第二十講：直線與平面、平面與平面垂直【考點(diǎn)梳理】1.直線與平面垂直判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝α,l⊥α))?l⊥α【典型題型講解】考點(diǎn)一：直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)【典例例題】例1.（2022·廣東珠?！じ呷谀┤鐖D，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，P在平面的投影為邊的中點(diǎn)O，，，，．求證：平面.【解析】在中，由余弦定理可得：，，∴，，由題易知平面，平面，∴，∵，∴C平面，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴平面．例2．（2022·廣東東莞·高三期末）如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)，分別是，中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn).證明：；【解析】如圖，連接SO和OE，因?yàn)槭钦睦忮F，所以平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍭BCD，所以因?yàn)锳BCD是正方形，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)O，E分別是BD，BC中點(diǎn)，所以∥，所以又因?yàn)?，OE、平面SOE，所以平面SOE，因?yàn)槠矫鍿OE，所以.【方法技巧與總結(jié)】（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形、正方形對(duì)角線互相垂直；④直徑所對(duì)的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質(zhì)；⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質(zhì)（）；④平行線垂直平面的傳遞性（）；⑤面面垂直的性質(zhì)（）．【變式訓(xùn)練】1.如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于的點(diǎn)，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，．證明：平面；【解析】∵為圓臺(tái)下底面圓的直徑，是圓上異于的點(diǎn)，故又∵，，∴∵，∴，∴∴，又∵，，平面∴平面2.如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面．證明：平面【解析】證明：由題設(shè)，，又面面，面面，面，所以面，而面，則，由得：，又，則平面．3.如圖，在三棱錐中，已知平面ABC，，D為PC上一點(diǎn)，且．（1）若E為AC的中點(diǎn)，求三棱錐與三棱錐的體積之比；（2）若，，證明：平面ABD．【解析】（1）由題意有．∵為的中點(diǎn)，∴．又，∴點(diǎn)到平面的距離為．∴．∴．∴三棱錐與三棱錐的體積之比為．（2）證明：∵平面，平面，∴．∵，∴．∵，，平面，∴平面．又平面，∴．在中，由，，得．又，得．∴．∵，∴．又，∴．∴，即．又，平面ABD，∴平面．4.如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，設(shè)，若平面，試確定的值．【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，記，連接，，，在中，，分別是，的中點(diǎn)，所以，同理可得，又因?yàn)椋云矫嫫矫?，又平面，所以平面；?）因?yàn)榈酌媸橇庑危?，因?yàn)?，，所以，則，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以，即因?yàn)?，，所以，則，則，所以，即又因?yàn)?，所以平面，若平面，則與重合．故．5．（2022·廣東深圳·高三期末）如下圖所示，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為等邊三角形．證明：；【解析】證明：如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，為等邊三角形，，又，平面，平面，.6.如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．證明：【解析】證明：過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面7.如圖，已知直三棱柱，，，分別為線段，，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，．若，試證；【解析】在中，∵為中點(diǎn)且，∴．∵平面平面交線為，∴平面，∴．∵，分別為，的中點(diǎn)，∴．∴．在直角和直角中，∵，，∴，∴，∴，∴．∴平面，平面，∴．考點(diǎn)二：面面垂直的判定定理和性質(zhì)【典例例題】例1．（2022·廣東汕頭·高三期末）如圖，直三棱柱（即側(cè)棱與底面垂直的棱柱）內(nèi)接于一個(gè)等邊圓柱（軸截面為正方形），AB是圓柱底面圓O的直徑，點(diǎn)D在上，且．若AC=BC，求證：平面平面.【解析】證明：在中，，且是圓柱底面圓的直徑，即，，又底面，平面，，且，平面，又平面，所以平面⊥平面；例2.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E為AD的中點(diǎn)．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD.證明(1)因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.【方法技巧與總結(jié)】1.面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）．證明時(shí)，先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．2.面面垂直的性質(zhì)關(guān)鍵找兩個(gè)平面的交線并且和交線垂直的直線.【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）已知正三棱柱中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．證明：平面平面．【解析】在正△中，D為的中點(diǎn)，則．因?yàn)槊婷妫瑒t．而，所以面，又平面，∴．在△中，連接，∴，即，又，∴平面，再由平面，∴平面平面．2．（2022·廣東汕尾·高三期末）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，求證：平面ADE平面ABCD；【解析】證明：∵四邊形為矩形，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面3.如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，．在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即時(shí)，平面平面．證明如下：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以且，又為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)椋琈為棱的中點(diǎn)，故，又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，故，由平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面．4.如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，．在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即時(shí)，平面平面．證明如下：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以且，又為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)椋琈為棱的中點(diǎn)，故，又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，故，由平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面．5.如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．將△ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后A的位置為點(diǎn)P，且使平面PBD⊥平面BCD．求證：(1)CD⊥平面PBD．(2)平面PBC⊥平面PDC．證明：(1)∵AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，又∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°，又∠DCB＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥DC．∵平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面PBD．(2)由CD⊥平面PBD得CD⊥BP．又BP⊥PD，PD∩CD＝D，∴BP⊥平面PDC．又BP?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDC．6.如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)．(1)證明：AE∥平面BDF；(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．【證明】(1)圖1連接AC交BD于O，連接OF，如圖1.∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)，∴OF為△ACE的中位線，∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE.證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，∵P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，圖2∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點(diǎn)共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD?平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H為BE的中點(diǎn)，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.【鞏固練習(xí)】一、單選題1．棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A． B．EF∥平面C．EF⊥平面 D．四面體的體積等于【答案】C【解析】，A正確；如圖，取的中點(diǎn)，連接，，易知，所以四邊形是平行四邊形，所以//，又平面，平面，所以//平面，B正確；若平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，得，顯然不成立，C不正確；因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以，D正確．故選：C．2．為正方體對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，下面結(jié)論不正確的是（

）A． B．若平面PAC，則C．若為鈍角三角形，則 D．若，則為銳角三角形【答案】C【解析】如圖（1）所示：對(duì)于A中，正方體中，連接，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又由且，所以平面，因?yàn)椋云矫?，所以，所以A正確；對(duì)于B中，正方體中，連接，可得，且，所以平面，若平面，可得點(diǎn)在平面中，可得，又由，所以，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，可得，，由余弦定理可得，可得，所以若為鈍角三角形，則是不正確的，故C不正確；對(duì)于D中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖（2）所示不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，可得，，由，令，解得或（舍去），又由，所以，即當(dāng)時(shí)，，即為銳角，又因?yàn)橹?，，所以為銳角三角形，所以D正確．故選：C．二、多選題3．如圖所示，已知四邊形ABCD是由一個(gè)等腰直角三角形ABC和一個(gè)有一內(nèi)角為30的直角三角形ACD拼接而成，將△ACD繞AC邊旋轉(zhuǎn)的過程中，下列結(jié)論中可能成立的是（

）A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD【答案】ACD【解析】當(dāng)將△ACD繞AC邊旋轉(zhuǎn)到CD⊥BC時(shí)，因?yàn)镃D⊥AC，，此時(shí)CD⊥平面ABC，而平面ABC，則CD⊥AB，CD⊥BC，AD正確；此時(shí)AB⊥平面BCD，平面BCD，所以AB⊥DB，C正確；若，而AB⊥BC，，故必有BC⊥平面ABD，由圖形可知，D點(diǎn)在B點(diǎn)正上方，而，所以顯然不可能；故選：ACD4．如圖所示，在四棱錐中中，為正方形，，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，．則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．線段長(zhǎng)度等于線段長(zhǎng)度【答案】ABC【解析】因?yàn)槭钦叫?，所以．又因所以平面平面，，所以平面，因此A正確；而平面，所以平面平面，因此C正確；因?yàn)镕是的中點(diǎn)，而E為線段的中點(diǎn)，所以平面，平面，所以平面，因此B正確；對(duì)于D，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為1的正三角形，是正方形，所以．又由平面，有，所以．在中，，，又分別是等腰三角形的底邊和腰上的中線，所以線段與的長(zhǎng)度不相等（否則，是正三角形），因此D不正確；故選：ABC．三、填空題5．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，寫出以之間的部分位置關(guān)系為條件（除外），為結(jié)論的一個(gè)真命題：_____________．【答案】若，則．（答案不唯一）【解析】若，則．故答案為：若，則．6．如圖，在直三棱柱中，底面是為直角的等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，當(dāng)_______時(shí)，平面．【答案】或【解析】由已知得是等腰直角三角形，，是的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴．若平面，則．設(shè)，則，，∴，解得或．7．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=x，AC與BD交于點(diǎn)O，將△ACD沿直線AC翻折，形成三棱錐D-ABC，若在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得OB⊥AD，則x的取值范圍是___________．【答案】【解析】過作于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以是中點(diǎn)，，，因?yàn)?，所以，解得，所以的取值范圍為．故答案為：．四、解答題8．在四棱錐中，四邊形為菱形，，且平面平面．證明：平面；【解析】連接BD交AC于O，如圖，四邊形為菱形，所以，平面平面，平面平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，，故，又平面，所以平面?．如圖所示，在四棱錐中，平面底面，，，，，，．設(shè)平面與平面的交線為，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求的值．【解析】（1）在中，因?yàn)?，，，所以，所以．在中，因?yàn)?，，所以為等邊三角形，所以，，所以，又，所以．如圖，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋矫妫云矫?，同理可得平面．所以所在直線即為直線．因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，所以在中，．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）過向作垂線，垂足為，因?yàn)槠矫娴酌?，平面平面，平面，所以，底面，因?yàn)樘菪蔚拿娣e和的長(zhǎng)為定值，所以當(dāng)點(diǎn)與重合，即底面時(shí)，四棱錐的體積最大．因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以?jīng)過的中點(diǎn)，所以，所以，故．10．如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．【解析】（1）取中點(diǎn)，連，因?yàn)?，，，，所以四邊形為正方形，為等腰直角三角形，則，，因?yàn)槊婷妫婷?，面，所以平面，又平面，所以．?）取中點(diǎn)，連，則，且，因?yàn)?/p>