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文檔簡介

引例都是無窮小,但根據函數比的極限可以刻畫無窮小趨于0的速度.§1.7無窮小的比較yxOy=x2y=3xy=sinx1引例都是無窮小,但根據函數比的極限可以刻畫無窮小趨于0定義.若則稱

是比

高階的無窮小,若若若若或設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱

是比

低階的無窮小;則稱

是

的同階無窮小;則稱

是關于

的k階無窮小;則稱

是

的等價無窮小,記作1.無窮小的階返回2定義.若則稱是比高階的無窮小,若若若若或設是自2.無窮小階的比較舉例所以當x

0時

3x2是比x所以當x

3時

x2-9與x-3是

例2

例3

例1

下頁

所以當n?￥時,

n1是比21n低階的無窮小.高階的無窮小

即3x2=o(x)(x

0)

同階無窮小

32.無窮小階的比較舉例所以當x0時3x2是比x所以當所以當x

0時

1-cosx

是關于x

的所以當x

0時

sinx

與x是

例4

例5

2.無窮小階的比較舉例小結～當時，～～～二階無窮小

等價無窮小

即sinx~x(x

0)

返回4所以當x0時1-cosx是關于x的所以當x0定理1β與α是等價無窮小

β

=a+o(a)

下頁3.關于等價無窮小的定理必要性:

證明所以b–a=o(a)

因為設a~b

只需證b–a=o(a)

充分性:設b=a+o(a)

則因此a~b

5定理1β與α是等價無窮小β=a+o(a所以當x

0時

有

sinx=x+o(x)

tanx=x

o(x)

例6

下頁3.關于等價無窮小的定理定理1β與α是等價無窮小

β

=a+o(a)

6所以當x0時有sin下頁3.關于等價無窮小的定理定理2

證明

定理1β與α是等價無窮小

β

=a+o(a)

7下頁3.關于等價無窮小的定理定理2證求兩個無窮小比值的極限時

分子及分母都可用等價無窮小來代替

因此

如果用來代替的無窮小選取得適當

則可使計算簡化

定理2的意義:下頁3.關于等價無窮小的定理定理2定理1β與α是等價無窮小

β

=a+o(a)

8求兩個無窮小比值的極限時分子及分母都可

解

當x

0時

tan2x~

sin5x~

解

當x

0時sinx~x

所以

p59-3例7

p59-4例8

2x5x所以下頁9解當x0時tan2x~例9解常用等價無窮小:當x

0時

1－cosx~

tan2x~

2x下頁10例9解常用等價無窮小:當x0時1－cosx~

例10解1常用等價無窮小:解2

下頁11例10解1常用等價無窮小:解2下頁11常用等價無窮小:對于代數和中各等價無窮小一般不能替換.注意例10解1下頁p60.4.(3)12常用等價無窮小:對于代數和中各等價無窮小一般不能替換.注意例常用等價無窮小:對于代數和中各等價無窮小一般不能替換.注意

例11下頁13常用等價無窮小:對于代數和中各等價無窮小一般不能替換.注意

例12解常用等價無窮小:下頁14例12解常用等價無窮小:下頁14

例13常用等價無窮小:結束15例13常用等價無窮小:結束15內容小結1.無窮小的比較設

,

對同一自變量的變化過程為無窮小,且

是

的高階無窮小

是

的低階無窮小

是

的同階無窮小

是

的等價無窮小

是

的k階無窮小16內容小結1.無窮小的比較設,對同一自變量的變化2.等價無窮小替換定理～～～～～思考與練習P59題1,2

作業

P593(2)

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