2012年普通高等學校招生全國統一考試（山東卷）數學（理科）本試卷分第I卷和第II卷兩部分，共4頁。滿分150分。考試用時120分鐘，考試結束，務必將試卷和答題卡一并上交。注意事項：1.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、縣區和科類填寫在答題卡上和試卷規定的位置上。2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答案不能答在試卷上。3.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。4.填空題請直接填寫答案，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。參考公式：錐體的體積公式：V=Sh，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高。如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B獨立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。第I卷（共60分）選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若復數x滿足z(2-i)=11+7i(i為虛數單位)，則z為A3+5iB3-5iC-3+5iD-3-5i解析：.答案選A。另解：設，則根據復數相等可知，解得，于是。2已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，則（CuA）B為A{1,2,4}B{2,3,4}C{0,2,4}D{0,2,3,4}解析：。答案選C。3設a＞0a≠1，則“函數f(x)=ax在R上是減函數”，是“函數g(x)=(2-a)在R上是增函數”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：p：“函數f(x)=ax在R上是減函數”等價于；q：“函數g(x)=(2-a)在R上是增函數”等價于，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要條件.答案選A。（4）采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1,2，……，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入區間[1,450]的人做問卷A，編號落入區間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數為（A）7（B）9（C）10（D）15解析：采用系統抽樣方法從960人中抽取32人，將整體分成32組，每組30人，即，第k組的號碼為，令，而，解得，則滿足的整數k有10個，故答案應選C。解析：作出可行域，直線，將直線平移至點處有最大值，點處有最小值，即.答案應選A。（6）執行下面的程序圖，如果輸入a=4，那么輸出的n的值為（A）2（B）3（C）4（D）5解析：；；，。答案應選B。(7)若，，則sin=（A）（B）（C）（D）解析：由可得，，，答案應選D。三、解答題：本大題共6小題，共74分．（17）（本小題滿分12分）已知向量，函數的最大值為6．（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數的圖像向左平移個單位，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖像，求在上的值域．（17）解：（Ⅰ）因為，由題意知．（Ⅱ）由（I）將的圖象向左平移個單位后得到的圖象；再將得到圖象上各點橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象．因此，因為，所以，所以，所以在上的值域為．（18）（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，平面，．（Ⅰ）求證平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（18）（Ⅰ）證明：因為四邊形為等腰梯形，，，所以．又，所以因此，，又，且，平面，所以平面．（Ⅱ）解法一：由（I）知，所以，又平面，因此兩兩垂直．以為坐標原點，分別以所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，不妨設，則，，，，，因此，．設平面的一個法向量為，則，，所以，取，則．又平面的法向量可以取為，所以，所以二面角的余弦值為．解法二：取的中點，連結，由于，所以．又平面，平面，所以．由于，平面，所以平面，故．所以為二面角的平面角．在等腰三角形中，由于，因此，又，所以，故,因此二面角的余弦值為．（19）（本小題滿分12分）現有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊．（Ⅰ）求該射手恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求該射手的總得分的分布列及數學期望．（19）解：（Ⅰ）記“該射手恰好命中一次”為事件；“該射手設計甲靶命中”為事件；“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件；“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件．由題意知，，，由于，根據事件的獨立性與互斥性得（Ⅱ）根據題意，的所以可能取值為．根據事件的獨立性和互斥性得，，，故的分布列為012345所以．（20）（本小題滿分12分）在等差數列中，．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）對任意，將數列中落入區間內的項的個數記為，求數列的前項和．（20）解：（Ⅰ）因為是一個等差數列，所以，即．所以，數列的公差，所以，（Ⅱ）對，若，則，因此，故得（lbylfx）于是（21）（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；（Ⅲ）若點的橫坐標為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與圓有兩個不同的交點，求當時，的最小值．（21）解：（Ⅰ）依題線段為圓的弦，由垂徑定理知圓心的縱坐標，又到拋物線準線的距離為，所以.所以為所求.（Ⅱ）假設存在點，，又，，設，.變形為因為直線為拋物線的切線，故，解得，即，.又取中點，，由垂徑定理知，所以，，，所以存在，.（Ⅲ）依題，，圓心，，圓的半徑，圓心到直線的距離為，所以，.又聯立，設，，，，則有，.所以，.于是，記，，所以在，上單增，所以當，取得最小值，所以當時，取得最小值.（22）（本小題滿分13分）已知函數（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的單調區間；（Ⅲ）設，其中是的導函數．證明：對任意，．（22）解：（Ⅰ），依題意，為所求.（Ⅱ）此時記，，所以在，單減，又，