7十四兩條直線平行和垂直的判定1.若直線l1的傾斜角為135°,直線l2經(jīng)過點P(-2,-1),Q(3,-6),則直線l1與l2的位置關(guān)系是 ()A.垂直 B.平行C.重合 D.平行或重合【解析】選D.由題意,直線l2的斜率為-1,所以直線l2的傾斜角也為135°,故直線l1與l2平行或重合.2.已知直線l1經(jīng)過A(3,4),B(8,-1)兩點,直線l2的傾斜角為45°,那么l1與l2 ()A.垂直 B.平行C.重合 D.相交但不垂直【解析】選A.因為直線l1經(jīng)過A(3,4),B(8,-1)兩點,所以直線l1的斜率k1=4+13-因為直線l2的傾斜角為45°,所以直線l2的斜率k2=tan45°=1,所以k1·k2=-1,所以l1⊥l2.3.已知點A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),則以A,B,C,D為頂點的四邊形是 ()A.梯形 B.平行四邊形C.菱形 D.矩形【解析】選B.先畫出四邊形ABCD的大致圖形,如圖所示,由斜率公式得kBC=kAD=0,kAB=kCD=-34,所以四邊形ABCD為平行四邊形4.已知△ABC的兩頂點坐標(biāo)為B(2,1),C(-6,3),其垂心為H(-3,2),則頂點A的坐標(biāo)為()A.(-19,-62) B.(19,-62)C.(-19,62) D.(19,62)【解析】選A.設(shè)A的坐標(biāo)為(x,y),由已知得,AH⊥BC,BH⊥AC,且直線AH,BH的斜率存在,所以k即y解得x即頂點A的坐標(biāo)為(-19,-62).5.(多選題)設(shè)點P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),則有 ()A.PQ∥SR B.PQ⊥PSC.PS∥QS D.PR⊥QS【解析】選ABD.由斜率公式知,kPQ=-4-26+4=-35,kSRkPS=12-22+4=53,kQS=12+42-6=-4,kPR=6-212+4=14,所以PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而6.(多選題)已知直線l1經(jīng)過點A(3,a),B(a-1,2),直線l2經(jīng)過點C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,則a的值可以是 ()A.-4 B.-3 C.3 D.4【解析】選AC.設(shè)直線l1的斜率為k1,直線l2的斜率為k2,則k1=a-23-(a-1)=a若l1⊥l2,①當(dāng)k2=0時,此時a=0,k1=-12②當(dāng)k2≠0時,l1的斜率存在,此時k1=2-由k1k2=-1,可得2-aa-4·(-a3)=-1,解得a=3或a=-4.所以當(dāng)a=3或a=-4時,7.已知△ABC中,A(0,3),B(2,-1),E,F分別是AC,BC的中點,則直線EF的斜率為__________.

【解析】根據(jù)三角形的中位線定理,得EF∥AB,所以kEF=kAB=3-(-1答案:-28.已知△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(1,2),B(-1,1),C(0,2),則BC邊上的高所在直線的斜率為__________,傾斜角為__________.

【解析】設(shè)BC邊上的高所在直線的斜率為k,則有k·kBC=-1.因為kBC=2-10-(-所以BC邊上的高所在直線的傾斜角為135°.答案:-1135°9.判斷下列各題中l(wèi)1與l2是否垂直.(1)l1經(jīng)過點A(-1,-2),B(1,2);l2經(jīng)過點M(-2,-1),N(2,1);(2)l1的斜率為-10;l2經(jīng)過點A(10,2),B(20,3);(3)l1經(jīng)過點A(3,4),B(3,10);l2經(jīng)過點M(-10,40),N(10,40).【解析】(1)k1=2-(-k2=1-(-1)k1k2=1,所以l1與l2不垂直.(2)k1=-10,k2=3-220-10=110所以l1⊥l2.(3)由A,B的橫坐標(biāo)相等得l1的傾斜角為90°,則l1⊥x軸.k2=40-4010-(-10)=0,則l2∥x軸,所以10.已知點M(2,2),N(5,-2),點P在x軸上,分別求滿足下列條件的點P的坐標(biāo).(1)∠MOP=∠OPN(O是坐標(biāo)原點);(2)∠MPN是直角.【解析】(1)因為∠MOP=∠OPN,所以O(shè)M∥NP,所以kOM=kNP.設(shè)P(x,0),又kOM=2-02-0=1,kNP所以1=2x-5即點P的坐標(biāo)為(7,0).(2)因為∠MPN為直角,所以MP⊥NP,根據(jù)題意知MP,NP的斜率均存在,所以kMP·kNP=-1.設(shè)P(x0,0),則kMP=22-x0,k所以22-x解得x0=1或x0=6,即點P的坐標(biāo)為(1,0)或(6,0).11.滿足下列條件的直線l1與l2,其中l(wèi)1∥l2的是 ()①l1的斜率為2,l2過點A(1,2),B(4,8),且l1不經(jīng)過A點;②l1經(jīng)過點P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x軸,但不經(jīng)過P點;③l1經(jīng)過點M(-1,0),N(-5,-2),l2經(jīng)過點R(3,2),S(5,3).A.①② B.②③C.①③ D.①②③【解析】選D.由斜率公式,①中,直線l2的斜率也為2,故l1∥l2;②中,直線l1的斜率也為0,故l1∥l2;③兩條直線的斜率均為12,故兩直線平行12.已知兩點A(2,0),B(3,4),直線l過點B,且交y軸于點C(0,y),O是坐標(biāo)原點,且O,A,B,C四點共圓,則y的值是 ()A.19 B.194 C.5 D.【解析】選B.由O,A,B,C四點共圓可以得出四邊形OABC的對角互補,又由題意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即4-03-2·413.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三點,若CD⊥AB,且CB∥AD,則點D的坐標(biāo)為__________.

【解析】設(shè)D(x,y),則kCD=yx-3,kAB=3,kCB=-2,kAD因為CD⊥AB,CB∥AD,所以kCD·kAB=-1,kAD=kCB,所以y解得x所以點D的坐標(biāo)為(0,1).答案:(0,1)14.已知正方形ABCD的邊長為4,若E是BC的中點,F是CD的中點,則BF與AE的位置關(guān)系是__________.

【解析】建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0),所以kAE=24=12,kBF=4又kAE·kBF=12所以AE⊥BF.答案:垂直15.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四點,順次連接A,B,C,D四點,試判斷圖形ABCD的形狀.【解析】A,B,C,D四點在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖:由斜率公式可得kAB=5-32kCD=0-3-3-6=1kBC=3-56所以kAB=kCD,由圖可知AB與CD不重合,所以AB∥CD.因為kAD≠kBC,所以AD與BC不平行.又kAB·kAD=13所以AB⊥AD.故四邊形ABCD為直角梯形.16.直線l的傾斜角為30°,點P(2,1)在直線l上,直線l繞點P(2,1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后到達直線l1的位置,此時直線l1與l2平行,且l2是線段AB的垂直平分線,其中A(1,m-1),B(m,2),則m的值為__________.

【解析】如圖,