第18講基本解析幾何問題這一節我們講解解析幾何中最基本的長度、角度和面積等問題,這些是解決其他問題的基礎,對于長度問題就是利用弦長公式進行求解,角度問題通常轉化為斜率或者利用解三角形的知識把角度問題轉化為邊長問題,而其中較為綜合的就是面積問題,對于面積問題,我們要注意合理地拆分幾何圖形,選擇面積公式,并盡可能湊出韋達,從而實現整體代換來簡化計算.弦長問題直線與圓錐曲線相交弦長問題.解題方法是設而不求,整體代換的思想方法,具體步骙如下.第一步:設交點坐標,,設出直線方程.第二步:代入橢圓方程后應用韋達定理得.第三步:代入弦長公式.或求解.注意:若過拋物線的焦點,可直接使用公式,若不過焦點,則必須用一般弦長公式.【例1】求直線和橢圓:的弦長.【解析】第一步:設直線上兩同理可證得.而此吋我們直接求解,是一件很麻煩的事情,因此需要去湊出韋達定理,從而實現整體代換.第二步:聯立直線與橢圓方程得,確定主變量并通過直線方程消去另一變量,代入橢圓方程得到關于主變量的一元二次方程:,整理可得=0由韋達定理可得根與系數的關系:,最后帶入參數數值即可得弦長.【例2】若斜率為1的直線交橢圓于兩點,且,求直線的方程.【解析】設直線的方程為,點,聯立方程化簡得.由已知得,即,,且,..解得,符合題意.直線的方程為或.三角形面積直線和橢圓交于兩點,和軸交于點,求.解設,求出相關參數帶入面積公式,這里有兩種方法來解題:法一:求出弦長,和點到的距離,帶入公式:.法ニ:把拆分成兩個三角形,帶入計算,即..【例1】過點的斜率為2的直線交橢圓于兩點,求.面積.【解析】直線的方程為,代入?圓方程得.,則.設.,則...又點到直線的距離,.【例2】過點,且斜率為的直線與橢圓交于兩點,求的面積(為坐標原點).【解析】由題意可得直線的方程為.設..聯立.,整理得..則,從而.故的面積.四邊形面積求解四邊形的面積問題,通常來說有兩種方法:1.公式法:如果滿足特殊的四邊形,比如梯形、矩形、正方形、平行四邊形等,則直接代面積公式.2.拆分法:如果不是特殊四邊形,可以把四邊形分割成兩個三角形,利用三角形的面積公式進行求解,其中比較特殊的是對角線垂直的四邊形,其面積為對角線乘積的一半,平行四邊形的面積為兩個全等三角形的面積之和.【例1】設橢圓的上焦點為,過且斜率為的直線與橢圓交于兩點,若(其中為坐標原點),求點的坐標及四邊形的面積.【解析】直線的方程為,代入橢圓得.設,則.四邊形是平行四邊形.而原點到直線的距離為【例2】如下圖所示已知拋物線的焦點為F,準線為l,過F且斜率為3的直線h與拋物線C相交于A,B兩點,過A,B分別作準線l的垂線,垂足分別為D【解析】由題可得焦點為,準線為.不妨設,過且斜率為的直線的方程為,由得.代入得.四邊形是直角梯形,四邊形的面積為.【例3】若直線與曲線交于兩點,點為坐標原點,點是曲線上的一點,且四邊形是平行四邊形,求四邊形的面積.【解析】設,由,由韋達定理可得,且,即.四邊形是平行四邊形,,則.點在橢圓上,把坐標代入橢圓方程得.則到直線的距離,四邊形的面積為.【例4】如下圖所示，已知橢圓的離心率為,且過點.(1)求橢圓的方程.(2)設點在橢圓上,且與軸平行,過作兩條直線分別交橢圓于兩點,直線平分,且直線過點,求四邊形的面積.【解析】(1)由離心率,得①,由于點.在