.WORD.WORD版本.微積分在經濟學的應用畢業論文目錄標題 1中文摘要 1引言 1微積分在經濟學的應用 1邊際分析 1彈性分析 3彈性的概念 3需求彈性 3需求彈性與總收入的關系 4多元函數偏導數在經濟分析中的應用 5邊際經濟量 5偏彈性 6偏導數求極值 8積分在經濟分析中的應用 9邊際函數求原函數 9消費者剩余與生產者剩余 9收益流的現值與未來值 10實際問題探索 12經濟批量問題 12凈資產分析 13核廢料的處理 14結束語 16參考文獻 17致謝 18外文頁 19微積分在經濟學的應用武亞南摘要關鍵詞微積分邊際分析彈性分析實際問題引言（公元263年）總結了前人的成果，提出了“割圓術頓（Newton，1642-1727）和德國數學家萊布尼茨微積分在經濟學的應用邊際分析在經濟問題中，常常會使用變化率的概念.變化率一般分為平均變化率和即時或瞬時率，平均變化率就是函數的增量與自變量的增量之比，瞬時變化率就是函數對自變量的導數，在經濟學中也將瞬時變化率即導函數稱為邊際函數.一般，稱

y f

xf0

y

在

的平均變化率，它表示函數x x 0 0yf在x0 0

xyfxx處的導數0 y

fxff'x lim lim 0 00 x0x x0 xyfxfxxxf在點0 0xx0在經濟學中邊際函數定義如下1yfxffxfx處函數值0f'x為邊際函數值.簡稱為邊際.0根據邊際函數的定義，可知邊際成本、邊際收入、邊際收益、邊際需求，是成本函數、收入函數、需求函數的導函數.1罐頭廠生產的草莓罐頭每瓶售價5.4（單位：千瓶）Q成本為2400100Q2(元).設價格不變，求可以獲得利潤的銷售量圍；每周銷售量為多少瓶時，可以獲得最大利潤解 總收益總利潤LQRQCQ100Q21400Q2400100Q2142412當2Q12時，0，即當銷售量在2000瓶至12000 瓶之間可以獲得利令L'Q200Q14000，得Q7L"(Q)2000故Q7時，取得極大值，因極值唯一，即為最大值，所以當銷售量7000 瓶時，可獲得大利.上述結果表明銷售量為每周7000 瓶時此時獲得最大利潤，當銷售量為每周2000Q7000瓶時，再增加一瓶，利潤將增加，當銷售量為每7000Q12000瓶時，再增加一瓶，利潤將少.由此亦說明并非生產的產品數量越多利潤越高通過對邊際利潤的分析可以減少工廠投資的盲目性，減少投資損失.彈性分析51200降價1元，結果，甲商品的需求量變化較大，這是為什么呢？原因是甲降價幅度即相對增量20%比乙降價的幅度0.5%大.為此我們有必要研究一下函數的相對改變率.彈性的概念

y f

xfx2y

x在點x處可導，函數的相對改變量 0 y0

0 f0

0 與自變yy量的相對改變量 之比0，稱為函數

x

到xx

x兩點間的平均相對變化率，x x 0 00x0y或稱兩點間的彈性.當x0時，

y0的極限稱為fx在xx

處的相對變化率，也就是相對導x 0x0數，或稱彈性.記作即

xxEyExEyEx

,或EEx

fx0EyExxEyEx0

f'x00 fx00fxxx的變化幅度fx

的大小x y影響，根據彈性函數公式推導可知，兩點之間的彈性有正負之分.需求彈性在定義2中已介紹過彈性函數，由此可知需求彈性反映了當商品價格變動時需求變動的強度，由于需求函數Qf

為遞減函數，所以f

'

0，從而f

'P0

P0 P0正數表示需求彈性，因此采用需求函數相對變化率的相反數來定義需求彈性.定義3設某商品的需求函數為Q

,P0

P

QP 0 為該商品從PQPP0

到PP0

P

'

Pf0

00'P00 fP0

為該商品在PP0

處的需求彈性.在經濟學上，當1時，稱為單位彈性，即商品需求量的相對變化與價格的相對變化基本相等.當11需求彈性與總收入的關系在經濟學上總收入 RPQPf邊際總收入 R

fPPf

'PfP

Pf

'PfffP1若1數為遞增函數，也就是當價格上漲，總收入增加，價格下跌時，總收入減少；若1此時取得最大值；若1時，需求變動的幅度大于價格變動的幅度，此時邊際總收入小于零，即總收入函數為遞減函數，也就是當價格上漲，總收入減少，價格下跌，總收入增加.通過分析上述需求彈性與總收入的關系，可推導出漲價未必增收，降價未必減收，從而能夠在市場經濟中為企業或經營者提供有利的條件，為他們的決策提供了有利的分析方法和新思路.2P15，當商品價格處于哪種價格時，廠商可以用適當降價或漲價的辦法提高總收入.解 由P15

，解出

QfP15P25設需求彈性為

，邊際需求

Q'f'P125由需求彈性定義可知

f'P f P 25 PP25P15P再由需求彈性與總收入的關系可知P 15當15P1P2，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，即當價格上漲時，總收入增加，價格下跌，總收入減少.P 15當15P1P2P 15當15P1P2，需求變動的幅度大于價格變動的幅度，即當價格上漲，總收入減少，價格下跌，總收入增加.

0P15時，通過由上述分析可知，若企業對該商品進行價格調整時，參照以上分析法，當 215提升價格來提高總收入，當時P2潤，不會因為盲目的降低價格而使企業的總收入降低.多元函數偏導數在經濟分析中的應用在上述的分析中，我們只是對一元函數進行了探討，但是在市場經濟中，并不是由一種元決定商品的銷售策略，有時由多種元素來決定，這就要我們對其多元函數來進行分析.邊際經濟量設某企業生產某種產品的產量Q取決于投資的資本K和勞動力L，一般滿足生產函數QcKL,其中c,,是正常數，且01,01由偏導數的定義可知，

Q Q K表示在勞動力投入保持不變的情況下，資本投入變化時，產量的變化率稱為資本的邊際產量.Q Q cKL表示在資本投入保持不變的情況下，勞動力投入變化時，產量的變化率稱為勞動力的邊際產量.偏彈性由一元函數的彈性概念可知，f

'x

x0 x

的彈性，由此可以推知在多元函數中的0 f 00彈性.

Ez

z x

z xx

fx,

，則函數對x的偏彈性Ex xfy fy，表示若y保持不zfyyEz

y

zy

，表示若x保持不變，yEy fy fy的相對變化率.ABPPA B

Q和QA B

，因此，它們的需求函數可表示為Q f,P

gP,PA A B⑴需求的自身價格彈性，即

B A BAAEQAEP QAA

EQ PBBBEP QBBBA⑵需求的交叉價格彈性，即EQ

A AP

B B BBEQ PBA A BEP Q

B AEP QB B A⑶兩種商品的相互關系

A A BEQA0

0時，則表示當兩種商品中任意一個價格降低，都將使其一個需求量增EP EPB A

EQ EQ加，另一個需求量減少，此時這兩種商品就是替代商品，當 EPB

0或 EPA

0時，則表示當兩種商品中任意一個價格降低，都將使其需求量Q 和Q 增加，則這兩種商品為互補商品，當A BEQ EQ A 0或 EP EPB A

0時，則稱這兩種商品相互獨立.例3某一種數碼相機的的銷售量QA

，除了與它自身的價格PA

相關外，還與彩色噴墨打印機的PB

有關，具體相關函數為

Q 120A

250PA

10PB

P2BPPA

5時QAQA

P的彈性；APB解 （1）QA

P的彈性為AEQ Q PA A AEP P QA A A250P2

PA250A120 10PP2P B BA 250 PPA

5時，

120P 250P 10P P2A A B B EQA 250 1 EP 12050250505025 10A（2）Q PA

的交叉彈性為ABEQAQ EP P QABB B A102PB

PB12025010P

P2PPA

5時，EQ

P B BA5A20 2EP 12055025B偏導數求極值假設某公司生產的產品有許多種，那么如何進行生產，才能使公司獲得最大利潤以及成本最低，這就需要用到偏導數求極值與最值.

例4x單位104m

，電力y單位：kW的總成本函數為

Cx,y1x2

3y

7xy134x12y2502 4xyy4x36，試求煤氣和電力的銷售量各為多少時，總成本最低？解構造拉格朗日函數

Fy,yy4x361 x23y27xy134x12y2504x361解方程組

2 4Fx7y13440 ①xF3y7x120 ②y 2由①②可知

Fy4x360 ③再由③④可知 29x13y860 ④x4.72,y17.12依題意Cx,y4.72104m311kW可使總成本最低，且最低成本為C4.72,17.12753.2.積分在經濟分析中的應用邊際函數求原函數積分是微分的逆運算，因此，用積分的方法可以由邊際函數求出原函數.設某個經濟應用函數x的邊際函數為'x，則有x'xdxx00則消費者剩余與生產者剩余

x0x'xdx0.WORD.WORD版本.在經濟管理中，一般來說，商品的價格越低，需求量越大；反之，商品的價格越高，需求量就QfP此供給函數QgPP的單調遞增函數.由于Qf和QgP兩者都是單調函數，故兩者都存在反函數，需求函數QfPf1也是需求函數，供給函數QgPPg1稱為平衡點，在此點表示生產需求函數Pf1Q和供給函數Pg1Q的交點Q*,P*稱為平衡點，在此點表示生產.WORD.WORD版本.剩余.假設所有消費者都是以他們打算支付的最終價格購買某種商品，其中包括所有打算以比P*高的價格支付商品的消費者確實支付了他們所情愿支付的，那么，* 1現考慮區間Q ，如上圖，選

Q,Q

，消費者的消費量f

QQ.消費者消費總量Q0

f0到Q*現在，如果所有商品都以平衡價格出售，那么消費者實際上的消費額為P*Q*，為兩條坐標軸及直線QQ*PP*消費者剩余

Q*fP*Q*需求曲線以下直線PP*0同理P*Q*是生產者實際售出商品的收入總額，Q*g1QdQ 是生產者愿意售出商品的收入0總額，因此，生產者剩余如下：P*Q*

Q*g1QdQ供給函數與直線PP*05已知某蔬菜市場的需求函數為P10QP70.5Q，求消費者剩余與解先求出市場的均衡價格P*和均衡產量Q*：P10Q70.5Q得Q*

P*8由消費者剩余和生產者剩余公式可知消費者剩余210QdQ2820生產者剩余2827QdQ10收益流的現值與未來值復利計息方式的基本思想：利息收入自動計入下一期的本金，就像常說的“利滾利”.4A0

（元，銀行年利率為r，第一年末的利息為A0

r，本利和為AA1 0

ArA0

rA0

1rr，本利和為A A2 0

1rA0

1rrA0

1r2以此類推，可知，第n年末的本利和為

A An

1rn這就是以年為期的復利計算公式.定義5由于資金周轉過程是不斷連續進行的，若一年中分n期計算，年利率仍為r，則一年后的本利和為

AA1rn則由此可知t年后的本利和為

1 0 nAA

1

rntt 0 n如果計息期數n時，即每時每刻計算復利（稱為連續復利，則t年后的本利和為 nrt 1 r 1AlimA

r nt1 lim

1 t n

0 n

n

0 n r 這就是連續復利公式.

Aert0rA元人民幣從現在起存入銀行，則年0后的價值（將來值）

BA0

ert若有一筆收益流的收益流量為Pt（元/年，考慮從現在開始（t0）到T年后這一段時間dt，在近似看做常數，則所應（元）.從現在（t0）這一金額是在年后的將來而獲得，因此在收益流的現值PtdtertPtertdt從而總現值

TPtertdt0在計算將來值時，收入Ptdt在以后的Tt年期間獲息，故在t,tdt，收益流的將來值tdterTtterTtdt將來值TPterTtdt06一位城鎮居民想要購買一棟別墅，現在價值為30021萬元，并且還必須在20年付清，并且銀行的存款年利率為4%，若按照連續復利的方式計息，請你幫這位購房者提供一個決策：是采用一次付款合算還是分期付款合算？解2021萬元，所以收益流的變化率21，于是分期付款的現值為200

21e0.04tdt

21

e0.0t2005251-e0.8289.1300所以分期付款合算.實際問題探索經濟批量問題7Ay批采購進貨.已知每批采購費用為B元，而未售商品的庫存費用為C元／年·為最??？（ABCABC0）.解顯然，采購進貨的費用為

WyBy1A A因為銷售商品是均勻的，所以平均庫存的商品數應為每批進貨的商品數y

2y

，因而商品的庫存費用

WyAC2 2y總費用

WyW1

yW2

yBy

AC 02y令AC2B得AC2BAC2AC2B

.又AC2B AC2B

W'yBAC02y2W''yAC0y3所以W 為W y的一個最小.從而當批數y取一個接近于 的自然數時，才能使采 購與庫存費用之和最省.凈資產分析85%的連續復利產生利息而使總資產增加，同時，公司必須每年連續的支付200百萬元人民幣為職工的工資.1列出描述公司凈資產W的微分方程假設公司的初始凈資產為W03描述當W分別為3000,4000,5000時公司的情況.0解若存在一個初值W，使公司的凈資產不變，則0利息盈取的速率=工資支付的速率即0.05W0

200,W0

4000因此，如果凈資產為4000，那么此時的凈資產不變，此時達到一個平衡，則4000是一個平衡解.但是若W 4000，則利息盈取超過工資支付，凈資產增加，此時利息也會增長的快，從而凈0資產也會增長的快；W 4000，則利息盈取低于工資支付，公司的凈資產將減少，利息的盈取0也會減少，從而凈資產減少的速率越來越快，這樣一來，在不久的將來公司將面臨破產的危險.凈資產的增長速率=利息盈取的速率-工資支付的速率建立微分方程有即

dW200 ①dtdW4000 ②dt兩邊同時積分，得出

dW 0.05dt ③W4000 1W4000

dW0.05dt ④W4000Ce0.05t ⑤dW0，得出平衡解Wdt

4000.由當t0時，W0

4000，代入⑤中可得

CW 40000則W400040000.05t0若W 4000，則W4000若0若W 5000，則W40001000e0.05t若0若W 3000，W40001000e0.05t，此時凈資產是減少的，并且當W0t，若0這說明，該公司在28年后將破產.核廢料的處理91.14m的的海底（圓桶的質量m240kg,體積V0.208m3，海水的密度為1026kg/m3）.當時的一些桶的速度成正比，并且比例系數為k1.17kg/s12.2m/s，那圓桶到達海底時的速度為多少呢？這是一個我們值得探究的問題.xy軸的正向沿鉛直向下.設在時間tyvy00v00.圓桶在下沉過程中所受的重力為Gmg240圓桶所受海水的浮力為

FVg10260.208海水的阻力為

fkv1.17v圓桶在下沉過程中所受的合力為F GFf235220911.17v2611.17v合由于加速度為a

dv，根據牛頓第二定律可知F

ma，mdv

GFkv，即dt 合 dtdvGFkv又由于

dt mdvdvdyvdvdt dydt dy故vdvGFdy m分離變量得出

vdv dy兩邊同時積分可得

GFkv my00v00，可得

vGk k2

lnGBkv

yCm此時可得方程為

CGFFk2 yvGFlnGF m k k2 GF y v

261

ln2611.17v240 1.17 1.172

261 若假設此時速度為臨界速度v12.2m/s，則此時的圓桶的位置由方程可得y71m說明此時還沒有到達海底.但是問題是海水的阻力會不會使其減速呢？由于加速度advGFdt ma0GFkv0即2611.17v0，此時v/s，也就說只能在v/s時才能減速，那么當v12.2m/s時GFkv

2611.1712.2

1.03m/s2m 240也就說圓桶的速度大約每秒提升約1m/s，到海底還有約20m需要近2s，因此必定會在14m/s左右碰壁而破裂.結束語本文前面部分先給出了有關微積分的發展歷史，然后介紹了微分在經濟學的應用的邊際分析以及彈性分析，