淺析高大建筑物表面的電磁

導電表面的負荷分布與周圍環境密切相關。在自然環境中，大型建筑物表面的負荷集中在一定程度，并且受到云層電氣的影響。電子儀器表面的負荷在一定程度上集合，這可能會損壞機器本身。因此，關于電子顯微鏡的表面分布有一定的意義。從電磁學的知識來看，在電磁學上，具有獨立的帶電導率的地方電密度大，局電率低的地方電密度小。這容易給人一種錯覺：相同曲率的地方電密度相同。本文通過幾個具體實例，計算了導面的電密度分布。結果表明，即使是同一條獨立的導線，在同一條導線表面的同一個區域，電密度也不同。1導電表面電勢設一個無限大導體平面上方與平面距離為a的地方有一帶電荷量為Q的點電荷,試求達到靜電平衡后平面上各點的電荷密度.為此,建立如圖1所示柱坐標系(z軸垂直于導體平面且通過點電荷所在的點,xOy平面與導體平面重合).此問題對z軸具有軸對稱性,即對于距z軸相同距離ρ的各點情況是一樣的,與φ無關.我們先求出電勢在空間的分布u(ρ,z),通過E=-Δu求出電場強度在空間的分布,進而求出平面上的電荷分布σ.由于有無限大的導體平面存在,空間的電勢應該由點電荷Q和平面上的感應電荷所產生,根據電像法,感應電荷所產生的電勢與在z=-a處的像電荷-Q產生的電勢是一樣的,故在空間P(ρ,φ,z)處的電勢為u(ρ?z)=Q4πε0√ρ2+(z-a)2-Q4πε0√ρ2+(z+a)2電場強度為E=-?u?ρeρ-?u?zez=-Q4πε0[-ρ(ρ2+(z-a)2)3/2+ρ(ρ2+(z+a)2)3/2]eρ-Q4πε0[-(z-a)(ρ2+(z-a)2)3/2+z+a(ρ2+(z+a)2)3/2]ez式中eρ、ez分別為ρ方向和z方向的單位矢量.在導體表面上場強為E|z=0=-Q4πε0[a(ρ2+a2)3/2+a(ρ2+a2)3/2]ez=-Q2πε0a(ρ2+a2)3/2ez上式的結果與電磁學中在導體表面處的場強與導體表面垂直是一致的.根據電磁學中面電荷密度與場強的關系,容易給出導體表面的電荷密度為σ=ε0E=-Q2πa(ρ2+a2)3/2由此式可知,不同ρ處的電荷面密度σ是不同的,即在導體平面上雖曲率處處相同但電荷密度是不一樣的.2中半平面電勢設有一個很大的楔形金屬導體,頂角為π3,充電到電勢為V0.可以求出此時空間各點的電勢分布,進而求出該導體表面的電荷面密度.由于楔形導體在寬度上很大,在垂直于寬度的任一截面上情況是一樣的,因此可以作為二維問題處理,只研究一個截面的情況就可以了.建如圖2所示坐標系,稱為z平面.在我們所研究的空間無電荷,電勢u滿足拉普拉斯方程.令ζ=z3/5,在ζ平面(如圖3)看楔形金屬為下半平面.在ζ平面電勢同樣滿足拉普拉斯方程?2u?ξ2+?2u?η2=0.由于邊界條件與ξ無關,u也應與ξ無關,故方程變為d2udη2=0,從而可以解出u=cη+d由于當η=0時,u=V0,所以u=cη+V0變回到z平面,則有u=cη+V0=Im(cz3/5)+V0=cImρ3/5ei35φ+V0其中z=ρeiφ.由上式,在上表面φ=0時,u=V0;在下表面φ=5π3時,u=V0.均與題設導體表面電勢為V0相符.下面由E=-Δu求出場強.E=-Δu=-?u?ρeρ-1ρ?u?φeφ=-3c5ρ-2/5?sin(35φ)eρ-cρρ3/535cos(35φ)eφ=-3c5ρ-2/5[sin(35φ)eρ+cos(35φ)eφ]式中eρ、eφ為別為ρ及φ方向的單位矢量.在上表面φ=0時,有E=-3c5ρ-2/5eφ在下表面φ=5π3時,有E=3c5ρ-2/5eφ由以上結果知,場強的方向沿eφ即垂直于導體表面,若c<0(V0>0時導體帶正電,c一定小于零)場強方向沿金屬指向外,這與電磁學中預期的結果是一致的.由電荷密度與場強的關系容易給出導體表面的電荷密度為σ=ε0En=-3c5ρ-2/5ε0由此式知在導體表面不同的地方,雖曲率一樣但電荷密度是不同的,電荷大部分只集聚于楔形導體的尖端,與尖端放電現象相符.3e+cuz及最大負荷密度一無限大導體平面上有一半徑為1的半圓柱凸起,柱軸與圖示平面正交,將其充電到電勢V0,可求出此時空間各點的電勢分布及導體表面的電荷面密度.由于垂直于半圓柱的各個面上情況相同,本問題亦為二維問題,我們只需研究一個平面即可,把這個面叫做z平面.建如圖4所示坐標系,z平面上有一半徑為1的半圓形凸起,經過儒可夫斯基變換ζ=12(z+1z),凸起變為實軸上的一條直線,如圖5所示.在ζ平面看無電荷區域電勢u(ξ,η)滿足拉普拉斯方程?2u?ξ2+?2u?η2=0.由于邊界上u=V0,電勢與ξ無關,由二維狄利克雷外問題解的唯一性,可設u與ξ無關,故d2udη2=0,從而可以解出u=cη+d.因當η=0時,u=V0,所以u=cη+V0=cImζ+V0.變回到z平面,有u=cIm12(z+1z)+V0=c2(ρ-1ρ)sinφ+V0.在圓上ρ=1,u=V0;在實軸上φ=0或π,u=V0.均與題設相符.下面由E=-Δu求出場強E及電荷密度σ.E=-Δu=-??ρ[c2(ρ-1ρ)sinφ+V0]eρ-1ρ??φ[c2(ρ-1ρ)sinφ+V0]eφ=-12c(1+1ρ2)(sinφ)eρ-12c(1-1ρ2)(cosφ)eφ在導體上E={-c(sinφ)eρ(在半圓上ρ=1)-12c(1-1ρ2)(cosφ)eφ(在ρ＞1?φ=0或π)電荷的分布σ=ε0E,故在導體上σ={-ε0csinφ(在半圓周ρ=1上)-12ε0c(1-1ρ2)(在平面ρ＞1上)同樣可以看出,在半圓柱上各點電荷密度是不一樣的,在平面上各點電荷密度也是不一樣的.由以上3例可以得出:在靜電平衡條件下,無論是孤立導體還是非孤立導體,在導體表面曲率相同的區域電荷面密