第13頁共13頁構建函數與方程思想進行解題的策略函數與方程可進行如下的相互轉化：.探討一下這一思想方法的實施策略一、從函數中構建方程解題例1（05北京,文）為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點A，向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度B，向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度C，向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度D，向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度解：把函數的圖象上所有的點，向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度，得到函數的圖象，將變形有，兩式對比得，即，于是,選A。評析：本題中，我們將一個動態的問題，通過構建方程（組），把它靜態的解決掉了.對于函數圖象的變換問題，我們常運用如下手法構建方程（組），進行通式求解：(1).（時，表示向右平移，時，表示向左平移；時，表示向上平移，時，表示向下平移.）（2）.(時，表示伸長，時，表示縮短；時，表示伸長，時，表示縮短.)例2(06湛江一模)已知函數，問是否存實數使在40+—+-1240+—+-12圖1解：顯然，令，得，（舍去），由圖1知，當時，當時，，于是（1）當時，若，則，為增函數；若，則，為減函數.這時，有；而，，得=，得.(2)當時，若，則，為減函數；若，則，為增函數.這時，；而，，得，得。綜上所述：，此時的單調遞增區間是，單調遞區間是；或，此時的單調遞增區間是，單調遞區間是.評析：我們構建了方程，求得了函數的極值點，為我們后面的求最值工作打下了堅實的基礎.二、從方程中構建函數解題例3（1）關于的方程在上有解，則實數的取值范圍是。（2）關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍是。（3）關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是。解：（1）由得，令有，又，得，于是，得實數的取值范圍是.(2)由（1）知在上有解，得，得實數的取值范圍是.(3)由（1）知在上恒成立，得，得實數的取值范圍是.三、同時構建函數與方程解題例4(2005華南師大附中測試題)已知函數,.(Ⅰ)若,求證:;(Ⅱ)是否存在實數,使方程有四個不同的實根?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.解:(Ⅰ)令.則=由,得,知在上為增函數.又在處連續,得在上為增函數,而,得=0,即.(Ⅱ)由原方程得①,令,并變形得②要使方程①有四個不同實根,則要方程②有兩個不同正根.tyo圖2令,tyo圖2當直線與曲線在點=處相切時,由,得,于是,得切點為,這時切線方程為,即,與軸的交點為,要使直線與曲線在軸右邊有兩個不同交點,則,即.所以當時,原方程有四個不同的實根.函數與方程的思想方法一、知識整合1．函數的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題。2．方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的數學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.3．(1)函數和方程是密切相關的，對于函數y＝f(x)，當y＝0時，就轉化為方程f(x)＝0，也可以把函數式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函數問題（例如求反函數，求函數的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函數問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數y＝f(x)的零點。(2)函數與不等式也可以相互轉化，對于函數y＝f(x)，當y>0時，就轉化為不等式f(x)>0，借助于函數圖象與性質解決有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式。(3)數列的通項或前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點處理數列問題十分重要。(4)函數f(x)＝（n∈N*）與二項式定理是密切相關的，利用這個函數用賦值法和比較系數法可以解決很多二項式定理的問題。(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數的有關理論。(6)立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用布列方程或建立函數表達式的方法加以解決。Ⅰ．運用函數與方程、表達式相互轉化的觀點解決函數、方程、表達式問題。例1已知，（a、b、c∈R），則有（）(A)(B)(C)(D)解析法一：依題設有a·5－b·＋c＝0∴是實系數一元二次方程的一個實根；∴△＝≥0∴故選(B)法二：去分母，移項，兩邊平方得：≥10ac＋2·5a·c＝20ac∴故選(B)點評解法一通過簡單轉化，敏銳地抓住了數與式的特點，運用方程的思想使問題得到解決；解法二轉化為b2是a、c的函數，運用重要不等式，思路清晰，水到渠成。練習1已知關于的方程－（2m－8）x+－16=0的兩個實根、滿足＜＜，則實數m的取值范圍_____。答案：；x21y02已知函數x21y0（A）(B)(C)(D)答案：A.3求使不等式≤·對大于1的任意x、y恒成立的a的取值范圍。Ⅱ：構造函數或方程解決有關問題：例2已知，t∈[，8]，對于f(t)值域內的所有實數m，不等式恒成立，求x的取值范圍。解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]原題轉化為：>0恒成立，為m的一次函數（這里思維的轉化很重要）當x＝2時，不等式不成立。∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]問題轉化為g(m)在m∈[，3]上恒對于0，則：；解得：x>2或x<－1練習4．已知關于的方程－2=0有實數解，求實數的取值范圍。（答案：0≤≤4－）Ⅲ：運用函數與方程的思想解決數列問題例4設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知，>0，<0，（1）求公差d的取值范圍；（2）指出、、…，中哪一個最大，并說明理由。解析（1）由得：，∵＝>0＝<0∴<d<－3（2）∵d<0，是關于n的二次函數，對稱軸方程為：x＝∵<d<－3∴6<<∴當n＝6時，最大。三、強化練習1．展開式中的系數為____________.2．已知方程的四個根組成一個首項為的等差數列,則()A1BCD3.設雙曲線的焦點在軸上，兩條漸近線為，則該雙曲線的離心率（）A5BCD4．已知銳角三角形ABC中，。Ⅰ.求證；Ⅱ.設，求AB邊上的高。5．甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為。Ⅰ.分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；Ⅱ.從甲、乙、丙加工的零件中各取一個進行檢驗,求至少有一個是一等品的概率。6．設，，曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則點Ｐ到曲線對稱軸距離的取值范圍是（）7.設雙曲線C：與直線相交于兩個不同的點A、B。Ⅰ.求雙曲線C的離心率的取值范圍；Ⅱ.設直線與軸的交點為P，且，求的值。函數與方程（精講篇）三．要點精講1．方程的根與函數的零點（1）函數零點函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點。二次函數的零點：零點存在性定理：如果函數在區間上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點。既存在，使得，這個也就是方程的根。2.二分法二分法及步驟：對于在區間，上連續不斷，且滿足·的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．給定精度，用二分法求函數的零點近似值的步驟如下：（1）確定區間，，驗證·，給定精度；（2）求區間，的中點；（3）計算：①若=，則就是函數的零點；②若·<，則令=（此時零點）；③若·<，則令=（此時零點）；（4）判斷是否達到精度；即若，則得到零點值（或）；否則重復步驟2～4。注：函數零點的性質從“數”的角度看：即是使的實數；從“形”的角度看：即是函數的圖象與軸交點的橫坐標；若函數的圖象在處與軸相切，則零點通常稱為不變號零點；若函數的圖象在處與軸相交，則零點通常稱為變號零點。注：用二分法求函數的變號零點：二分法的條件·表明用二分法求函數的近似零點都是指變號零點。3．二次函數的基本性質【課前預習】1.關于的方程有正根，則實數的取值范圍是。2.【07山東文11】．設函數與的圖象的交點為，則所在的區間是（B）A．B． C．D．解：令，可求得：。易知函數的零點所在區間為。3.已知定義域為的函數是偶函數，并且在上為增函數。若，則的解集是；4.函數的對稱軸方程為，則常數=。-4題型1：方程的根與函數零點例1．判斷下列函數在給定區間上是否存在零點。（1）（2）（3）分析：利用函數零點的存在性定理或圖象進行判斷。解析：（1）方法一：∴故。方法二：令解得，所以函數。（2）∵，∴。（3）∵，，∴，故在存在零點。評析：函數的零點存在性問題常用的辦法有三種：一是定理；二是用方程；三是用圖象例2．（1）方程lgx+x=3的解所在區間為（C）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)（2）設a為常數，試討論方程的實根的個數。解析：（1）方法一令則根據選擇支可以求得＜0；＜0；＞0.因為＜0可得零點在(2，3)內選C方法二：在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標，顯然在區間(1，3)內，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應選C（2）原方程等價于即構造函數和，作出它們的圖象，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得：①當或時，原方程有一解；②當時，原方程有兩解；③當或時，原方程無解。題型2：零點存在性定理例3．（2004廣東21）設函數，其中常數為整數。（1）當為何值時，；（2）定理：若函數在上連續，且與異號，則至少存在一點，使得試用上述定理證明：當整數時，方程在內有兩個實根。例3．解析：（1）函數f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續，且當x∈(－m,1－m)時,f’（x）<0,f(x)為減函數,f(x)>f(1－m)當x∈(1－m,+∞)時,f’（x）>0,f(x)為增函數,f(x)>f(1－m)根據函數極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且對x∈(－m,+∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m故當整數m≤1時，f(x)≥1－m≥0(2)證明：由（I）知，當整數m>1時，f(1－m)=1-m<0,函數f(x)=x－ln(x+m),在上為連續減函數.由所給定理知，存在唯一的而當整數m>1時，類似地，當整數m>1時，函數f(x)=x-ln(x+m),在上為連續增函數且f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的故當m>1時，方程f(x)=0在內有兩個實根。點評：本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區間的放縮和不等式的應用上。例4．若函數在區間[a,b]上的圖象為連續不斷的一條曲線，則下列說法正確的是A．若，不存在實數使得；B．若，存在且只存在一個實數使得；C．若，有可能存在實數使得；D．若，有可能不存在實數使得；解析：由零點存在性定理可知選項D不正確；對于選項B，可通過反例“在區間上滿足，但其存在三個解”推翻；同時選項A可通過反例“在區間上滿足，但其存在兩個解”；選項D正確，見實例“在區間上滿足，但其不存在實數解”。題型3：二分法的概念例5．關于“二分法”求方程的近似解，說法正確的是（）A．“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內的所有零點得到；B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內的零點；C．應用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]內有可能無零點；D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內的精確解；解析：如果函數在某區間滿足二分法題設，且在區間內存在兩個及以上的實根，二分法只可能求出其中的一個，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數的近似解，二分法的實施滿足零點存在性定理，在區間內一定存在零點，甚至有可能得到函數的精確零點。點評：該題深入解析了二分法的思想方法。例6．方程在[0，1]內的近似解，用“二分法”計算到達到精確度要求。那么所取誤差限是（）A．0.05B．0.005C．0.0005解析：由四舍五入的原則知道，當時，精度達到。此時差限是0.0005，選項為C。題型4：應用“二分法”求函數的零點和方程的近似解例7．借助計算器，用二分法求出在區間（1，2）內的近似解（精確到0.1）。解析：原方程即。令，用計算器做出如下對應值表x－2－1012f(x)2.58203.0530279181.0794－4.6974觀察上表，可知零點在（1，2）內取區間中點=1.5，且，從而，可知零點在（1，1.5）內；再取區間中點=1.25，且，從而，可知零點在（1.25，1.5）內；同理取區間中點=1.375，且，從而，可知零點在（1.25，1.375）內；由于區間（1.25，1.375）內任一值精確到0.1后都是1.3。故結果是1.3。例8．借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解（精確到）。分析：本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區間和解的個數外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數？略解：圖象在閉區間，上連續的單調函數，在，上至多有一個零點。點評：①第一步確定零點所在的大致區間，，可利用函數性質，也可借助計算機或計算器，但盡量取端點為整數的區間，盡量縮短區間長度，通?？纱_定一個長度為1的區間；②建議列表樣式如下：零點所在區間中點函數值區間長度[1，2]>01[1，1.5]<00.5[1.25，1.5]<00.25如此列表的優勢：計算步數明確，區間長度小于精度時，即為計算的最后一步。題型5：一元二次方程的根與一元二次函數的零點例9．（1）已知是方程的兩個根，且，求的取值