27-中考二輪復習——綜合與實踐專題第一部分講解部分一、專題詮釋“綜合與實踐”是以一類問題為載體，學生主動參與的學習活動，是幫助學生積累數學活動經驗的重要途徑，其具體目標是：⑴通過對有關問題的探討，了解所學過的數與代數、圖形與幾何、統計與概率知識之間的關聯；⑵初步獲得發現問題和提出問題的經驗；⑶結合實際背景，在給定目標下，設計解決問題的方案，進一步體驗分析問題和解決問題的過程，發展相應的能力．“綜合與實踐”試題一般由問題情景、操作發現、提出問題、問題解決和應用拓展等部分構成，可以從不同角度綜合考查學生基本活動技能和活動經驗，以及學生在活動中形成數學思想和數學方法的能力、探究能力、創新能力和運用能力．二．解題策略和解法精講“綜合與實踐”試題關鍵要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；二是根據問題情景的變化，通過類比和引申，合理進行思想方法的遷移．三．考點精講考點1．探索應用型例1．(2010·恩施)(1)計算:如圖①,直徑為的三等圓⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，切點分別為A、B、C，求OA的長(用含的代數式表示).⑵探索:若干個直徑為的圓圈分別按如圖②所示的方案一和如圖③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中層圓圈的高度和(用含、的代數式表示).⑶應用:現有長方體集裝箱，其內空長為5米，寬為3.1米，高為3.1米.用這樣的集裝箱裝運長為5米，底面直徑(橫截面的外圓直徑)為0.1米的圓柱形鋼管，你認為采用⑵中的哪種方案在該集裝箱中裝運鋼管數最多？并求出一個這樣的集裝箱最多能裝運多少根鋼管？(≈1.73)【分析】(1)三個兩兩外切的圓的圓心構成一個邊長為圓的直徑的正三角形，因此可由勾股定理求解；（2）按如圖10②所示的方案一的方式排放，層圓圈的高度就是n個圓的直徑，按如圖10③所示的方案二的方式排放，層圓圈的高度可由（1）證得來；（3）方案一：即按圖10②的方式排放鋼管，放置根數為每層排放31根，可放31層，則共放31×31＝941根鋼管，而方案二：即：按圖10③的方式排放鋼管，第一層排放31根，第二層排放30根，設鋼管的放置層數為n,可得解得得可放35層，則共放31×18+30×17=1068根鋼管．由此可得方案二裝運鋼管最多．【解】(1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，∴OO=OO=OO=a，又∵OA=OA，∴OA⊥OO，∴OA==．⑵=，=，⑶方案二：裝運鋼管最多．即：按圖③的方式排放鋼管，放置根數最多.根據題意，第一層排放31根，第二層排放30根，設鋼管的放置層數為n,可得，解得，∵為正整數∴=35，鋼管放置的最多根數為：31×18+30×17=1068(根)．【評注】圖①是圖②和圖③的“單元”，(1)的計算問題是后繼問題的原型；(2)中的方案一很容易找到一般的規律，方案二需要將問題(1)中找到的等邊三角形的模型遷移過來，通過對，，，進行計算，得到一個猜想“圓圈的高度就是能形成的最大的等邊三角形的高加上一個圓圈的直徑”；然后再選擇n大于4的情況驗證我們結論的正確性，例如n=5，我們在右側再添加一列對圓圈的高度不產生任何影響，(不妨問自己三個問題：①如何構造直角三角形?②直角三角形的斜邊與n有著怎樣的聯系?③等邊三角形的高與圓圈的高度有著怎樣的聯系?)；本題的探究過程真正體現“特殊→一般→特殊”的認知規律．問題(3)是在問題(2)基礎上的進一步引申，既是對上述認識的運用，又是對問題的深入探索．考點2.拓廣應用型例2．(2010·青島)問題再現O現實生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至于服裝面料設計中隨處可見．在八年級課題學習“平面圖形的鑲嵌”中，對于單種多邊形的鑲嵌，主要研究了三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問題．今天我們把正多邊形的鑲嵌作為研究問題的切入點，提出其中幾個問題，共同來探究.O我們知道，可以單獨用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面．如右圖中，用正方形鑲嵌平面，可以發現在一個頂點O周圍圍繞著4個正方形的內角.試想：如果用正六邊形來鑲嵌平面，在一個頂點周圍應該圍繞著____個正六邊形的內角．問題提出如果我們要同時用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可能設計出幾種不同的組合方案？問題解決猜想1：是否可以同時用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？分析：我們可以將此問題轉化為數學問題來解決．從平面圖形的鑲嵌中可以發現，解決問題的關鍵在于分析能同時用于完整鑲嵌平面的兩種正多邊形的內角特點．具體地說，就是在鑲嵌平面時，一個頂點周圍圍繞的各個正多邊形的內角恰好拼成一個周角．∴．解得，．當時，E點的縱坐標為；當時，E點的縱坐標為．∴在拋物線上存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點的坐標為E1(2，3)；；．AA圖③－3CDBOxyH PGFPEA圖③－2CDBOxyH PGFPE【評注】①根據“平行線間的距離相等”可以得知△ABM與△ABN具有相同的底與相等的高，很容易得到兩個三角形面積相等．②是對①的簡單變式，可以從以下兩種不同的思路去解決：⑴將“平行線間具有相同底邊的兩個三角形面積相等”遷移到本題很簡單就能解決；⑵將“具有同底等高的兩個三角形面積相等”這個基本模型遷移到本題，(在使用這個模型解決問題的時候不妨問自己兩個問題：①如何構造等高呢?②)如何驗證兩個高相等呢?)“結論應用”改變了問題背景，在拋物線找到一點E使得△ADE與△ACD的面積相等，從而聯想到“探究新知”的兩個基本模型，這樣就要構造出線段AD的平行線，根據分類討論的思想，作出的平行線可能分布在線段AD的兩側，這樣就可以將“探究新知”中的結論遷移過來使用.考點4．新知應用型例4．(2010·臺州)類比學習：一動點沿著數軸向右平移3個單位，再向左平移2個單位，相當于向右平移1個單位．用實數加法表示為3+()=1．若坐標平面上的點作如下平移：沿x軸方向平移的數量為a(向右為正，向左為負，平移個單位)，沿y軸方向平移的數量為b(向上為正，向下為負，平移個單位)，則把有序數對{a，b}叫做這一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}與“平移量”{c，d}的加法運算法則為．解決問題：⑴計算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．⑵①動點P從坐標原點O出發，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把動點P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置還是點B嗎?在圖1中畫出四邊形OABC.②證明四邊形OABC是平行四邊形.yOyO圖2Q（5,5）P（2,3）yO圖111xx【分析】要解這一題，必須深度理解“平移量”的表達形式，及平移量表達的真正意義，及運算規則．yO11xyO11xABC{1，2}+{3，1}={4，3}．⑵①畫圖，最后的位置仍是B．②證明：由①知，A(3，1)，B(4，3)，C(1，2)∴OC=AB==，OA=BC==，∴四邊形OABC是平行四邊形．⑶{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0,0}．【評注】“類比學習”給我們介紹了一種新概念“平移量”及其運算法則，對新概念及其運算法則的正確理解是“解決問題”的基礎．“解決問題”(1)是新概念及其運算法則的直接應用；(2)是利用“平移量”定量地描述點的平移，①中只要確定頂點的位置，畫出四邊形OABC并不困難．②中可以通過網格的特點證明四邊形OABC的對邊相等．“解決問題”(3)是對(2)的變式，不是根據“平移量”確定位置，而是根據具體位置特點確定“平移量”，這種互逆思維的訓練加深了對新概念本質的理解．值得一提的是，這里不能將點的坐標與平移量混淆起來，點的坐標確定了點的位置，平移量確定了運動的距離和方向．四、真題演練1.(2010·河北)觀察思考某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點P在以OP為半徑的⊙O上運動．數學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數學知識，過點O作OH⊥l于點H，并測得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．解決問題⑴點Q與點O間的最小距離是_________分米；點Q與點O間的最大距離是_________分米；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是_________分米．⑵如圖3，小明同學說：“當點Q滑動到點H的位置時，PQ與⊙O是相切的．”你認為他的判斷對嗎？為什么？⑶①小麗同學發現：“當點P運動到OH上時，點P到l的距離最?。笔聦嵣?，還存在著點P到l距離最大的位置，此時，點P到l的距離是分米；HlHlO圖3P（Q）HlOPQ圖2圖1連桿滑塊滑道圖1圖1OxyDBAC①若A(-1，0)，B(3，0)，則E點坐標為__________；②若C(-2，2)，D(-2，-1)，則F點坐標為__________；(2)在圖2中，已知線段AB的端點坐標為A(a，b)，B(c，d)，求出圖中AB中點D的坐標(用含a，b，c，d的代數式表示)，并給出求解過程．OxOxyDB圖2A當其端點坐標為A(a，b)，B(c，d)，AB中點為D(x，y)時，x=_________，y=___________．(不必證明)運用在圖2中，一次函數與反比例函數xyyxyy=y=x-2ABO圖3①求出交點A，B的坐標；②若以A，O，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形，請利用上面的結論求出頂點P的坐標．3.(2009·陜西)問題探究⑴請在圖①的正方形內，畫出使的一個點，并說明理由．⑵請在圖②的正方形內(含邊)，畫出使的所有的點，并說明理由．問題解決⑶如圖③，現在一塊矩形鋼板．工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的和鋼板，且．請你在圖③中畫出符合要求的點和，并求出的面積(結果保留根號)．DDCBA圖①DCBA圖③DCBA圖②第二部分：練習部分1.電子跳蚤游戲盤是如圖所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤開始時在BC邊的P0處，BP0=2．跳蚤第一步從P0跳到AC邊的P1(第一次落點)處，且CP1=CP0；第二步從P1跳到AB邊的P2(第一次落點)處，且AP2=AP1；第三步從P2跳到BC邊的P3(第三次落點)處，且BP3=BP2；……；跳蚤按上述規則一致跳下去，第n次落點為Pn(n為正整數)，則點P2007與P2010之間的距離為()A．1 B．2C．3 D．4AABCP0P3P2P1第1題2.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，當直角三角板MPN的直角頂點P在BC邊上移動時，直角邊MP始終經過點A，設直角三角板的另一直角邊PN與CD相交于點Q．BP=x，CQ=y，那么y與x之間的函數圖象大致是MMQDCBPNA(第2題)xxyO463AxyO2.2563DxyO364C2.25xyO63B3.小明嘗試著將矩形紙片ABCD(如圖①，AD>CD)沿過A點的直線折疊，使得B點落在AD邊上的點F處，折痕為AE(如圖②)；再沿過D點的直線折疊，使得C點落在DA邊上的點N處，E點落在AE邊上的點M處，折痕為DG(如圖③)．如果第二次折疊后，M點正好在∠NDG的平分線上，那么矩形ABCD長與寬的比值為．AABCDABCDEF①②ABCDEGMN③4.[問題情境]勾股定理是一條古老的數學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數學家趙爽根據弦圖，利用面積法進行證明，著名數學家華羅庚曾提出把“數形關系”(勾股定理)帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。[定理表述]請你根據圖1中的直角三角形敘述勾股定理(用文字及符號語言敘述)；(3分)[嘗試證明]以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a、b為底，以為高的直角梯形(如圖2)，請你利用圖2，驗證勾股定理；(4分)[知識拓展]利用圖2中的直角梯形，我們可以證明其證明步驟如下：=。又∵在直角梯形ABCD中有BCAD(填大小關系)，即，(3分) 5.問題背景(1)如圖1，BBCDFE圖1A362△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點，過點E作EF∥AB交BC于點F．請按圖示數據填空：四邊形DBFE的面積，△EFC的面積，△ADE的面積．探究發現(2)在(1)中，若，，DE與BC間的距離為．請證明．拓展遷移(3)如圖2，□DEFG的四個頂點在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為2、5、3，試利用(2)中的結論求△ABC的面積．BBCDGFE圖2A【真題演練參考答案】1.⑴456； ⑵不對． ∵OP=2，PQ=3，OQ=4，且42≠32+22，即OQ2≠PQ2+OP2，∴OP與PQ不垂直．∴PQ與⊙O不相切．⑶①3； ②由①知，在⊙O上存在點P，到l的距離為3，此時，OP將不能再向下轉動，如圖3．OP在繞點O左右擺動過程中所掃過的最大扇形就是OP．DHlODHlO圖3PQ∵PQ，均與l垂直，且PQ=，∴四邊形PQ是矩形．∴OH⊥P，PD=D．由OP=2，OD=OHHD=1，得∠DOP=60°．∴∠PO=120°．∴所求最大圓心角的度數為120°．2.【解】探究(1)①(1，0)；②(-2，)；(2)過點A，D，B三點分別作x軸的垂線，垂足分別為，，，則∥∥．A′A′D′B′OxyDBA=．∴O=．xyy=xyy=y=x-2ABOOP同理可得D點的縱坐標是．∴AB中點D的坐標為(，)．歸納：，．運用①由題意得解得或．∴即交點的坐標為A(-1，-3)，B(3，1)．②以AB為對角線時，由上面的結論知AB中點M的坐標為(1，-1)．∵平行