/專題4.5直線、射線、線段（知識講解）【學習目標】理解直線、射線、線段的概念及表示方法，理解點和直線的位置關系；理解并掌握直線、射線、線段之間的區別和聯系；識別線段、射線、線段的數量，并能掌握線段上的點和線段數量內在關系；理解直線交點個數與直線量關之間的內在關系。【要點梳理】要點一、直線1．概念：直線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，是一個不作定義的原始概念，直線常用“一根拉得緊的細線”、“一張紙的折痕”等實際事物進行形象描述．2.表示方法：（1）可以用直線上的表示兩個點的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線AB(或直線BA)．（2）也可以用一個小寫英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線．特別說明：直線的特征：（1）直線沒有長短，向兩方無限延伸．（2）直線沒有粗細．（3）兩點確定一條直線．（4）兩條直線相交有唯一一個交點．3.點與直線的位置關系：（1）點在直線上，如圖3所示，點A在直線m上，也可以說：直線m經過點A．（2）點在直線外，如圖4，點B在直線n外，也可以說：直線n不經過點B．要點二、線段1.概念：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段．2.表示方法：（1）線段可用表示它兩個端點的兩個大寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段AB或線段BA．（2）線段也可用一個小寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段a．要點三、射線1.概念：直線上一點和它一側的部分叫射線，這個點叫射線的端點．如圖6所示，直線l上點O和它一旁的部分是一條射線，點O是端點．圖6圖62.特征：是直的，有一個端點，不可以度量，不可以比較長短，無限長．3.表示方法：（1）可以用兩個大寫英文字母表示，其中一個是射線的端點，另一個是射線上除端點外的任意一點，端點寫在前面，如圖6所示，可記為射線OA．（2）也可以用一個小寫英文字母表示，如圖6所示，射線OA可記為射線l．特別說明：(1)端點相同，而延伸方向不同，表示不同的射線．如圖7中射線OA，射線OB是不同的射線．圖7圖7(2)端點相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線．如圖8中射線OA、射線OB、射線OC都表示同一條射線．圖8圖8要點四、直線、射線、線段的區別與聯系1.直線、射線、線段之間的聯系（1）射線和線段都是直線上的一部分，即整體與部分的關系．在直線上任取一點，則可將直線分成兩條射線；在直線上取兩點，則可將直線分為一條線段和四條射線．（2）將射線反向延伸就可得到直線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得到直線．2．三者的區別如下表特別說明：（1）聯系與區別可表示如下：（2）在表示直線、射線與線段時，勿忘在字母的前面寫上“直線”“射線”“線段”字樣．【典型例題】類型一、直線、射線、線段的理解1．如圖，在數軸上，點A表示3，點B表示－.數軸是什么圖形？數軸上原點O左邊的部分(包括原點)是什么圖形？怎樣表示？射線OB上的點表示什么數？端點表示什么數？數軸上表示不小于－且不大于3的部分是什么圖形？怎樣表示？【答案】(1)直線;(2)射線，射線OB;(3)非正數，0;(4)線段，線段AB【分析】（1）數軸是直線；（2）根據射線的定義，即可解答；（3）根據負數和0，即可解答；（4）根據線段的定義，即可解答．解：（1）數軸是直線；（2）數軸在原點O左邊的部分（包括原點）是射線，表示為射線OB；（3）射線OB上的點表示0和負數，端點表示0；（4）數軸上表示不小于-，且不大于3的部分是線段，表示為線段AB．【點撥】本題考查了數軸，解決本題的關鍵是熟記數軸的有關概念．舉一反三：【變式1】指出下圖中的直線、射線、線段，并一一表示出來．【答案】射線AB、射線BA，射線BC、射線CB；線段AB、線段AC、線段BC，直線AB、直線BC、直線AC等．【分析】根據直線、射線、線段的概念求解即可．解：∵，∴通過分析上圖可得：射線AB，射線BA，射線BC，射線CB；線段AB，線段AC，線段BC； 直線AB、直線BC、直線AC等．【點撥】此題考查了直線、射線、線段的概念，解題的關鍵是熟練掌握直線、射線、線段的概念．【變式2】判斷下列說法是否正確：（1）線段和射線都是直線的一部分（2）直線和直線是同一條直線；（3）射線和射線是同一條射線；（4）把線段向一個方向無限延伸可得到射線，向兩個方向無限延伸可得到直線．【答案】（1）（2）（4）正確，（3）錯誤．【分析】根據直線、射線、線段的定義以及表示方法對各小題分析判斷即可得解．解：（1）線段和射線都是直線的一部分，正確；（2）直線和直線是同一條直線，正確；（3）射線的端點是點，射線的端點是點，不是同一條射線，故本小題錯誤；（4）把線段向一個方向無限延伸可得到射線，向兩個方向無限延伸可得到直線，正確．綜上所述：（1）（2）（4）正確，（3）錯誤．【點撥】本題考查了直線、射線、線段的定義與表示，解題的關鍵是熟記概念與它們的區別與聯系．類型二、幾何語言描述：直線、射線、線段2．數學學習過程中，正確掌握幾何語言是學好幾何知識的必備條件．(1)下列語句中，能正確描述圖1的有（填序號），①直線a經過O，B兩點；②直線a，b相交于點O；③點A在直線b的延長線上；④經過O，A兩點有且只有一條直線b．(2)已知平面上三點A，B，C，如圖2，按下列語句畫圖：①畫射線AB，直線AC；②連接BC，并延長BC到點D，使．【答案】(1)①②④(2)畫圖見詳解．【分析】利用直線、射線、線段的定義，根據題中的幾何語言畫出對應的幾何圖形．(1)①正確，點O點B都在直線a上．②正確，直線a，b的交點是點O．③錯誤，直線b向兩端無限延伸的，點A在直線b上．④正確，兩點確定一條直線．故：①②④正確．(2)①如圖，射線AB，直線AC就是所求的線；②連接BC，并延長BC到點D，使．如圖線段BD就是所求的線段．【點撥】本題考查了直線射線以及線段的知識，解題的關鍵是掌握三者各自的特點．舉一反三：【變式】作圖題：如圖，平面上四個點A、B、C、D，根據下列語句作圖畫直線AB；畫射線BC；畫線段CD，連結AD．（不寫作法）【答案】圖形見分析分析：根據直線、射線、線段的定義作圖即可.解：如圖所示：類型三、由幾何語言的描述畫直線、射線、線段3．已知四點A、B、C、D．根據下列語句，畫出圖形．①畫直線AB；②連接AC、BD，相交于點O；③畫射線AD、射線BC，相交于點P．【分析】根據直線、射線、線段的性質畫圖即可．解：如圖【點撥】此題主要考查了簡單作圖，解答此題需要熟練掌握直線、射線、線段的性質，認真作圖解答即可．舉一反三：【變式1】作圖：如圖，平面內有A，B，C，D四點按下列語句畫圖：（1）畫射線AB，直線BC，線段AC（2）連接AD與BC相交于點E.【分析】利用作射線，直線和線段的方法作圖．解：如圖：【點撥】本題考查了作圖﹣復雜作圖，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖．【變式2】如圖按下列語句畫圖（1）連接BC．（2）畫直線AB、CD相交于E．（3）作射線AD．（4）連接AC、BD，相交于點O．【分析】根據線段、直線、射線的畫法即可得．解：由題意，畫圖如下：【點撥】本題考查了畫線段、直線、射線，熟練掌握線段、直線、射線的畫法是解題關鍵．類型四、點線位置關系4．按下列要求分別畫出圖形．（1）直線AB外有一點C；（2）P是直線a外一點，經過點P有一條直線b與直線a相交于點Q．【答案】（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）根據點與直線的關系進行作圖即可；（2）根據點與直線的關系進行作圖即可．解：（1）如圖所示（畫法不唯一）；（2）如圖所示（畫法不唯一）．【點撥】本題考查了點與直線的相關作圖，明確點與直線的位置關系是解題的關鍵．舉一反三：【變式】按照下列語句畫出圖形．（1）點P在直線AB上，但不在直線CD上；（2）點Q既不在直線a上，也不在直線b上；（3）直線EF經過點D，點C不在直線EF上．【答案】（1）見分析；（2）見分析；（3）見分析【分析】（1）畫兩條直線、，在上標記一點，且不在直線上；（2）畫兩條直線，在這兩條直線外標記一點；（3）畫一條直線，在直線上標記一點，直線外標記一點．解：（1）如圖所示：（畫法不唯一）（2）如圖所示：（畫法不唯一）（3）如圖所示：（畫法不唯一）【點撥】此題考查了點與直線的位置關系，熟練掌握點與直線的位置關系是解題的關鍵．類型五、直線、射線、線段的數量問題5．若直線上有兩個點，則以這兩點為端點可以確定一條線段．請仔細觀察圖形，解決下列問題：(1)如圖1，直線l上有3個點A，B，C，則可以確定條線段；(2)如圖2，直線l上有4個點A，B，C，D，則可以確定條線段；(3)若直線上有n個點，一共可以確定多少條線段？請寫出解題過程．【答案】(1)3(2)6(3)條，見分析【分析】（1）根據線段定義即可求解．（2）根據線段的定義即可求解．（3）由（1）（2）找出規律即可求解．（1）解：由圖可得：直線l上有3個點A，B，C，可得線段AB、線段BC和線段AC，則可以確定3條線段，故答案為：3．（2）有圖可得：直線l上有4個點A，B，C，D，可得線段AB、線段AC、線段AD、線段BC、線段BD和線段CD，則可以確定6條線段，故答案為：6．（3）由（1），（2）可得，當直線上有n個點，則：．【點撥】本題考查了線段的定義及數量關系，熟練掌握線段的定義及數量關系是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在平面內有A，B，C三點．(1)畫直線AB；畫射線AC；畫線段BC；(2)在線段BC上任取一點D（不同于B，C兩點），連接AD，并延長AD至點E，使；(3)數一數，此時圖中共有多少條線段？多少條射線？【答案】(1)見分析(2)見分析(3)有8條線段，6條射線【分析】（1）根據直線、射線、線段的定義，即可求解；（2）先畫出線段AD，再延長AD至點E，使，即可求解；（3）根據射線、線段的定義，即可求解．(1)解：如圖，直線AB，射線AC，線段BC即為所求；(2)解：如圖，線段AD和DE即為所求；(3)解：圖中的線段有AB、AC、AD、DE、AE、CD、DB、BC，共有8條，射線有AC、CH、AG、BG、BF、AF，共有6條．【點撥】本題主要考查了直線、射線、線段的定義，熟練掌握直線沒有端點、長度無限，可以向兩端無限延長；射線只有一個端點，長度無限，可以向一端無限延長；線段有兩個端點，長度有限是解題的關鍵．【變式2】（1）【觀察思考】如圖，線段上有兩個點、，分別以點、、、為端點的線段共有________條．（2）【模型構建】若線段上有個點（包括端點），則該線段上共有___________條線段．（3）【拓展應用】若有10支球隊參加校級籃球比賽，比賽采用單循環制（即每支球隊之間都要進行一場比賽），請你應用上述模型構建，求一共要進行多少場比賽？【答案】（1）6；（2）；（3）45場【分析】（1）從左向右依次固定一個端點A，C，D找出線段，最后求和即可；（2）根據數線段的特點列出式子化簡即可；（3）將實際問題轉化成（2）的模型，借助（2）的結論即可得出結論．解：（1）∵以點A為左端點向右的線段有：線段AB、AC、AD，以點C為左端點向右的線段有線段CD、CB，以點D為左端點的線段有線段DB，∴共有3＋2＋1＝6（條）．故答案為：6；（2）設線段上有m個點，該線段上共有線段x條，則x＝（m?1）＋（m?2）＋（m?3）＋…＋3＋2＋1，∴倒序排列有x＝1＋2＋3＋…＋（m?3）＋（m?2）＋（m?1），∴2x＝m＋m＋m＋…＋m＝m（m?1），∴x＝m（m?1）．故答案為：；（3）把10支球隊看作直線上的10個點，每兩支球隊之間的一場比賽看作一條線段，由題知，當m＝10時，．答：一共要進行45場比賽．【點撥】此題主要考查了線段的計數問題，解本題的關鍵是找出規律，此類題目容易數重或遺漏，要特別注意．類型六、直線相交的交點個數問題6．按要求完成作圖及作答：(1)如圖1，請用適當的語句表述點P與直線l的關系：；(2)如圖1，畫直線PA；(3)如圖1，畫射線PB；(4)如圖2，平面內三條直線交于A、B、C三點，點M、N是平面內另外兩點，若分別過點M、N各作一條直線，則新增的兩條直線使得平面內最多新增個交點．【答案】(1)P在直線l外；(2)見分析(3)見分析(4)7【分析】（1）根據點與直線的關系即可填空；（2）根據直線的定義即可畫直線PA；（3）根據射線的定義即可畫射線PB；（4）根據題意畫出圖形即可得平面內最多新增的交點個數．解：(1)點P與直線l的關系：P在直線l外；故答案為：P在直線l外；(2)如圖1，直線PA即為所求；(3)如圖1，射線PB即為所求；(4)如圖2，新增的兩條直線使得平面內最多新增7個交點．故答案為：7．【點撥】本題考查了作圖?應用與設計作圖，直線的性質：兩點確定一條直線，相交線，解決本題的關鍵是掌握直線的性質．舉一反三：【變式1】兩條直線相交，有一個交點，三條直線相交，最多有多少個交點？四條直線呢？你能發現什么規律嗎？【答案】兩條直線相交，最多有1個交點，三條直線相交，最多有3個交點，四條直線相交，最多有6個交點，…，規律：n條直線相交，最多有個交點．【分析】根據兩直線相交，最多有1個交點，三直線相交最多有1+2=3個交點，四條直線相交，最多有1+2+3=6個交點，由此可以發現最多交點個數就是從1開始的連續的正整數相加，最后一個加數比直線的條數少1，由此進行求解即可解：兩條直線相交，最多有1個交點，三條直線相交，最多有1+2=3個交點，四條直線相交，最多有1+2+3=6個交點……由此可以發現最多交點個數就是從1開始的連續的正整數相加，最后一個加數比直線的條數少1，一般地，n條直線相交，最多有（首尾相加和為n，第二和倒數第二個的和也為n，由此即可推出此式子）個交點．【點撥】本題主要考查了直線的交點個數問題，解題的關鍵在于能夠根據特例推出相應的規律