#旋轉相似三角形問題的探究【牛刀小試】如圖，AB=8,。為AB的中點，滿足OP=2,連接BP,將BP繞P點逆時針旋轉90°到PC,連接BC、AC,則AC的取值范圍是【分析】不變量：AB、OP和/BPC=90°變量：P（軌跡為圓），BP、CP、AC、BC關系：。為AB中點，BP=CP求解：AC（AC=2OD,遇到中點，中位線），聯想45°旋轉。【解答】如圖，以OB為斜邊作等腰直角三角形OO'B,則/OBO'=45°,由題意可知/PBC=45°, ZOBP=ZO'BD,取BC中點D'。連接PD、OD,又-OB-O'B所以OB_又-OB-O'B所以OB_PBO'BBD△OBP^AO'BD墨=應，O'D=五,D的軌跡是以。'為圓心，半徑為J2的圓故J2MOD<372,OD分別為AB、BC中點，所以AC=2OD,所以2J2工ACM6J2.牛刀小試.gsp牛刀小試.gsp【庖丁解牛】旋轉相似的主要特點：①旋轉前有一對相似三角形，旋轉后新產生一對相似三角形;②證明新三角形相似的方法：“兩邊一夾角判定法”；③角相等從旋轉得到，對應邊成比例從原三角形相似中得到適用對象：共（對應）頂點的一對相似三角形B口用榴旺角開月I司相似三角附旋轉相似動畫演示.gsp△ABC^AADE,△ABDace△ABCs^ade,△ABDace例：如圖，在4ABC中，AB=5,AC=4,△ABC繞著點A旋轉后能與^AB'C重合，那么4ABB與4ACC的面積之比為析：根據旋轉的性質，可得△ABC與^AB'C的關系，根據兩邊對應成比例，夾角相等的三角形相似，可得△ABB與4ACC的關系，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得答案.答：△ABC繞著點A旋轉后能與△ABC重合，??.AB=AB'，AC=AC；/BAB'=/CAC',?.AB:AC=AB':AC',/BAB'=/CAC'?.△ABB's△ACC",,.AB:AC=5:4,??.△ABB與^ACC'的面積之比=(5:4)2=25:16,故答案為：25:16.【變式拓展】1、已知AB為圓。的直徑，AB=4,C為OB的中點，點P在圓。上運動，連接CP,以CP為邊作等邊三角形CPD,則OD的最大值為【解答】如圖，以OC為斜邊作等邊三角形OO'C,則/OCO'=60°,由題意可知/PCD=60°,ZOCP=ZO'CD, AOCP^AO'CD,O'D=OP=2/PCD=60°,D的軌跡是以。'為圓心，半徑為2的圓，故O、O'、D共線時，OD由最大值3.變式：已知AB為圓。的直徑，AB=4,C為OB的中點，點P在圓。上運動，連接CP,以CP為直角邊，P為直角頂點作等腰直角三角形 CPD,則OD的最大值為.【解答】如圖，以O為直角頂點，OC為直角邊作等腰直角三角形OO'C,則/OCO'=45°,由題意可知ZPCD=45°, /OCP=/O'CD,又^%=耳=/，△OCPs^o'cd,O'D=72OP=2衣O'Ccd72D的軌跡是以O'為圓心，半徑為2J2的圓，故O、O′、D共線時，OD由最大值2J2+1.2、【無錫市惠山區】如圖， AABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,點E、F分別是邊BC、AC的中點，P是AB上一點，以PF為一直角邊作等腰直角三角形 PFQ,且/FPQ=90°,若AB=10,PB=1,則QE的值為()A.3 B.3近 C.4 D.4也解：連結FD,D是AB的中點，如圖，.「△ABC為等腰直角三角形，AB=10,PB=1,.?.AC=BC=5業/A=45。,???點D、E、F分別是"BC三邊的中點，AB=10,PB=1,.?.AD=BD=5,DP=DB-PB=5-1=4,EF、DF為AABC的中位線,?.EF//AB,EF=1AB=5,DF=2BC=5*2,/EFP=/FPD,

52?/FDA=45，EF=-5-?./DFP+ZDPF=45°,「△PQF為等腰直角三角形，./PFE+/EFQ=45°,FP=PQ,?./DFP=ZEFQ,「△PFQ是等腰直角三角形,.DF_=PF■EF—Fq-'?.△FDP^AFEQ,EFcFd-=《.?.QE=^2DP=4-72.選D.變式：若D為AB的中點，P在PD之間運動時，則QE的范圍是【實戰演練】1.【無錫市江南中學】如圖，在矩形ABCD中，將/ABC繞點A按逆時針方向旋轉一定角度后， BC的對應邊B'C'交CD邊于點B'C'交CD邊于點G.連接（結果保留根號）BB'、CC'.若AD=7,CG=4,AB'=B'G,則一：

BB解：連接AC,AG,AC',由旋轉可得，AB=AB',AC=AC',/BAB'=/CAC',,ABAB.AC=AC''?.△ABB'^AACC',,ABAB.AC=AC''?.△ABB'^AACC',CC'=ACBB尸AB'??AB'=B'G,ZAB'G=ZABC=90°,AB'G是等腰直角三角形，AG=J2AB',設AB=AB'=x,則AG=\2x,DG=x-4,??RtAADG中,AD2+DG2=AG2,-72+(x-4)2=hj2x)2,解得x1=5,x2=—13(舍去)，AB=5,??RtAABC中，AC=\,'AB2+BC2=^52+72=74,.CC_=AC_\74-BBAB―5,2.【宜興市實驗學校】如圖，△ABC在第一象限，其面積為8.點P從點A出發，沿^ABC的邊從A-B-C-A運動一周，在點P運動的同時，作點P關于原點。的對稱點Q,再以PQ為邊作等邊三角形PQM,點M在第二象限，點M隨點P運動所形成的圖形的面積為（ ）A.3 B.9 C.27 D,973

解：如圖，二.點P從點A出發，沿那BC的邊從A—B-C-A運動一周，且點Q關于原點。與點P對稱，??點Q隨點P運動所形成的圖形是AABC關于O的中心對稱圖形，以PQ為邊作等邊APQM,M點對應的A,B,C的點分別為Ma,Mb,Mc,.「△MbQbB是等邊三角形，，MbO=13OB,同理Mc0=J30C,,MbO_McO_3-Bo-=~CO~=7'./COB+ZBOMc=90°,ZMcOMb+ZBOMc=90°./COB=ZMQMb，??AMcOMb^ACOB,?MbMc=V3BC,同理,MaMb=艱AB,MaMc="3AC,??△MaMbMc的面積=V3X..3X9=27,即點M隨點P運動所必成的圖形的面積為 27.選C.3.【無錫市天一實驗學校】如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為2m的一個定點，AC^x軸于點M,交直線y=—x于點N.若點P是線段ON上的一個動點，/APB=30°,BAXPA,則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動.求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.解：由題意可知，OM=2,3,點N在直線y=—x上，AC^x軸于點M,則4MN為等腰直角三角形，ON=J2om=\2x213=2、6.如答圖①所示，設動點 P在O點（起點）時，點 B的位置為B。，動點P在N點（終點）時，點 B的位置為Bn,連接BoBn..AO，ABo,AN，ABn，???/OAC=/B°ABn，又.?ABo=AO-tan30,ABn=AN-tan30°，.二AB°：AO=ABn：AN=tan30°（此處也可用30°角的Rt「邊長的關系來求得），AAB0Bn^AAON,且相似比為tan30°,3B0Bn=ON-tan30=276><^=2燧.3現在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.B為Bi，連接AP,ABiB為Bi，連接AP,ABi,BoBi?.AO±ABo,AP±ABi,?-ZOAP=/B°ABi,又???AB0=AO-tan30,ABi=AP-tan30°，.二AB0:AO=ABi:AP,?.△ABoBiS^AOP, AB0Bi=ZAOP.又..AAB0Bns4AON,../ABoBr^/AOP,? AB°Bi=/ABoBn，???點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn,其長度為2^.2.4.（1）如圖1,已知^ABC,以AB,AC為邊分別向△ABC外作等邊4ABD和等邊AACE,連結BE,CD,請你完成圖形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡 ），并證明：BE=CD;（2）如圖2,利用（1）中的方法解決如下問題：在四邊形 ABCD中，AD=3,CD=2,ZABC=ZACB=ZADC=45°,求BD的長.（3）如圖3,四邊形ABCD中，/CAB=90°,/ADC=/ACB=%tan“=4,CD=5,AD=12,求BD的長.圖1 圖圖1 圖2 圖3解：⑴如圖1,分別以點A.B為圓心，以AB為半徑畫弧，交于點D,連接AD、BD,再分別以A.C為圓心,以AC為半徑畫弧，交于點E,連接AE、CE,則^ABD、AACE就是所求作的等邊三角形；證明：如圖1,ABD和4ACE都是等邊三角形,.AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC=60°,./DAC=ZBAE,.△DAC^ABAE(SAS),BE=CD;由勾股定理得：DE=。32+32=3折,./EDA=45°,./ADC=45°,./EDC=/EDA+/ADC=90°,./ACB=ZABC=45°,./CAB=90°,./CAB+/DAC=/EAD+/DAC,???AE=AD,AC=AB,

?.△DAB^AEAC(SAS),EC=BD,在RtAdce中，ec=Jed2+cd2=J(3應j+2W22,BD=EC=722;(3)如圖3,作直角三角形DAE,使得/DAE=90°,ZEDA=ZABC,連接EC,容易得到△DAEsABAC,AEAC=ADAB,即AEAD=ACAB,./DAE=ZBAC=90°,./DAE+/DAC=/BAC