏡的角度可獨立控制。DMD陣列的反射光線經過第二個透鏡，其中僅一個方向的光線進入單像素光子探測器。3.1單像素相機傳統百萬像素的相機需要百萬個探測傳感器。而壓縮傳感數碼相機只使用一個探測器來采光，然后跟捕獲后的計算相結合來重構圖像。該相機直接獲取的是M次

隨機線性測量值而不是獲

取原始信號的N個像素值，

為低像素相機拍攝高質量

圖像提供了可能。3.2動態CT圖像重建Medicalimage&sparse(1),Aremedicalimagessparse?(2),Ifamedicalimageisnotsparse,canweusesometransformtomakeitsparse?Imagearenotsparseasshowninbythehistogramsofthepixelvalue.However,asubtractionoperationcanmaketheimagesignificantlysparser3.2動態CT圖像重建CSimagereconstructiontheoryInsteadofdirectlyreconstructingatargetimage,thesparsifiedversionisreconstructed.Inthesparsifiedimage,significantlyfewerimagepixelshavesignificantimagevalues.reconstructthesparsifiedimagefromanundersampleddatasetwithoutstreakingartifacts3.2動態CT圖像重建ReconstructdynamicCTimagesequencesthesameimagesliceorthesameimagevolumeissequentiallyscannedmanytimesinordertomeasurethedynamicalchangeintheimageobject.FBPPriorimage(Xp)XpwasutilizedtoconstraintheCSimagereconstructionmethod.Theproposedmethodisreferredto