專題12半角模型半角模型的概述：當一個角包含著該角的半角，如90°角包含著45°角，120°角包含著60°角，270°角包含著135°角，即出現12基本模型：1）90°的半角模型（常考）已知正方形ABCD中，E，F分別是BC、CD上的點，∠EAF=45°，AE、AF分別與BD相交于點O、P，則：①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C?CEF=2倍正方形邊長④S?ABE+S?ADF=S?AEF⑤AB=AG=AD（過點A作AG⊥EF，垂足為點G）⑥OP2=OB2+OD2⑦若點E為BC中點，則點F為CD三等分點⑧?APO∽?AEF∽?DPF∽?BEO∽?DAO∽?BPA⑨ABEP四點共圓、AOFD四點共圓、OECFP五點共圓⑩?APE、?AOF為等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S?AEF=2S?APO(13)AB2=BP×OD(14)CE?CF=2BE?DF(15)?EPC為等腰三角形(16)PX=BX+DP(過點E作EX⊥BD，垂足為點X)證明：①思路：延長CD到點M，使DM=BE，連接AM先根據已知條件?ABE≌?ADM(SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM而∠BAE+∠FAD=45°，所以∠DAM+∠FAD=45°，可證明?AEF≌?AMF(SAS)，由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF②思路：∵?AEF≌?AMF(SAS)∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF∴AF平分∠DFE又∵∠AMF=∠AEB∴∠AEB=∠AEF∴AE平分∠BEF③思路：C?CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+EC）+（DF+FC）=BC+DC=2BC④、⑤思路：過點A作AG⊥EF，垂足為點G根據②證明過程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG因此可以證明:?ABE≌?AGE(AAS),?AGF≌?ADF(AAS)所以AB=AG=AD，S?ABE=S?AGE，S?AGF=S?ADF則S?AEF=S?AGE+S?AGF=S?ABE+S?ADF⑥思路：繞點A將?APD逆時針旋轉90°得到?ANB,使AD，AB重合因為?APD≌?ANB(AAS)所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN因為∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°因為∠BAE+∠PAD=45°所以∠NAB+∠BAE=45°則?ANO≌?APO(SAS)所以NO=OP在Rt?NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2，則OP2=OB2+OD2⑦思路：已知tan∠EAB=BEAB=12，且∴tan∠FAD=13（“12345型”），∴DF:AD=1:3，即點F為⑧思路：假設∠AEF的度數為α，∠AFE的度數為β。在右圖中已知表示45°角，表示角的度數為α，表示角的度數為β所以?APO∽?AEF∽?DPF∽?BEO∽?DAO∽?BPA⑨、⑩思路：1）∵∠EAP=∠EBO=45°，∴ABEP四點共圓∵∠EBA=90°，∴AE為直徑，∴∠APE=90°則AP⊥PE∴∠AEP=180°-∠APE-∠EAP=45°∴?APE為等腰直角三角形2）同理AOFD四點共圓，∵∠ADF=90°，∴AF為直徑，∴∠AOF=90°則AO⊥OF∴∠AFO=180°-∠AOF-∠OAF=45°∴?AOF為等腰直角三角形3)∵∠EOF=∠EPF=∠ECF=90°，∴OECFP五點共圓(11)思路：∵?APO∽?AEF∴AEAP=EFOP,假設AP長為1，則AE=2,∴(12)思路：?APO∽?AEF相似比為22，則面積的比為12，S?AEF=2S(13)思路：∵?ABP∽?ODA∴ABOD=BPAD,∴AB×AD=BP×OD則AB2(14)思路：假設正方形的邊長為m，BE長為a，DF長為b，則EF長為a+b根據勾股定理可得EC2+FC2=EF2,則(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2化簡得(m-a)(m-b)=2ab所以CE?CF=2BE?DF(15)思路：根據⑩證明過程可知?APE為等腰直角三角形，所以AP=PE再證明?ADP≌?CDP(SAS)，所以AP=PC，則PE=PC所以?EPC為等腰三角形(16)思路：過點E作EX⊥BD，垂足為點X,過點A作AY⊥BD，垂足為點Y，連接PE先證明?APY≌?PEX(AAS)(“一線三垂直模型”)，所以AY=PX∵AY=12BD,∴PX=12BD2）120°半角模型模型一：已知?ABC為等邊三角形，DB=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，則MN=BM+NC證明(思路)：延長AC至點E，使CE=BM連接DE先證明?MBD≌?ECD(SAS)，所以DM=DE，BM=CE，∠BDM=∠CDE∵∠BDC=120°，∠MDN=60∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠CDE+∠CDN=60°則∠EDN=60°再證明?DNM≌?DNE(SAS)∴MN=NE而NE=NC+CE所以MN=NC+MB模型二：已知?ABC為等邊三角形，DB=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，則MN=NC-BM證明(思路)：線段AC取一點E，使CE=BM連接DE、MN先證明?MBD≌?ECD(SAS)，所以DM=DE，∠BDM=∠CDE∵∠BDC=120°，∠MDN=60∴∠BDN+∠CDE=60°∴∠EDN=120°-∠BDN-∠CDE=60°再證明?NBD≌?NED(SAS)∴MN=NE而NE=NC-CE所以MN=NC-MB3）135°半角模型在Rt?ABC中，點E、點D分別為AB、AC邊上動點，四邊形AEFD是正方形，且∠BFC=135°，則CB=CD+BE證明(思路)：延長DA至點M，使DM=BE，連接FM先證明?FDM≌?FEB(SAS)，所以BF=FM，∠DFM=∠2∵∠1+∠2=360°-90°-135°=135°∴∠1+∠DFM=135°則∠CFM=∠CFB再證明?CMF≌?CBF(SAS),∴MC=BC則CB=CD+BE【提高測試】1．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．222．（2022·安徽·校聯考一模）如圖，正方形ABCD邊長為2，BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，點P，Q分別是平分線BM、DN上的點，且滿足∠PAQ＝45°，連接PQ、PC、CQ．則下列結論：①BP?DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A按順時針方向旋轉90°后得到△AFB，連接EF，有下列結論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④4．（2022秋·廣東深圳·九年級校考期中）如圖，點M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的兩個動點，在運動過程中保持∠MAN＝45°，連接EN、FM相交于點O，以下結論：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF?DE；④OM＝OF（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④5．（2022春·山東煙臺·八年級校考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點，且∠EDF＝45°，則DE的長為_____．6．（2022春·廣東河源·八年級校考階段練習）如圖，在邊長為6的正方形內作，交于點，交于點，連接，將繞點順時針旋轉90°得到，若，則的長為______．7．（2021·全國·九年級專題練習）在中，，點在邊上，．若，則的長為__________．8．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為_____．9．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為_____．10．（2021·四川廣元·統考中考真題）如圖，在正方形中，點O是對角線的中點，點P在線段上，連接并延長交于點E，過點P作交于點F，連接、，交于G，現有以下結論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結論正確的有________（填入正確的序號即可）．11．（2021·湖北黃石·統考中考真題）如圖，在正方形中，點、分別在邊、上，且，交于點，交于點．（1）若正方形的邊長為2，則的周長是______．（2）下列結論：①；②若是的中點，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結論的序號是______（把你認為所有正確的都填上）．12．（2022秋·江蘇·八年級期中）已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當點E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數量關系，并寫出證明過程；拓展應用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．13．（2022秋·福建龍巖·九年級統考期中）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉，得到△AC，連接E．(1)當∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時，求證：DE＝E；(2)當DE＝E時，∠DAE與∠BAC有怎樣的數量關系？請寫出，并說明理由．(3)在（2）的結論下，當∠BAC＝90°，BD與DE滿足怎樣的數量關系時，△EC是等腰直角三角形？（直接寫出結論，不必證明）14．（2022春·陜西西安·七年級統考期末）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明，再證明，可得出結論，他的結論應是______．實際應用：如圖2，在新修的小區中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達，經測量得，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．15．（2022·全國·九年級專題練習）折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．(1)∠EAF＝°，寫出圖中兩個等腰三角形：（不需要添加字母）；(2)轉一轉：將圖1中的∠EAF繞點A旋轉，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q，連接PQ，如圖2．線段BP、PQ、DQ之間的數量關系為；(3)連接正方形對角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對角線BD于點M、點N，如圖3，則；(4)剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．求證：BM2＋DN2＝MN2．16．（2022秋·八年級課時練習）綜合與實踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數量關系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數量關系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數量關系為．17．（2022秋·全國·八年級期中）如圖，點A（a，0），B（0，b），若點F（a，b）關于y軸的對稱點的坐標為（﹣2，2）．（1）求△AOB的面積．（2）如圖1，點C在線段AB上（不與A、B重合）移動，AB⊥BD，且∠COD＝45°，試探究線段AC、BD、CD之間的數量關系，并給出證明．（3）如圖2，點E是x軸上一動點，在y軸正半軸上取一點K，連接EK，FK，FE，使∠EFK＝∠OAB，試探究線段BK，KE，EA之間的數量關系，并給出證明．18．（2022秋·山西呂梁·八年級統考期末）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點，且．請直接寫出線段，，之間的數量關系：__________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數量關系．19．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在四邊形中，，，分別是，上的點，連接，，．（1）如圖①，，，．求證：；

（2）如圖②，，當周長最小時，求的度數；（3）如圖③，若四邊形為正方形，點、分別在邊、上，且，若，，請求出線段的長度．20．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E、F．（1）當∠MBN繞B點旋轉到AE＝CF時（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數量關系？請將三條線段分別填入后面橫線中：＋＝．（不需證明）（2）當∠MBN繞B點旋轉到AE≠CF（如圖2）時，上述（1）中結論是否成立？請說明理由．（3）當∠MBN繞B點旋轉到AE≠CF（如圖3）時，上述（1）中結論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，不需證明．21．（2022秋·八年級課時練習）（1）如圖，在正方形中，、分別是，上的點，且．直接寫出、、之間的數量關系；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是，上的點，且，求證：；（3）如圖，在四邊形中，，，延長到點，延長到點，使得，則結論是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數量關系并證明．22．（2021春·河南安陽·八年級統考期中）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數量關系：____；（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，（1）中發現的AH與AB的數量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長．（可利用（2）得到的結論）23．（2022秋·全國·八年級專題練習）（2019秋?九龍坡區校級月考）如圖．在四邊形A