1．5平面上的距離課程標準學習目標（1）能用坐標法、向量方法推導平面上兩點間距離公式，體會向量法和幾何法各自的特點，發展邏輯推理、數學運算素養．（2）能用兩點間距離公式解決問題，能通過具體例子解釋用兩點間距離公式解決問題的基本步驟，發展數學運算素養．（1）掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、平行直線間的距離公式并會應用.（2）會用坐標法證明簡單的平面幾何問題．知識點一：中點坐標公式若兩點、，且線段的中點坐標為，則，，則此公式為線段的中點坐標公式．【即學即練1】已知點，，則線段中點的坐標為.知識點二：兩點間的距離公式兩點間的距離公式為．知識點詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉化為兩點之間的距離來解決．另外在下一章圓的標準方程的推導、直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷等內容中都有廣泛應用，需熟練掌握．【即學即練2】已知，點C在x軸上，且，則點C的坐標為（

）A． B． C． D．知識點三：點到直線的距離公式點到直線的距離為．知識點詮釋：（1）點到直線的距離為直線上所有的點到已知點的距離中最小距離；（2）使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關系的判斷等．【即學即練3】已知到直線的距離等于3，則a的值為（

）A． B．或 C．或 D．知識點四：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：①轉化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．知識點詮釋：（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；（2）利用兩條平行直線間的距離公式時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數分別是相同的以后，才能使用此公式．【即學即練4】若兩條平行直線與之間的距離是，則．題型一：中點公式例1．（2023·浙江嘉興·高二統考期末）已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為.例2．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校校考期末）直線過點且與軸?軸分別交于，兩點，若恰為線段的中點，則直線的方程為.例3．（2023·北京西城·高二統考期末）設，則過線段的中點，且與垂直的直線方程為.變式1．（2023·江蘇連云港·高二期末）過點的直線被兩平行直線與所截線段的中點恰在直線上，則直線的方程是．變式2．（2023·江蘇·高二海安高級中學校考開學考試）直線l被兩條直線l1：4x+y+3＝0和l2：3x﹣5y﹣5＝0截得的線段的中點為P（﹣1，2），則直線l的斜率為.變式3．（2023·江蘇南通·高二統考期中）已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標為，則線段的長度為.【方法技巧與總結】兩點、，且線段的中點坐標為，則，題型二：兩點距離公式例4．（2023·全國·高二專題練習）已知兩點，，則（

）A．3 B．5 C．9 D．25例5．（2023·全國·高二課堂例題）已知三角形的三個頂點，，，則邊上中線的長為（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國·高二課堂例題）已知點與點之間的距離為5，則實數a的值為（

）A． B． C．或 D．1或變式4．（2023·全國·高二專題練習）已知點，，則A，B兩點的距離為（

）A．25 B．5C．4 D．變式5．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考開學考試）已知函數與的圖像相交于，兩點，則，兩點間的距離為（

）A．7 B． C．5 D．1變式6．（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學校考期中）已知點，與直線，若在直線上存在點，使得，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結】計算兩點間距離的方法（1）對于任意兩點兩點間的距離公式為．（2）對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．題型三：由頂點判斷三角形的形狀例7．（2023·高二課時練習）以點A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是例8．（2023·高二課時練習）以為頂點的的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰非等邊三角形 D．等腰直角三角形例9．（多選題）（2023·高二單元測試）已知頂點坐標是，則下列結論正確的是（

）A．若為直角三角形，則或 B．若為銳角三角形，則C．若為鈍角三角形，則或 D．若為等腰三角形，則變式7．（2023·全國·高二專題練習）已知，，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【方法技巧與總結】利用兩點間距離公式求出三角形的各邊長，然后再判斷．題型四：由兩點距離公式求最值例10．（2023·全國·高二課堂例題）的最小值為．例11．（2023·甘肅嘉峪關·高二校考期中）函數的最小值是.例12．（2023·山西晉中·高二山西省平遙中學校校考期中），其中，，則二元函數的最小值為變式8．（2023·全國·高二專題練習）函數的最小值為．變式9．（2023·全國·高二專題練習）函數的最小值為.變式10．（2023·黑龍江雞西·高二校考階段練習）著名數學家華羅庚曾說過“數無形時少直覺，形少數時難人微”，事實上，很多代數問題都可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點之間的距離，結合．上述觀點，可得的最小值為．變式11．（2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊101中學校考階段練習）已知點分別在直線：與直線：上，且，點，則的最小值為．變式12．（2023·山東聊城·高二聊城二中校考階段練習）已知實數a，b滿足，則的最小值為.題型五：點線距離公式例13．（2023·江蘇淮安·高二統考期中）已知平面上點和直線，點P到直線l的距離為d，則.例14．（2023·高二課時練習）已知滿足，則的最小值為例15．（2023·高二課時練習）已知，若點P是直線上的任意一點，則的最小值為．變式13．（2023·全國·高二專題練習）點到直線的距離為．變式14．（2023·上海浦東新·高二統考期中）已知動點在直線上，則的最小值為.變式15．（2023·全國·高三專題練習）點到直線的距離為.【方法技巧與總結】應用點到直線的距離公式應注意的三個問題（1）直線方程應為一般式，若給出其他形式應化為一般式．（2）點在直線上時，點到直線的距離為0，公式仍然適用．（3）直線方程中，或公式也成立，但由于直線是特殊直線（與坐標軸垂直），故也可用數形結合求解．題型六：面積問題例16．（2023·浙江臺州·高一溫嶺中學校考期末）已知在平面直角坐標系中，三個頂點坐標為(1)求直線方程；(2)求的面積.例17．（2023·湖北武漢·高二武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）期中）已知的頂點，AB邊上的高所在直線為，D為AC中點，且BD所在直線的方程為．(1)求點B的坐標；(2)求的面積．例18．（2023·福建福州·高二校聯考期末）已知平行四邊形的三個頂點坐標為、、.(1)求所在的直線方程；(2)求平行四邊形的面積.變式16．（2023·江蘇·高二假期作業）以，，為頂點的三角形的面積等于（

）A．1 B． C． D．2變式17．（2023·高二單元測試）已知直線和點，在直線上求一點，使過、的直線與以及軸在第一象限內所圍成的三角形的面積最小，則坐標為（

）A． B． C． D．變式18．（2023·高一課時練習）已知點，則的面積等于()A． B． C． D．變式19．（2023·山東菏澤·高二校考階段練習）的三個頂點分別為，如果直線將分割成面積相等的兩部分，則實數的值等于（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】利用兩點間距離公式求出三角形的一邊長，再利用點到直線的距離公式求出這邊上的高，從而求出三角形的面積，這是在解析幾何中求三角形面積的常規方法，應熟練掌握，但應注意的是點到直線的距離公式中帶有絕對值符號，因此在去掉絕對值符號時必須對它的正負性進行討論．題型七：由點線距離求參數例19．（2023·高二單元測試）已知直線過點，且原點到這條直線的距離為1，則這條直線的方程是（）A．和 B．和C．和 D．和例20．（2023·全國·高三專題練習）已知實數，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例21．（2023·廣東河源·高二龍川縣第一中學校考期末）過點引直線，使，，兩點到直線的距離相等，則直線方程是（

）A． B．C．或 D．或變式20．（2023·全國·高三專題練習）直線的方程為，當原點到直線的距離最大時，的值為（

）A． B． C． D．變式21．（2023·河南焦作·高二統考開學考試）已知直線，點和到直線l的距離分別為且，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．或變式22．（2023·廣東廣州·高二統考期末）已知點到直線的距離為1，則的值為（

）A．5或15 B．5或15C．5或15 D．5或15變式23．（2023·山西運城·高二山西省運城中學校校聯考期中）若點和點到直線的距離相等，則（

）A． B． C．或 D．或題型八：點關于直線對稱例22．（2023·全國·高二專題練習）已知點A（a+2，b+2）和B（ba，b）關于直線4x+3y=11對稱，則a，b的值為（）.A．a=1，b=2 B．a=4，b=2C．a=2，b=4 D．a=4，b=2例23．（2023·四川遂寧·高二統考期末）已知點A與點關于直線對稱，則點A的坐標為（

）A． B．C． D．例24．（2023·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知，，，一束光線從點出發經AC反射后，再經BC上點D反射，落到點上．則點D的坐標為（

）A． B． C． D．變式24．（2023·河北邢臺·高二統考階段練習）如圖，已知，，從點射出的光線經直線反射后再射到直線上，最后經直線反射后又回到點，則光線所經過的路程長為（

）A． B． C． D．變式25．（2023·全國·高二專題練習）點關于直線的對稱點Q的坐標為（

）．A． B． C． D．變式26．（2023·全國·高二專題練習）已知入射光線經過點，被直線反射，反射光線經過點，則反射光線所在直線的斜率為（

）A． B． C．4 D．變式27．（2023·全國·高二專題練習）已知點與點關于直線對稱，則點的坐標為（

）A． B． C． D．變式28．（2023·四川達州·高二達州中學校考階段練習）一條光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結】求點關于直線對稱的點方法一：（一中一垂），即線段的中點M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為，兩個條件建立方程組解得點方法二：先求經過點且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點，從而得題型九：直線關于直線對稱例25．（2023·全國·高二專題練習）已知直線與直線關于軸對稱，且直線過點，則（

）A． B． C． D．例26．（2023·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）直線關于直線的對稱直線方程為．例27．（2023·全國·高二專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是.變式29．（2023·廣東梅州·高二校聯考階段練習）已知直線，它關于直線對稱的直線方程為.變式30．（2023·高二課時練習）如果直線l與直線關于y軸對稱，那么直線l的方程是．變式31．（2023·四川遂寧·統考模擬預測）若直線與關于直線對稱，則實數a=.變式32．（2023·遼寧沈陽·高二沈陽市回民中學校考階段練習）若直線與直線關于軸對稱，則.變式33．（2023·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是.【方法技巧與總結】求一條直線關于另一條直線的對稱直線的基本途徑是把它轉化為點關于直線對稱的問題，即在其上取一點（或兩點），求出它們關于直線的對稱點坐標，再由兩點式即可求得所求的直線方程．題型十：平行線間距離公式例28．（2023·全國·高二課堂例題）兩平行直線，之間的距離為．例29．（2023·福建寧德·高二統考期中）若直線與平行，則與間的距離是．例30．（2023·高二課時練習）直線與，之間的距離相等，則直線的方程是．變式34．（2023·高二課時練習）已知，則與之間的距離為．變式35．（2023·高二課時練習）若直線與直線的距離為，則實數的值為．變式36．（2023·全國·高二專題練習）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為．【方法技巧與總結】求兩平行線間的距離，一般是直接利用兩平行線間的距離公式，當直線，且時，；當直線且時，．但必須注意兩直線方程中的系數對應相等．題型十一：直線關于點對稱例31．（2023·高二課時練習）直線關于點對稱的直線的方程為．例32．（2023·高二單元測試）直線關于點的對稱直線方程是．例33．（2023·河北廊坊·高三校考階段練習）與直線關于點對稱的直線的方程為.變式37．（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中校考期中）與直線關于點對稱的直線方程是.變式38．（2023·高二課時練習）直線關于點對稱的直線的方程是．變式39．（2023·上海閔行·高二校考階段練習）直線恒過定點，則直線關于點對稱的直線方程為．變式40．（2023·全國·高二專題練習）直線關于點對稱的直線方程為．【方法技巧與總結】求直線l關于點中心對稱的直線求解方法是：在已知直線l上取一點關于點中心對稱得，再利用，由點斜式方程求得直線的方程（或者由，且點到直線l及的距離相等來求解）．題型十二：將軍飲馬問題例34．（2023·河北石家莊·高二河北新樂市第一中學統考期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求最小（

）A． B． C． D．例35．（2023·全國·高二專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（

）A．2 B．3 C．4 D．5例36．（2023·全國·高二專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．變式41．（2023·全國·高一專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）．A．5 B． C．45 D．變式42．（2023·重慶長壽·高二重慶市長壽中學校校考期中）已知點在直線上，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式43．（2023·高二課時練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線l的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（

）A． B． C． D．變式44．（2023·湖北·高二校聯考階段練習）已知直線，在上任取一點，在上任取一點，連接，取的靠近點的三等分點，過點作的平行線.(1)求直線的方程；(2)已知兩點，若直線上存在點使得最小，求點的坐標.變式45．（2023·遼寧沈陽·高二校聯考階段練習）已知平面上兩點和，在直線上求一點M．(1)使最大值；(2)使最小．變式46．（2023·全國·高二專題練習）已知點，直線．(1)在上求一點，使的值最小；(2)在上求一點，使的值最大．變式47．（2023·山東淄博·高二山東省淄博第一中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，點，，直線.(1)在直線上找一點使得最小，并求這個最小值和點的坐標；(2)在直線上找一點使得最大，并求這個最大值和點的坐標.【方法技巧與總結】由平面幾何知識（三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對值小于第三邊）可知，要在直線上求一點，使這點到兩定點、的距離之差最大的問題，若這兩點、位于直線的同側，則只需求出直線的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的坐標；若、兩點位于直線的異側，則先求、兩點中某一點（如A）關于直線的對稱點，再求直線的方程，再求它們與直線的交點即可．對于在直線上求一點，使到平面上兩點、的距離之和最小的問題可用類似方法求解．1．（江西省景德鎮市20222023學年高二上學期期中數學試題）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．4 B．5 C． D．2．（2023·湖南長沙·高一周南中學校考開學考試）如下圖，一次函數的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當周長最小時，點，的坐標分別為（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023·全國·高二專題練習）已知直線：與關于直線對稱，與平行，則（

）A． B． C． D．24．（2023·廣東汕頭·高二校考期中）若直線與平行，則間的距離是（

）A． B． C．4 D．25．（2023·高二課時練習）若動點分別在直線和上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．46．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知直線的傾斜角為，在軸上的截距與另一條直線在軸上的截距相同，則點到直線的距離為（

）A． B． C．1 D．7．（2023·貴州·校聯考模擬預測）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．8．（2023·安徽·校聯考二模）在平面直角坐標系中，定義兩點間的折線距離，該距離也稱曼哈頓距離．已知點，若，則的最小值與最大值之