秘密★啟用前九江市2022—2023學年度下學期期末考試高一數學試題卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共22道小題，時間120分鐘，滿分150分．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據復數代數形式的乘法運算化簡，再根據復數的模的計算公式計算可得.【詳解】因為，所以.故選：C2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將拆分成，然后利用兩角差的正弦余弦公式展開計算即可.【詳解】因為.故選：D.3.如圖，正方體中，是底面的中心，，，，分別為棱，，，的中點，則下列與垂直的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點，連接、、、，即可證明平面，從而判斷B，再由平行得到異面直線所成角，即可判斷A、C，利用反證法說明D.【詳解】取的中點，連接、、、，根據正方體的性質可得，，，所以為異面直線與所成角，設正方體的棱長為，則，，，所以，所以，顯然，故直線與不垂直，故A錯誤，因為，，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以，故B正確；取的中點，連接、，則且，又且，所以且，所以為平行四邊形，所以，所以為與所成的角，顯然，所以與不垂直，故C錯誤；連接，因為平面，平面，所以，若，，平面，所以平面，又平面，所以，顯然與不垂直，故假設不成立，所以與不垂直，故D錯誤；故選：B4.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得，化簡后可求出，然后利用夾角公式求解即可【詳解】因為，所以，得，設與的夾角為，因為，所以，因為，所以，故選：C5.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據正弦函數、余弦函數、正切函數的性質判斷即可.【詳解】因為，，所以，，所以，，所以.故選：D6.若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，利用三角恒等變換的公式，化簡得到，求得，結合三角函數的基本關系式，即可求解.【詳解】由三角函數的基本關系式和倍角公式，可得因為，所以，整理得，即，因為，可得，所以，則，所以.故選：A.7.把半徑為R的一圓形紙片，自中心處剪去中心角為120°的扇形后圍成一無底圓錐，則該圓錐的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，設無底圓錐的底面半徑為，由弧長公式可得，進而計算可得答案．【詳解】根據題意，設無底圓錐的底面半徑為，其母線長為，根據題意可知圓錐的側面展開圖為240°的扇形，則有，可得，故該圓錐的高．故選：C．8.在中，已知，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知等式化切為弦，可得，結合正弦定理及余弦定理即基本不等式求得的最小值，則答案可求．【詳解】，，可得，．又，，，可得，，當且僅當時取等號，又，則，所以，的取值范圍為．故選：C．二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.已知非零向量，，，則（）A.若，則 B.若，則C若，則，共線 D.若，則，共線【答案】BCD【解析】【分析】由向量數量積的定義即可判斷A，由向量數量積的運算律，代入計算，即可判斷B，由平面向量共線定理即可判斷C，由平面向量數量積的運算律代入計算，即可判斷D.【詳解】對于A，若，即，即，得不到，故A錯誤；對于B，若，則，所以，故B正確；對于C，若，且為非零向量，由平面向量共線定理可知，，共線，故C正確；對于D，若，設與的夾角為，則兩邊平方可得，，即，所以，則，所以，即與是共線且反向，故D正確；故選：.10.若為第四象限角，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據為第四象限角，可得，的范圍，進而根據三角函數在各個象限的正負即可判斷.【詳解】由于為第四象限角，所以,所以，，所以終邊落在第三、四象限以及軸負半軸上，終邊落在第二或第四象限的角，故BC正確，AD錯誤，故選：BC11.關于函數，下列結論正確的是（）A.是偶函數 B.的最小正周期為C.在區間上單調遞減 D.的最大值為2【答案】AC【解析】【分析】根據偶函數定義可判斷A，根據即可判斷B，根據整體法即可判斷C，去掉絕對值根據輔助角公式，結合三角函數的性質即可判斷D.【詳解】對于A，的定義域為,且，故為偶函數，故A正確，對于B,由于所以，故不是的周期，故B錯誤，對于C,當時，，，故在區間上單調遞減，C正確，對于D，其中，所以取不到2，故D錯誤，故選：AC12.如圖，正方體中，，P為線段上的動點，則下列說法正確的是（）A. B.平面C.三棱錐的體積為定值 D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】在正方體中，易得平面，可判定A正確；過點作，得到平面即為平面，結合與不垂直，可判定B不正確；由平面平面，證得平面，得到點到平面的距離等于點點到平面的距離，且為定值，可判定C正確；將繞著展開，使得平面與平面重合，連接，得到時，取得最小值，進而可判定D正確.【詳解】對于A中，如圖（1）所示，在正方體中，連接，連接，在正方形中，可得，由平面，平面，所以，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以，連接，同理可證平面，因為平面，所以，因為且平面，所以平面，因為平面，所以，所以A正確；對于B中，當點不與重合時，過點作，因為，所以，所以平面即為平面，如圖所示，在正方形中，與不垂直，所以與平面不垂直，所以B不正確；對于C中，分別連接，在正方體，因為，平面平面，所以平面，同理可證：平面，因為且平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，又因為是上的一動點，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，且為定值，因為的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以C正確；對于D中，將繞著展開，使得平面與平面重合，如圖（2）所示，連接，當為和的交點時，即為的中點時，即時，取得最小值，因為正方體中，，可得，，在等邊中，可得，在直角中，可得，所以的最小值為，所以D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據題意得到復數在復平面內對應的點為，結合題意，列出不等式組，即可求解.【詳解】由復數在復平面內對應的點為，因為復數在復平面內對應的點在第四象限，則滿足，解得，所以實數m的取值范圍是.故答案為：.14.已知向量，，則在方向上的投影數量為______．【答案】##【解析】【分析】根據向量投影的計算公式即可求解.【詳解】在方向上的投影為，故答案為：15.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則的面積為______．【答案】【解析】【分析】根據正弦定理邊角化得，進而可得，由余弦定理和面積公式即可求解.【詳解】由正弦定理可得,由于，所以，由得，故,所以，故的面積為,故答案為：16.南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．如圖“三角垛”共三層，最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，每個球的半徑均為1且兩兩相切，則該“三角垛”的高度為______．【答案】【解析】【分析】依題意連接頂層1個球和底層邊緣3個球球心得到一個正四面體，且該正四面體的棱長為，則該“三角垛”的高度為正四面體的高，求出正四面體的高，即可得解.【詳解】依題意連接頂層1個球和底層邊緣3個球的球心得到一個正四面體，且該正四面體的棱長為，則該“三角垛”的高度為正四面體的高，如圖正四面體棱長為，設底面的中心為，連接并延長交于點，則為的中點，連接，則為底面上的高，，，所以，所以“三角垛”的高度為.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知函數．（1）求的最小正周期；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據余弦的和差角公式即可化簡，由周期公式即可求解，（2）根據正切和差角公式得，即可由余弦的二倍角公式以及齊次式求解.【小問1詳解】，所以周期為【小問2詳解】由于，所以，故18.已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，P為平面ABCD內一點，AC與BP相交于點Q．（1）若，，求x，y的值；（2）求最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立直角坐標系，利用向量的線性運算的坐標表示即可求解，（2）根據向量數量積的坐標運算，結合二次型多項式的特征即可求解最值.【小問1詳解】當時，則為的中點，由于,所以,所以【小問2詳解】由于四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且，建立如圖所示的直角坐標系，則,取中點為，連接,則,設，，故當時，取最小值，19.如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，是的重心．（1）求證：∥平面；（2）若，，求圓錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，由M是的重心，O為的重心，可得，從而得∥，然后利用線面平行的判定定理可證得結論；（2）由，得，則，從而可求出，進而可求出圓錐的體積.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，因為為等邊三角形，，所以分別在上，因為是的重心，所以，因為為的重心，所以，所以，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面；【小問2詳解】因為∥，所以，因為，所以，所以，因為為等邊的重心，所以，所以底面圓的面積為，，所以圓錐的體積為20.如圖，已知函數的圖象與x軸相交于點，圖像的一個最高點為．（1）求的值；（2）將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求函數的所有零點之和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數的性質可得函數的解析式，即可求出的值；（2）由三角函數的平移變換求出，問題等價于與圖象的所有交點的橫坐標之和，畫出與圖象，求解即可.【小問1詳解】，所以，所以，又因為函數的圖象的一個最高點為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以.【小問2詳解】將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，所以，令，得，問題等價于與圖象的所有交點的橫坐標之和，函數與的圖象關于對稱，令，解得：，函數與的圖象如下圖所示：故兩函數的圖象有且僅有9個交點，所以，故函數的所有零點之和為.21.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，D為角B平分線上一點，且，求證：A，B，C，D四點共圓．【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據題意，由正弦定理結合正弦的二倍角公式化簡計算，即可得到結果；（2）根據題意，由正弦定理可得，即可得到，即可證明.【小問1詳解】由正弦定理及可得，，因為，且，則且，所以，即，則，即，所以.【小問2詳解】證明：由（1）可得，，如圖，D為角B的平分線上一點，所以，在中，由正弦定理可得，，同理，在中，，因為，，所以，所以，所以，所以，所以A，B，C，D四點共圓．22.如圖，在三棱柱中，，，平面．（1）求證：平面；（2）若點在棱上，當的面積最小時，求三棱錐外接球的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依題意可得、，